Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона.
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона

Слайд 2

– научиться возводить двучлен в натуральную степень; – находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля Цели урока:

Слайд 3

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса” Конан Дойля . Позже это же выражение упомянуто в фильме “ Сталкер ” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”. Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой? Так что же такое бином Ньютона?

Слайд 4

Бином – двучлен Би - означает «два» « Би »-удвоение, раздвоение … «Ном»( фран . nombre ) – номер, нумерация. «Бином» - «два числа»

Слайд 5

Степени бинома

Слайд 6

Коэффициенты бинома

Слайд 7

Коэффициенты бинома Треугольник Паскаля Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей .

Слайд 8

Блез Паска́ль (1623-1662) Французский математик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Слайд 9

← степень n ← значения соответствующих биномиальных коэффициентов

Слайд 10

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятностей и обладает занимательными свойствами.

Слайд 11

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике» Мартин Гарднер

Слайд 12

Число одночленов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома Показатель степени I выражения убывает от n до 0, показатель степени II выражения возрастает от 0 до n. Биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения равны.

Слайд 13

Треугольник Паскаля. Степень двучлена Коэффициенты 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Слайд 14

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С m n , где n - степень двучлена, m - степень второго выражения. Что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Слайд 15

Бином Ньютона:

Слайд 16

Биноминальные коэффициенты:

Слайд 17

Каждый одночлен с нечетной степенью b имеет знак «минус» Степени бинома

Слайд 18

( х +у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5 (1 + 2а) 4 = 1 4 + 4·1 3 ·2а + 6·1 2 ·(2а) 2 + 4· 1 1 ·(2а) 3 + (2а) 4 = =1 + 8а + 24а 2 + 32а 3 + 16а 4 ( х – у) 6 = ( х + (-у)) 6 = х 6 + 6х 5 (-у) + 15х 4 (-у) 2 + 20х 3 (-у) 3 +15х 2 (-у) 4 + 6х(-у) 5 + у 6 = х 6 – 6х 5 у +15х 4 у 2 – 20х 3 у 3 + 15х 2 у 4 – 6ху 5 + у 6 .

Слайд 19

1. ( 1 + 3а) 4 2. (2а – в) 5 3. (3в + 1) 4 4. ( х – 2у) 5 Самостоятельная работа

Слайд 20

Глава 3 § 9, № 348 Домашнее задание: