В-6-2014 ( все  56 прототипов из банка ЕГЭ)

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели (теория вероятностей)

1.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5: 36=0,138…=0,14

2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решeние: Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равна 2 : 4= 0,5.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решeние: В чемпионате принимает участие спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5 : 20 = 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решeние: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995 : 1000 =0,995

5.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решeние: По условию на каждые 100 + 8 = 108 сумок приходится 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100: 108 =0,925925…= 0,93

6.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.  Решeние: Всего в соревнованиях принимает участие 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9 : 25 =0,36

7.Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?  Решeние: За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12 : 75 =0,16

8.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?  Решeние: На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна 18 : 80 =0,225

9.На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решeние: Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3:10 = 0,3.

10.Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решeние: В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых 10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9 : 25 = 0,36

11.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение: 11 : 55 = 0,2

12.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

13.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

Решение.  Переводим %% в дроби.

Событие А - "Куплены стекла первой фабрики". Р(А)=0,3

Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,7

Событие Х - " Стекла бракованные".

Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009  

Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 По формуле полной вероятности:Р = 0.009+0.028 = 0.037

14.Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  Решение: 0,52 * 0,3 = 0,156. 

15.Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Случайный эксперимент — бросание жребия.
В этом эксперименте элементарным событием является участник, который выиграл жребий.
Перечислим возможные элементарные события:
(Вася), (Петя), (Коля), (Лёша).
Их будет будет 4, т.е. N=4. Жребий подразумевает, что все элементарные события равновозможны.
Событию A= {жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.
Тогда P(A)=0,25 Ответ: 0,25.

16.В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Всего исходов -16.Из них благоприятных, т.е. с номером 2, будет 4. Значит, 4 : 16=0,25

17.На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

= {вопрос на тему «Вписанная окружность»},
= {вопрос на тему «Параллелограмм»}.
События и несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
Событие = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: .
Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:
.

18.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Определим события
= {кофе закончится в первом автомате},
= {кофе закончится во втором автомате}.
По условию задачи и .
По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события
и = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}:

.
Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна
.

19.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна . Значит, вероятность каждого промаха равна . Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность
= {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность
=
=. Ответ: .

20.В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

     В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов.
Найдем вероятность противоположного события
= {оба автомата неисправны}.
Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий:
.
Значит, вероятность события = {хотя бы один автомат исправен} равна .Ответ: .

21.Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Обе перегорят (события независимые и пользуемся формулой произведения вероятностей) с вероятностью  p1=0,3⋅0,3=0,09
Противоположное событие (НЕ обе перегорят = ОДНА хотя бы не перегорит)
произойдет с вероятностью p=1-p1=1-0,09=0,91
ОТВЕТ: 0,91

22.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года

Решение.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение: Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает яиц, в том числе, яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — яиц, в том числе яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает яиц, в том числе яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда: 

Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна =0,75

24.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

25.Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

26.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение: Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

27.В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение:  Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.  Ответ: 0,4.

28.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Решeние:  Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:  

29.Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?     Решeние: Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1». Ответ: 4.

30.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка). Решение: Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25. Ответ: 0,25.

31.На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых. Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

.Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Ответ: 0,33.

32.При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?   Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

33.Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.    Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:    

34.В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Решение: 5000 – 2512 = 2488;  2488 : 5000 = 0,4976 ≈0,498

35.На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.   Решение:   В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.Ответ: 0,1.

36.На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04. Ответ: 0,04.

37.В классе 26 человек, среди них два близнеца  — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

38.В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Решение: 23:50=0,46

39.В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:6:30=0,2

40.Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На  сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?   Решeние: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000  = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006.

41.При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

42.Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.  Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).  Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.Ответ: 0,07.

43.Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.  Решeние: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

    для вероятности поступления имеем:

44.На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Решение: Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: тарелок. Поскольку качественных из них , вероятность купить качественную тарелку равна 0,9п :0,92п=0,978  Ответ: 0,978.

45.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна

46.По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.  Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02

47.Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Решeние: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Ответ: 0,38.

48.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.  Ответ: 0,125.

49.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение.  Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:  P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;   P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;   P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;     P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.    Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:     P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50.Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: р(А)=0,9 0,05=0,045; р(В)=0,01 0,95=0,0095; р(А+В)=Р(А)+р(В)=0,045+0,0095=0,0545.

51.В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

52.Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Решение: 3 : 12=0,25

53.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решeние: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.Ответ: 0,8836.

54.Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:

55.На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.

Инструкция по проведению ОГЭ.

ОГЭ по математике 2018

ОГЭ по математике – один из обязательных экзаменов в 9-м классе. Математику необходимо сдавать для перевода в 10-й класс и получения аттестата об основном среднем образовании. Если вы собираетесь продолжать обучение в физматклассе, то потребуется сдать математику на высокий балл. О дате проведения экзамена и возможных пересдачах можете узнать тут.

Ознакомившись с общей информацией об экзамене, сразу приступайте к подготовке. Экзамен в этом году содержательно не отличается от прошлых лет, поэтому можно готовиться по материалам 2016 и 2017 года. Изменилась лишь структура теста: убрали модуль «Реальная математика», а задания из него распределили по модулям «Алгебра» и «Геометрия».

Структура ОГЭ

Работа состоит из двух частей, в каждой из которых последовательно идут два модуля – «Алгебра» и «Геометрия». В части 1 представлены задания базового уровня сложности, за которые дают по 1 баллу. Это либо задания на выбор правильного ответа или задания, требующие написать краткий ответ в виде цифры, числа или последовательности цифр.

Часть 2 – задания повышенного и высокого уровней сложности, за каждое из которых можно получить 2 балла. В этих заданиях важно не просто дать конечный ответ, но и показать ход решения. Здесь тоже сначала идут задания из модуля «Алгебра», а затем – задания из модуля «Геометрия». Дальше станет яснее:

Часть 1:

• Модуль «Алгебра» состоит из 14 заданий (№ 1-14) – базовый уровень сложности – 1 балл за каждое задание;
• Модуль «Геометрия» состоит из 6 заданий (№ 15-20) – базовый уровень сложности – 1 балл за каждое задание.

Часть 2:

• Модуль «Алгебра» состоит из 3 заданий (№ 21-23) – повышенный и высокий уровень сложности – 2 балла за каждое задание;
• Модуль «Геометрия» состоит из 3 заданий (№ 24-26) – повышенный и высокий уровень сложности – 2 балла за каждое задание.

Оценивание ОГЭ

В отличие от ЕГЭ у ОГЭ нет единого для всех регионов минимального балльного порога по тому или иному предмету. Этот порог определяют местные региональные власти после проведения досрочного этапа проведения экзаменов. Однако у регионов есть эталон, с которым они сверяются и как правило не отходят от него – это ежегодные рекомендации Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Согласно этим рекомендациям, чтобы сдать ОГЭ по математике хотя бы на тройку, необходимо набрать не менее 8 первичных баллов. Это равносильно правильному выполнению 8 заданий из части 1. Для пятерки необходимо набрать 22-32 первичных балла. С таблицей перевода первичных баллов в оценки по пятибальной системе можно ознакомиться здесь.

Подготовка к ОГЭ

• На нашем сайте вы можете пройти тесты ОГЭ онлайн бесплатно без регистрации и СМС. На данный момент раздел обновляется, и со временем в нем будут появляться новые тесты за весь период проведения ОГЭ. Представленные тесты по своей сложности и структуре идентичны реальным экзаменам, проводившимся в соответствующие годы.

Расписание проведения ОГЭ 2019

Рособрнадзор подготовил проект расписания Основного государственного экзамена в 2019 году.

Ознакомьтесь с расписанием проведения ОГЭ-2019 в 9-м классе: датами проведения досрочного и основного этапов и пересдачи.

Таблица перевода баллов ОГЭ 2019

Узнать свою оценку по тестовым баллам стало гораздо проще. Благодаря этой таблице вы можете оценить уровень своих знаний и заполнить пробелы в темах, вызывающих у вас вопросы.

Математика.

 22–32   оценка 5

15–21 оценка 4

8–14   оценка 3

0–7     оценка 2

1. Максимальный балл для отбора обучающихся в профильные классы средней школы – 31 (не менее 80% от общей суммы первичных баллов).

2.  МАТЕМАТИКА Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла. Из них – за модуль «Алгебра» – 20 баллов, за модуль «Геометрия» – 12 баллов.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении Федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий обоих модулей, при условии, что из них не менее 2 баллов получено по модулю «Геометрия». 

** Математика

Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла. Из них – за модуль «Алгебра» – 20 баллов, за модуль «Геометрия» – 12 баллов.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение обоих модулей, при условии, что из них не менее 2 баллов по модулю «Геометрия».

Инструкция по охране труда для учителя математики

СОГЛАСОВАНО:

Председатель профкома

_________/_______________

«___»_____________20__г.

УТВЕРЖДЕНО:

Директор МБОУ  «Удинская СОШ»

__________ / И.К.Иванова

Приказ №__от «____»________г.

Инструкция
по охране труда для учителя математики

Данная инструкция по охране труда учителя математики школы предназначена для преподавателей математики общеобразовательного учреждения, работающих в кабинете математики.

1. Общие требования безопасности для учителя математики
1.1. К работе преподавателя математики допускаются лица обоего пола, достигшие 18 лет, имеющие педагогическое образование, прошедшие медицинский осмотр.
1.2. Учитель математики должен знать свои должностные обязанности, инструкцию по охране труда для учителя математики, а также:

• инструкцию по охране труда в учебном кабинете школы;
• инструкцию по пожарной безопасности;
• пройти вводный инструктаж и инструктаж на рабочем месте;
• руководствоваться в работе правилами внутреннего распорядка;
• режим его труда и отдыха определяется графиком работы учителя математики.

1.3. Травмоопасность на уроках математики:

• при нарушении правил личной безопасности;
• при включении электроприборов: проекторов  и других ТСО (технических средств обучения) поражение электротоком.

1.4. О случаях травматизма в обязательном порядке сообщать администрации школы.
1.5. Соблюдать технику безопасности труда, должностную инструкцию учителя математики.
1.6. Относится к не электротехническому персоналу и должен иметь 1-ю квалификационную группу допуска по электробезопасности.
1.7. Не заниматься самостоятельно ремонтом электроприборов, розеток и т.п..
1.8. Хранить аппаратуру ТСО, мультимедийный проектор в лаборантской (при наличии).
1.9. Нести ответственность (административную, материальную, уголовную) за нарушение требований инструкций по охране труда, пожарной безопасности.

2. Требования безопасности перед началом работы в кабинете математики
2.1. Проверить готовность учебного кабинета математики к занятиям.
2.2. Проверить исправность электроосвещения.
2.3. Проветрить кабинет математики.
2.4. Следить за чистотой и порядком в кабинете.

3. Требования безопасности во время работы учителя математики
3.1. Соблюдать личную безопасность труда.
3.2. Следить за соблюдением дисциплины учащимися.
3.3. Не допускать учащихся к переноске аппаратуры ТСО.
3.4. Не допускать учащихся к самостоятельному включению электроприборов.

4. Требования безопасности в кабинете математики в аварийных ситуациях
4.1. В случае возникновения аварийных ситуаций принять меры к эвакуации учащихся.
4.2. Сообщить о происшедшем администрации школы, при пожаре известить службу 101.
4.3. Оказать первую помощь учащимся, пострадавшим в случае травматизма.
4.4. При внезапном заболевании учащихся вызвать медицинского работника, сообщить родителям.

5. Требования безопасности по окончании работы учителя математики
5.1. Отключить от электросети аппаратуру ТСО.
5.2. Убрать аппаратуру в лаборантскую, закрыть на ключ.
5.3. Проверить чистоту в кабинете и порядок на рабочих местах.
5.4. Проветрить кабинет математики.
5.5. Выключить электроосвещение, закрыть кабинет на ключ.
5.6. Обо всех недостатках, обнаруженных во время занятий, сообщить администрации школы.

С инструкцией ознакомлена:

 
«___»_____20___г. __________ /Н.С.Самбуева

Конспект урока по алгебре для учащихся  8 класса по теме «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени»

Цель урока:

Образовательная: закрепить изученный материал, простейшие системы, содержащие уравнения второй степени, применение теоремы, обратной теореме Виета.

Развивающая: развивать логическое мышление, память, внимание, формировать умения анализировать, сопоставлять данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы.

Воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учебному труду,  самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Тип урока:  комбинированный.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Литература:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра 8. – М.: Просвещение, 2000.
2. Гин А.А. Приемы педагогической техники: Свобода выбора. Открытость. Деятельность. Обратная связь. Идеальность: Пособие для учителя. – М.: Вита-Пресс, 1999.

План урока:

1. Организационный момент (3 минуты)

2. Проверка домашнего задания (7 минут)

3. Изучение и закрепление  нового материала (10 минут)

4. Решение задач на закрепление изученной темы (18 минут)

5. Подведение итогов (5 минут)

6. Домашнее задание (2 минуты)

Ход урока

Организационный момент

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих.

Проверка домашнего задания

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим решение систем уравнений. Мы научимся решать простейшие системы, содержащие уравнение второй степени, используя другой способ решения, обобщим методы  решения простейших систем.

Учитель: Начнем урок с проверки домашнего задания.

Проводится фронтальный опрос домашнего задания, учащиеся по очереди отвечают, а тем временем один ученик выходит к доске и пишет решение системы уравнений № 492  под номером 2) 

Учитель: Итак, № 492 (2, 4) какой ответ получился?

Ученик: решением системы является пара чисел: 2) (4;1), 4) (0,5; 3).

Учитель:  Верно. Каким способом решали данную систему уравнений?

Ученик: Способом подстановки.

Учитель: № 493 (2, 4) какой ответ?

Ученик: решением системы являются две пары чисел 2) (-4;6), (7;-5); 4) (7;23), (-1; -1).

Учитель: Следующий номер № 494 (2,4)?

Ученик: 2) (4; -3), (17; 10); 4) (4; 1),  (-1; -4).

Учитель: Каким способом решали данную систему уравнений?

Ученик: Способом подстановки.

Учитель: Все правильно. Теперь разбираем подробно №492 2) .

1. Какой способ использовали при решении системы уравнений? (способ подстановки)
2. Что необходимо сделать в этом случае? (выбрать то уравнение, из которого легче выразить х или у, в нашем случае, из первого х).
3. После того, как выразили х, куда мы подставляем полученное выражение? (мы подставляем выражение во второе уравнение).
4. Что делали потом? (упростили  и получили приведенное квадратное уравнение). Напишите вид приведенного квадратного уравнения. (х2+px+q=0)
5.  Как можно решить приведенное квадратное уравнение? (по общей формуле, по теореме, обратной теореме Виета.)
6. Напиши на доске (в сторонке) теорему, обратную теореме Виета.  
7. Какие получили корни уравнения? (получили один корень: у=1).
8. Как нашли второй корень уравнения? (подставили значение у в полученную формулу, тем самым нашли второй корень уравнения).
9. Какой получился ответ? (решением системы является пара чисел (4;1)).

Изучение нового материала

        Учитель: Итак, мы с вами вспомнили алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

А теперь откройте свои тетради и запишите число, классную работу и тему урока «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени». 

Запись на доске и в тетрадях:

Число

Классная работа.

Тема урока: «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени».

        Учитель: Ребята, но не все примеры решаются способом подстановки. Сегодня мы рассмотрим другой способ решения. Способ решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

  Рассмотрим систему уравнений , запишите данную систему в тетради.

Учитель: 1)  Ребята,  что мы видим в этой системе?

Ученик: сумму двух чисел, и их произведение.

Учитель:  Правильно, как и в теореме, обратной теореме Виета, она у нас написана на доске.

        Учитель:  2) Что мы можем сделать, если известна сумма и произведение чисел?

        Ученик: Составить приведенное квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

        Учитель: 3) Что необходимо найти сначала, чтобы можно было записать приведенное квадратное уравнение?

        Ученик: p и q.

        Учитель: 4) Чему они равны?

        Ученик: p= –3, q= – 10.

Учитель:  Верно. Запишите приведенное квадратное уравнение в тетради .

Решая  данное уравнение, получаем  , подставляя эти значения в формулу  x=3–y , находим : у1= -2, у2=5. Следовательно, решениями системы являются  пары чисел x1=5, y1=-2,  х2=-2, y2=5

 Запишите ответ. (Ответ: (5;-2), (-2;5).)

Запись на доске и в тетрадях:

х=3-у

                                ,     

  Ответ: (5;-2), (-2;5)

Закрепление изученного материала

Учитель: А теперь перейдем к выполнению заданий.

Учащиеся выходят по очереди к доске, решают примеры, комментируют решение, остальные – решают на месте, делая записи в тетради.

Учитель: Для  тех, кто решает вперед, на доске записаны номера из учебника, которые вы можете решать вперед нас.

Запись на доске: № 495(нечет); №496 (нечет); № 497(нечет).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(1)

Решить систему уравнений.

Учитель: Первый номер № 495.

Какой способ используем при решении данного примера?

        Ученик: Способ решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

Учитель: С чего начнём решение?

Ученик: Выразим из первого уравнения х. Составим приведенное квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

Учитель: Следующий шаг?

Ученик: решим данное уравнение и подставим эти значения в формулу  x=5–y.

Учитель: Что мы сделали этим?

Ученик: нашли значения у1 и у2.

Учитель: Следовательно, какие пары являются решением системы?         Ученик: ответ:(2;3), (3;2).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(1)

  x=5–y    

Ответ: (2;3), (3;2).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(3)

  х=12–у

p= –12, q= 11

z2-12y+11=0,

z1=11, z2=1

x1=1, x2=11.

Ответ: (11;1), (1;11).

Решение задач на закрепление изученной темы

Учитель: Далее решим задачи, используя все способы, изученные нами ранее для решения систем, содержащих уравнение второй степени.

Решим номер №496 (1)

Запись на доске и в тетради: № 496 (1) 

 (Ученик читает задание, все остальные слушают его).

Решить систему уравнений.

Учитель: Записываем систему уравнений на доске.

(Учитель спрашивает одного из учеников)

Учитель: Какая есть формула для х2-у2?

Ученик: формула сокращенного умножения (х–у)(х+у)= х2-у2 .

Учитель: Верно. С помощью нее будет легче решить пример. Запишем второе уравнение системы так: (х–у)(х+у)=14. Далее, что необходимо сделать?  

Ученик: подставив сюда х–у=7, получим х+у=2.

Итак,

Учитель: Каким способом решим эту систему?

Ученик: способом сложения.

Учитель: Находим х=4,5, у=-2,5.

Запись на доске и  в тетрадях: № 496 (1)

(х–у)(х+у)=14.

7(х+у)=14

(х+у)=2

2х=9, х=4,5.

у=-2,5.

Ответ: (4,5;-2,5).

Запись на доске и  в тетрадях: № 496 (3)

(х–у)(х+у)=24.

(х–у)=6

2х=10, х=5

у=-1.

Ответ: (5;-1)

Учитель: Следующий номер № 497 (1)

,

Учитель: Что нужно сделать, чтобы решить данный пример?

Ученик: нам необходимо прибавить второе уравнение системы к первому, умноженное на 2.

Учитель: Правильно. Что мы получаем? 

Ученик: х2+2ху+у2=25

 Учитель: Мы получили формулу. А что дальше можно сделать? Обратите  внимание на левую часть. 

Ученик: (х+у)2=25, то х+у=5

Учитель: У нас получилось два корня, следовательно, нам нужно решить две системы. Какие две системы?

        Ученик:      

Учитель: Каким способом решим системы уравнений?

Ученик: Способом решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

Запись на доске и  в тетрадях:№ 497(1)

, ,

х2+2ху+у2=25

(х+у)2=25, то х+у=5

у=5–х,                    у= –5–х                

х2–5х+4=0,             х2+5х+4=0,

х1=3, х2=2               х3=-2, х4=-3                

у1=2, у2=3              у3=-3, у4=-2

Ответ: (3;2), (2;3), (-2;-3), (-3;-2).

Запись на доске и  в тетрадях:№ 497(3)

х2+2ху+у2=16

(х+у)2=16, то х+у=

у=4–х,            у= –4–х,

х2–4х+3=0,     х2+4х+3=0  

х1=3, х2=1              х3=-1, х4=-3                

у1=1, у2=3              у3=-3, у4=-1.

Ответ: (3;1), (1;3), (-1;-3), (-3;-1).

Учитель: Все верно. Ребята, которые выполняли задания вперед, подойдите после урока на проверку решения задач. Я поставлю Вам дополнительные оценки.

Подведение итогов

Учитель: Ребята, давайте вспомним, какую цель мы сегодня поставили перед собой?

Ученик: обобщить методы  решения простейших систем, содержащих уравнение второй степени.

Учитель: От чего зависит выбор метода решения системы?

Ученик: от вида заданной системы.

Учитель: в каком случае применяется алгоритм решения, основанный на применении теоремы, обратной теореме Виета?

Ученик: Если одно из уравнений системы содержит сумму неизвестных, а второе – их произведение.

Учитель: Кто сможет сам сформулировать алгоритм решения данным способом?

Ученик:

1. Найти р и q.
2. Записать приведенное квадратное уравнение .
3. Решить приведенное квадратное уравнение.
4. Записать две пары решения системы уравнений.
5. Записать ответ.

 (В конце урока учитель выставляет оценки учащимся).

Домашнее задание

Учитель: Открываем свои дневники и записываем домашнее задание.  

Запись в дневниках: №495(чет), №496(чет).