Элементы комбинаторики
учебно-методический материал по алгебре (6, 7 класс)

Домашняя контрольная работа по теме «Элементы комбинаторики»

Теория

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Решить  комбинаторную  задачу – это  значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Пример комбинаторной задачи:

1. Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета — белого, синего и красного?
2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если числа должны быть нечетными, и цифры могут повторяться?

Способы решение комбинаторных задач:

1. Дерево возможных вариантов

Существует общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. 

Решение с использованием дерева возможных вариантов (задача про флаги):

Ответ: 6 вариантов.

2. Правило умножения

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить m · k способами.

Решение с использованием правила умножения:

• задача про флаги:

Решение. Первую полосу можно выбрать 3 способами, вторую полосу 2 способами, т.к. цвета не повторяются. Итого 3*2=6 вариантов.

Ответ: 6 вариантов

• Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если числа должны быть нечетными, и цифры могут повторяться?

Решение. На первое место можно выбрать любую из пяти цифр (кроме 0). На второе и третье места можно взять любую из шести цифр, так как цифры могут повторяться. На последнее место можно выбрать любую из трех нечетных цифр. Таким образом, общее количество четырехзначных нечетных чисел будет 5*6*6*3=540.

Ответ: 540

Задачи для самостоятельного выполнения

1 вариант

Решите с использованием дерева возможных вариантов:

1. Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 1, 3?
2. В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, также синие и чёрные юбки, белые и серые туфли. Сколько можно из них составить различных вариантов костюмов?
3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры  1; 3; 7?

Решите с использование правила умножения:

4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»? (Ответ:12)
5. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй? (Ответ: 50)
6. На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню? (Ответ: 24)
7. У Тани есть розовая, желтая, красная кофта и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них? (Ответ: 9)
8. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? (Ответ: 1500)
9. На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Сережа готовятся к прыжкам в высоту. Сколькими способами можно установить для них очередность прыжков?
10. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
11. Сколько пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные?
12. Сколько трехзначных чисел можно составить из четных чисел?

2 вариант

Решите с использованием дерева возможных вариантов:

1. Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 5, 8?
2. Имеется два берета, две блузки и две юбки. Сколько различных костюмов можно составить?
3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры  5; 2; 8?

Решите с использование правила умножения:

4. В меню в столовой предложены на выбор 3 первых блюда, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из 1 первого, 1 второго и 1 третьего блюда, можно составить из предложенного меню? (Ответ:60)
5. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов? (Ответ: 60)
6. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную в слове «Комбинаторика»? (Ответ: 18)
7. Сколько пятизначных чисел можно составить из четных цифр, если цифры в записи числа не повторяются? (Ответ: 96)
8. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на среду можно составить для этого класса? (Ответ: 120)
9. В шестом классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них двух представителей в совет школы?
10. Сколько двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
11. Сколько пятизначных чисел, которые делятся на 5?
12. Сколько можно составить различных телефонных номеров, у которых на первом месте стоит цифра 5, на втором – 2 или 9, на третьем – любая четная цифра, а на четвертом и пятом – любые цифры?

Задачи для самостоятельного выполнения

1 вариант

Решите с использованием дерева возможных вариантов:

1. Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 1, 3?
2. В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, также синие и чёрные юбки, белые и серые туфли. Сколько можно из них составить различных вариантов костюмов?
3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры  1; 3; 7?

Решите с использование правила умножения:

4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»? (Ответ:12)
5. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй? (Ответ: 50)
6. На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню? (Ответ: 24)
7. У Тани есть розовая, желтая, красная кофта и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них? (Ответ: 9)
8. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? (Ответ: 1500)
9. На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Сережа готовятся к прыжкам в высоту. Сколькими способами можно установить для них очередность прыжков?
10. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
11. Сколько пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные?
12. Сколько трехзначных чисел можно составить из четных чисел?

2 вариант

Решите с использованием дерева возможных вариантов:

1. Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 5, 8?
2. Имеется два берета, две блузки и две юбки. Сколько различных костюмов можно составить?
3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры  5; 2; 8?

Решите с использование правила умножения:

4. В меню в столовой предложены на выбор 3 первых блюда, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из 1 первого, 1 второго и 1 третьего блюда, можно составить из предложенного меню? (Ответ:60)
5. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов? (Ответ: 60)
6. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную в слове «Комбинаторика»? (Ответ: 18)
7. Сколько пятизначных чисел можно составить из четных цифр, если цифры в записи числа не повторяются? (Ответ: 96)
8. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на среду можно составить для этого класса? (Ответ: 120)
9. В шестом классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них двух представителей в совет школы?
10. Сколько двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
11. Сколько пятизначных чисел, которые делятся на 5?
12. Сколько можно составить различных телефонных номеров, у которых на первом месте стоит цифра 5, на втором – 2 или 9, на третьем – любая четная цифра, а на четвертом и пятом – любые цифры?