открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Какеева Раиса Николаевна
Опубликовано 02.06.2019 - 21:32 - Какеева Раиса Николаевна

«Решение тригонометрических уравнений»

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon по теме: «Решение тригонометрических уравнений»114 КБ

Предварительный просмотр:

Открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:

  1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал.
  2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы  сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые умения.

Ход урока:

  1. Организационный момент

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   тригонометрических уравнений. Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

  1. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние зачетные работы по группам вместе с аннотацией.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группам (4 уровня сложности: минимальный уровень, легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили за 7 дней до урока и оцениваются самими учащимися по системе:

«5»- задание выполнено верно и самостоятельно

«4»- задание выполнено верно и полностью, но часть задания выполнена с помощью одноклассников

«3»-интересовался решением и все решил с помощью одноклассников.

Каждый ученик сам оценивает свои знания и знания оценивает группа. Оценку выставляет старший по группе.

Задания минимального  уровня.

Решите уравнения:

  1. sin (x+ π/4)=1
  2. cos 2x/2- sin2 x/2=-1/2
  3. cos 2x+3 sin x cos x=0
  4. (tg x  -2) (tg x  +2)=1
  5. Сколько корней имеет уравнение 2sin x/2 cos x/2=√2/2 на отрезке [0; 2π]
  6. Покажите, что уравнение cos 3x+4 sin 5x=6 не имеет корней
  7. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у= 1-sin 2x и у= sin 2x

Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

  1. cos (x/2-π/3)=1/2
  2. 2sin2 x-5sin x+2=0
  3. (2 tg x/2) / (1- tg 2x/2)=2 cos π/6
  4. cos 4x/4- sin4 x/4=-1
  5. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у= sin x и   у= cos x
  6. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]
  7. Покажите, что уравнение sin x/ sin 5x=0 не имеет корней

Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

  1. √3cos (x-π/3)=3/2
  2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)
  3. 2sin2 x+ 3cos x=3
  4. 2sin x+ 3cos x=3
  5. Сколько корней имеет уравнение 2cos x*cos 2x=cos 3x на отрезке [-π/2; 5π/2]
  6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x  и   у= 1+сtg x  
  7. Покажите, что уравнение 3cos 3x+5 cos 3x=9 не имеет корней

Задания усложненного уровня.

  1. Решите уравнение sin x+ cos x=1 шестью-семью способами
  2. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения                                         4cos 2x+3 sin x cos x-2sin2 x =2
  3. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16                            на отрезке [π/6; 13π/6]
  4. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= sin 3x и  у= 5sin x
  5. Покажите, что уравнение cos 2x- tg2 x/3= π/3 не имеет корней

  1. Повторение изученного материала устно

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ?  [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x =a ,  cos x=a  имеют решения?  [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

                                                                                           cos x=a ? при условии      |a | ≤ 1  

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

                                                                                   cos x=a  , если      a  = -1; 0; 1

5) чему равен  arсcos(-a) ?       [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится  arctg a  ?  [-π/2; π/2]

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ?    (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n $\in$ Z)

10) чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

  1.  cos x=1/2 , х =  ± π/6 + 2πк, к$\in$ Z

Верно :  cos x=1/2 , х =  ± π/3 + 2πк, к$\in$ Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2)  sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к$\in$ Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)к π/3  + πк, к$\in$ Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

3)   cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к$\in$ Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к$\in$ Z

Ошибка в выполнении деления

4)  sin 2x =1/3,   x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, n$\in$ Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)n/2 arcsin1/3 + πn/2, n$\in$ Z

Вычислительная ошибка

5) cos x = -1/2,   x = ±(-π/3) + 2πm, m$\in$ Z

Верно : cos x = -1/2,   x = ±2π/3  + 2πm, m $\in$ Z

По определению                   arcсos(-π/3) [0;π]

6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n$\in$ Z

x- не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию             | cos x | ≤ 1

7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n$\in$ Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n$\in$ Z

В периоде

8) ctg x =-√3/3,  x= -π/3+πm, m$\in$ Z

Верно : ctg x =-√3/3,  x= 2π/3+πm, m$\in$ Z

По определению                   arcсos(-π/3) [0;π]

  1. Самостоятельная работа программированного контроля через копировку (с самопроверкой)

Среди приведенных чисел укажите те,  которые являются корнями данных уравнений.

Вариант 1

Вариант 2

а) cos x =1/2  (π/3; 5π/3)

б) sin 2x =0  (π/2; π; 3π/2; 2π)

в) tg x =√3  (π/3; 4π/3)

Ответы:

π/6; π/3; π/2; 2π/3; 5π/6; π; 7π/6; 4π/3; 3π/2;       5π/3; 11π/6; 2π

а) cos x =√2/2  (π/4; 7π/4)

б) sin 2x =1  (π/4;  5π/4)

в) сtg x =-1  (3π/4; 7π/4)

Ответы:

π/4; π/3; π/2; 3π/4; 2π/3; π; 3π/2; 4π/3; 5π/4; 7π/4; 5π/3; 2π

Работа проводится в 2 вариантах.

Ребята сами проверяют свои ответы при помощи переносной доски по готовым решениям. Один экземпляр сдают учителю.

Оценки выставляют сами себе в лист учета знаний.

Критерии оценок:

«5» - выполнил все задания

«4» - 7-6 верных ответов (5 верных ответов)

«3» - 4-5 верных ответов (4-3 верных ответа)

«2» - 1-3 верных ответа  (1-2 верных ответа)

Учитель опрашивает учеников, кто как выполнил работу.

  1. Систематизация теоретического материала. Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

sin x/2 =1/2  

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2  ,  

tg (2x -π/4)= √3/3

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin2 x-7 cos x-5=0

2 cos 23x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

1/(1+ cos 2x)+1/( sin2 x)=16/11

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

sin2 x- sin x=0

cos 2x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin2 x+2 sin x cos x=3

3cos 2x-4 sin x cos x+ sin2 x=0

1/ cos x=4 sin x+6 cos x

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos 2x (sin2 x)

sin x+ sin 3x=4cos 3x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin2 x+ cos 4x=0

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

√3 cos x+ sin x=2

Уравнения вида  a cosx+ b sinx = c, где a;b;               c  0. Решаются методом введения                            вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

  1. Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos2 x/2- sin2 x/2

2=2*1=2 *(sin2 x/2+ cos 2x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2=2 sin2 x/2+2 cos 2x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2-2 sin2 x/2-2 cos 2x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2x/2-3 sin2 x/2=0

  Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin2 x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2x/2  и получить уравнение, равносильное данному

3tg 2x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у2-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у1=1; у2=1/3

Итак, tg x/2=1                            или       tg x/2=1/3

           x/2= arctg1 +πn, n$\in$ Z                  x/2= arctg1/3 +πк, к$\in$ Z  

            x/2= π/4 +πn, n$\in$ Z                       x= 2arctg1/3 +2πк, к$\in$ Z  

           x= π/2 +2πn, n$\in$ Z                      

 Ответ:  x= π/2 +2πn, n$\in$ Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к$\in$ Z  

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение,  введение новой переменной)  

  1. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (взаимопроверка)    

2 cos 2 x+ 7cos x+3=0

5 cos 2 x+21 sin x=13

2tg43 x-3 tg23 x+1=0

sin2 x- sin x=0

cos 2 x+sin x cos x=1

cos 2 x* cos  x= cos  3x

(допол) 2sin x- 3 cos  x=0

(допол) cos 5 x+ cos  x=0

(допол)√3 cos  x+ sin x=2

               

Критерии оценок:

«5» - решено все верно и полностью

«4» - допущены небольшие ошибки

«3» - решено одно уравнение

  1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

  1. √3 cos 2 x+ sin 2x=2
  2. cos x/2- sin x/2=√6/2
  3. 2 cos x+5 sin x+2=0
  4. 2 cos x+3 sin x=3

  1. Итог работы
  1. Итак, сегодня у нас был обобщающий урок по теме: «Тригонометрические уравнения»

Вопросы:

- Что такое тригонометрические уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций)

- какие типы и методы  решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Что понравилось и что не понравилось на уроке?

3. Дается оценка работы класса.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока алгебры в 10 классе по теме Решение тригонометрических уравнений"

Обобщающий урок по алгебре в 10 классе по теме "Решение тригонометричкских уравнений". Одна из задач урока:развитие навыка применять знания в нестандартных ситуациях, нацеливание на решение задания С1...

Урок по алгебре в 10 классе по теме: "Решение тригонометрических уравнений (классификация)"

Комбинированный урок с дифференцированным подходом к опросу учащихся и обяснению материала....

Открытый урок в 10 классе по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Данный урок является уроком - повторения и подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ.   На нём повторяются, обобщаются, приводятся в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   т...

Открытый урок в сборнике "1001 идея интересного занятия с детьми" , урок математики в 10 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений" (2013 г.)

Урок обобщения и систематизации знаний...

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе на тему "Решение тригонометрических уравнений"

Разработка данного уроа содержит онспет урока и презентацию....

Конспект урока математики в 10 классе по теме: "Решение тригонометрических уравнений (с применением лицензионных ЦОР)"

Использование различных видов ЦОР...

Конспект урока в 10 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»Тип урока: комбинированный.Цели и задачи урока:образовательные – сформировать у учащихся умение решать тригонометрические уравнения,...