Развитие компонентов мышления учащихся при изучении показательных уравнений
учебно-методический материал по алгебре (11 класс)

Развитие интуитивных, логических и творческих компонентов мышления учащихся при решении показательных уравнений

В.Н. Кротова

Школьный курс предоставляет большие возможности для обучения, воспитания и развития учащихся. Анализ его содержания показывает, что  в процессе изучения математики учащиеся могут приобрести не только хорошие знания, но  также у них можно сформировать умения формулировать и доказывать гипотезы; проводить логически обоснованные рассуждения; планировать последовательность выполнения определенных действий (составление алгоритмов); преобразовывать объекты с целью определения новых функций и новых возможностей использования этого объекта для решения задач; учащиеся могут приобрести навыки поисковой и исследовательской деятельности, решения проблемных ситуаций и т.п. Все это  позволяет утверждать о возможности положительного влияния изучения математики на развитие интуитивных, логических и творческих компонентов мышления, которые, наряду с хорошим знанием учебного материала, имеют немаловажное значение для успешной сдачи учащимися единого государственного экзамена, для продолжения образования и социализации в обществе.  

При этом цель развития интуитивных, логических и творческих компонентов мышления учащихся должна ставиться и при изучении нового материала, и при его усвоении, и при обобщении и систематизации. Организация изучения учебного материала должна быть направлена на развитие каждого компонента мышления не только в отдельности, но и в совокупности. Это означает, что часть заданий должна быть нацелена на развитие только интуитивных компонентов мышления, часть на развитие логических и т.п. Но помимо этого обязательно на уроке должны присутствовать задания, направленные на развитие и интуитивных, и логических и творческих компонентов мышления. Тем самым можно будет достигнуть комплексного развития данных компонентов мышления.

В статье представлена реализация идеи комплексного развития интуитивных, логических и творческих компонентов мышления учащихся на примере изучения показательных уравнений.

На первоначальном этапе изучения показательных уравнений учитель может предложить учащимся высказать предположения относительно того, что называется показательным уравнением (они могут это сделать на основе знаний о показательной функции). После того, как они выскажут свое мнение, объяснят его, учитель вводит четкое определение: «Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, а основание степени – положительно и отлично от 1». Учащиеся должны продемонстрировать, как они поняли содержание определения. Для этого можно предложить им сформулировать различные примеры, иллюстрирующие данное определение. Только после этого желательно переходить к изучению основных типов уравнений и методов их решения.

Рассмотрение типов показательных уравнений начинается с простейших уравнений. Учитель вводит определение: «Простейшими показательными уравнениями называются уравнения вида ax = b, где a>0, a≠1, b R» (тип 1).

Естественно возникает вопрос относительно количества решений данного уравнения. Для ответа на него учащимся предлагается задание следующего типа: « Решите графически уравнения:

 а) 2х = 4, б) 2х = 0,5 , в) 2х = 0 , г) 2х = -4. Сделайте вывод относительно количества решений простейшего показательного уравнения».

Можно не давать учащимся конкретных уравнений, а предложить задание: «Укажите возможные варианты решения простейшего показательного уравнения. Ответ объясните». Первое задание в отличие от второго более конкретно, в нем указан способ обоснования ответа (с помощью графика), набольшее развитие получают логические компоненты мышления, но второе задание направленно на комплексное развитие компонентов мышления.

В результате выполнения заданий учащиеся должны получить следующие выводы: 1) если b>0, то один корень;

2) если b≤0, то корней нет.

Столь подробное изучение данного вопроса необходимо для того, чтобы впоследствии учащиеся при решении показательных уравнений с помощью замены переменной не забывали накладывать ограничения на вводимую переменную.

После рассмотрения простейших уравнений необходимо перейти к изучению уравнений вида: af(x) = ag(x) (a>0, a≠1) (тип 2), которые часто решаются с помощью метода уравнивания показателей.   Для этого можно использовать задания  следующих типов:

1) Что называется корнем уравнения? Определите подбором корни уравнений, представив основания каждого уравнения в виде одного и того же числа: а) 23х-2 = 2-2 (Ответ: 0); б) (0,25)2х-3,5 = 0,5 (Ответ:2); в)  (Ответ: -2; 3).

2) Решите уравнения: а) х2 – х – 6 = 0 (Ответ: -2; 3); б) 3х – 2 = -2 (Ответ: 0); в) 2х – 3,5 = 0,5 (Ответ: 2).

3) Какие уравнения называются равносильными? Установите равносильность уравнений из №1 и №2. Сделайте общий вывод.

При решении подобных заданий можно использовать групповые формы работы.

В итоге учащиеся должны заметить, что в случае если основания левой и правой части показательных уравнений совпадают, можно приравнять показатели степеней и получить равносильные уравнения, то есть показательное уравнение вида  af(x) = ag(x) (a>0, a≠1) равносильно уравнению  f(x)=g(x).

Можно предложить учащимся составить алгоритм решения уравнений данного типа и составить уравнения, решаемые с помощью метода уравнивания показателей. Алгоритм, например, может быть следующим:

1) представить левую и правую части уравнения в виде степени с одинаковым основанием;

2) приравнять показатели степеней;

3) решить полученное уравнение;

4) записать ответ.  

С рассмотренным типом показательных уравнений связан следующий тип: af(x) = bf(x) (а>0, b>0, а≠1,b≠1) (тип 3).

Учащимся можно предложить высказать свои предположения относительно метода решения такого уравнения. Чтобы им было легче стоит предложить им конкретный пример. В результате поисков учащиеся самостоятельно или под руководством учителя могут понять, что исходное уравнение можно представить в виде:  (bf(x)≠0). В итоге данное уравнение равносильно уравнению f(x)=0.

После этого учащимся предлагается решить уравнение: Они могут заметить, что данное уравнение похоже на уравнение типа af(x) = bf(x) . Поэтому можно обе части уравнения разделить, например, на 3x≠0 и получить уравнение: , корень которого равен 2. Далее необходимо обобщить предыдущий тип уравнения, а именно, предложить учащимся в общем виде записать только, что решенное уравнение (, где А, В – действительные числа, отличные от 0) (тип 4), и составить алгоритм его решения.  

При решении показательных уравнений нередко используется метод вынесения за скобки.  Этот метод удобно использовать для решения уравнений 2, 3 и 4 типов. В процессе его применения, необходимо вынести за скобку степень с наименьшем показателем, и преобразовать выражение, стоящее в скобках, с целью приведения исходного уравнения к уравнению простейшего вида.

Например, 1)  5х-1(25 – 3) = 22;  5х-1=1;  х=1.

2)  

     х=4                 [3].

Следующий тип показательного уравнения: F(ax) = 0 (тип 5). Для решения подобных уравнений используется метод, который называется методом замены переменной или методом введения вспомогательного неизвестного.

Алгоритм применения данного метода учащиеся вполне могут определить самостоятельно или под руководством учителя (в случае, когда учащиеся самостоятельно пытаются обнаружить способ решения, а затем доказывают правильность своих выводов или опровергают их, происходит комплексное развитие компонентов мышления).

Например, «Решите уравнение: ».

Если учащиеся испытывают трудности, то им можно предложить ряд наводящих вопросов следующего плана:

 1) Можно ли преобразовать данное уравнение таким образом, чтобы основания степеней были одинаковые?

2) Можно ли привести полученное уравнение к уравнению известного типа, если ввести дополнительную переменную?

3х = а.

3) Существуют ли ограничения для переменной а?

а > 0 так, как значения показательной функции не могут быть отрицательными и равняться нулю.

4) Какое уравнение получится в результате замены?

а2 – 4а – 45 = 0.

а1= 9, а2 = -5 – корни уравнения.

5) Мы нашли переменную а. Как можно перейти к переменной х?

Подставить вместо а числовое значение: 3х = 9 (х=2); 3х = -5 (нет решений).

6) Сформулируйте алгоритм решения уравнений данного типа:

- представить степени, содержащиеся в уравнении в виде степеней с одним и тем же основанием;

- выполнить замену;

- решить полученное уравнение;

- выполнить обратную замену;

- решить уравнение с учетом ограничений, накладываемых на новую переменную;

- записать ответ.

Метод замены переменной используется и для решения следующего типа уравнения: , где  A, B, С – действительные числа, отличные от 0,  (тип 6).

Например,  

Можно заметить, что . Поэтому если заменить , то .

Исходное уравнение в результате замены принимает вид: .

Решив полученное уравнение, мы найдем корни: t1 = 1, t2 = . Выполнив обратную замену, получаем: х1 = 2, х2 = 3.

Алгоритм решения данного типа уравнения может быть следующим:

1. ввести переменную t = af(x);
2. из соотношения выразить b, с учетом замены;
3. подставить новые переменные в исходное уравнение и решить его;
4. выполнить обратную замену и найти исходную переменную;
5. записать ответ.

Для решения уравнений типа: (тип 7) удобно также использовать метод замены переменной. Чтобы его применить, можно выполнить следующие преобразования: 1) разделить обе части уравнения на b2x>0 (а2х>0) и привести уравнение к виду F(ax) = 0; или 2) разделить обе части уравнения на (ab)x>0 и получить уравнение 6 типа.

Например, разделим обе части уравнения  на 81х;     b1=, b2 = 1; x1 = 0,5 и x2 = 0.

Полезным при решении уравнений очень часто бывает метод, основанный на использовании свойств монотонной функции. Как известно, показательная функция является монотонной, поэтому для решения показательных уравнений этот метод может быть применим.

Подвести учащихся к использованию этого метода можно, например, следующим образом:

1) Определите подбором корень уравнения 2х + 3х = 5.

Учащиеся без труда находят х = 1.

2) Докажите, что других корней уравнение не имеет.

Учащиеся должны обосновать, что у = 2х + 3х является возрастающей функцией, поэтому при х>1, 2х + 3х >1, при х<1, 2х + 3х <1. В результате этого уравнение 2х + 3х = 5 имеет один корень.

Учащиеся должны понимать, что монотонная функция каждое свое значение принимает один раз.

Отдельно необходимо рассмотреть следующий тип показательных уравнений:           f(x)g(x) = f(x)h(x) (тип 8).

Для решения подобных уравнений необходимо рассмотреть два случая:

1. g(x) = h(x) при условии f(x)>0 и f(x) ≠1 ;
2. f(x) =1 при условии, что g(x) и h(x) – определены.

При этом, необходимо обратить внимание учащихся на тот факт, что данное уравнение мы рассматриваем как тип показательного уравнения, поэтому те значения переменной, которые формально удовлетворяют исходному уравнению, но при которых f(x), не считают корнями этого уравнения.

Например, хх-4 = х2х-7 . 1) Если х>0 и х≠1, то х – 4 = 2х – 7; х = 3.

2) х = 1 так, как х – 4 и 2х – 7 определены при любых значениях х.

Ответ: 3;1.

Таким образом, в процессе изучения темы: «Решение показательных уравнений» учащиеся должны быть ознакомлены с различными типами уравнений и методами их решения.

Для самостоятельного решения учащимся могут быть предложены задания, содержащие уравнения различных типов. Учащиеся должны определить тип уравнения и решить его.

Например, 1) Решите графически уравнения: а) (Ответ: -2; 2);

б) 0,5х-1 = х+2 (Ответ: 0) .

2) 3х+3 – 3х = 78;

Решение:

3)  

Решение: ;

4) 5         

Решение:  

5)  

 Решение: 5х = а>0;

6) 9х + 32х+1 = 4х+1;

 Решение:  .

7)  

Решение:  =.

8) 4х + 7х + 5х = 16; Ответ: х = 1.

9) 

Решение:

10)  

Решение:

11)

 Решение:

12)  Ответ: 1; 3; 5.

Учащимся помимо перечисленных выше заданий должны быть предложены задания, требующие творческого применения знаний.

Например, 1) Решите уравнение:  Составьте показательные уравнения с основанием 5, корнями которого являются числа 2 и -3 (отличные от исходного).

2) Решите уравнение:  Представьте 1 в правой части уравнения в виде различных выражений, не влияющих на область допустимых значений переменной х. Например, 1 =cos2x + sin2x или  и т.п.

3) 10_______= 4____. Составьте различные показательные уравнения по известным данным так, чтобы: 1) уравнение имело 1 корень;                            2) имело два корня; 3) не имело корней.                                                  Например,

4) Решите уравнения: а) (уравнение имеет один корень х = 0 в силу свойств монотонности функции);

б)  (Данное уравнение не имеет решений так, как правая часть равна -5);

в) (Данное уравнение равносильно уравнению:  при условии, что х> -1. Ответ: 2;3).

Таким образом, привлекая учащихся к поисковой деятельности, к составлению алгоритмов, задач, предоставляя им определенную степень самостоятельности, используя разнообразный материал и т.п., можно не только активизировать их мыслительную деятельность и сформировать хорошее качество знания материала, но и оказать положительное влияние на развитие умений и качеств, соответствующих интуитивным, логическим и творческим компонентам мышления.

Литература:

1. Ершова А.П., Голобородько В.В.  Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: ИЛЕКСА, 2012. – 176 с.
2. Кравцев С.В., Макаров Ю.Н., Максимов М.И., Нараленков М.И., Чирский В.Г. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М.: Экзамен, 2001. – 544 с.
3. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.- 480 с.
4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В двух книгах. Книга 1. Алгебра/ под ред. М.И. Сканави. – 9-е изд. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2001. – 616 с.