Проект «Математические задачи: вчера… сегодня… завтра…»

Оглавление

Введение        2

1. Старинные математические задачи        5

2. Задачи современности и будущего        8

Заключение        10

Библиографический список        11

Введение

Освоение атомной энергии, космического пространства, создание глобальных компьютерных сетей - достижения, каждое из которых было бы невозможно без активного развития математики. Математика позволяет увидеть перспективу, помогает разработать технологию, дает возможность предвидеть последствия воплощения замысла в жизнь.

Более 100 лет назад Давид Гильберт рассуждал о том, что каждому из нас очень интересно приподнять завесу истории и узнать, что нас ожидает в будущем. В начале прошлого столетия американцы провели обширные исследования в области перспективных технологий. Результаты были ошеломляющие, но там не было представлений ни о лазерах, ни о реактивных самолетах, ни о телевидении. Значит, предсказать будущее не так-то просто.

Давным-давно считалось, что человек не может покинуть землю. Народная мудрость гласит о том, что чем выше залезешь, тем больнее будет падать и тем ниже упадешь. Сегодня мы считаем, что это не совсем так, потому что мы знаем о космических скоростях. И, рассуждая о будущем сегодня, наверное, не стоит что-либо отрицать, ведь невозможное сегодня, станет возможным завтра. Этот вывод можно связать с судьбой каждого человека и с любой наукой, в том числе с математикой. Эвклид своим пятым постулатом в геометрии утверждал, что через точку на плоскости, не принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую параллельную данной. А теория Лобачевского опровергает это. Согласно ему, по крайней мере, две такие прямые да существуют.

Все меняется, на смену старым теориям приходят новые, взамен старых технологий появляются новые. Так компьютеры изменили мир математики, а значит, изменили и наше мышление, и наше образование, и, в целом, мировоззрение.

Ученые продолжают предсказывать наше будущее с большой уверенностью. -Предполагается, что уже к 2050 году будет создан лифт, способный переносить людей в открытый космос, причем не только астронавтов, но и туристов. Средство передвижения будет на солнечных батареях и с тросом длиной сто тысяч километров.

• Роботы смогут заменить людей во всех сферах деятельности, начиная от заводов и фабрик, заканчивая вождением автомобиля.
• Будет решена одна из самых глобальных проблем в медицине- проблема донорства.
• К 2025 году исследователи предсказывают появление возможности записать ДНК на электронный носитель. По всей планете будут установлены микрочипы, которые смогут диагностировать состояние организма людей круглосуточно.
• Гаджеты, ноутбуки и другие устройства потеряют весомый смысл. Мир станет буквально окутанным электронными импульсами, позволяющие людям выйти в интернет при помощи, например, обыкновенных контактных линз и даже создавать собственную виртуальную реальность. Люди начнут общаться не произнося ни звука, с помощью мыслей. На сегодняшний день уже существуют подобные прототипы, созданные специально для людей с дефектами слуха и речи.
• По предсказаниям экспертов, к 2030 году летающие транспортные средства станут такими же распространенными, как и обычные машины.
• Появится одно большое государство, напоминающее США или бывший Советский Союз. Такие изменения уничтожат терроризм и снизят риск возникновения кризисов.

Так это будет или иначе, время покажет, но, безусловно, прогноз будущего очень важен.

Вывод выстраивается сам собой, математика – важнейший школьный предмет, который не только ум в порядок приводит, но закладывает перспективу на всю оставшуюся жизнь. Поэтому, наверное, она такая сложная.

Цель моего проекта: составить список задач и фокусов прошлого, настоящего и будущего, используя ресурсы Интернет.

Задачи:

1)   Подобрать интересные математические фокусы и задачи;

2)   Включить их в презентацию;

3) Составить список этих задач и фокусов и сделать его копии для дальнейшего распространения.

Актуальность проекта: дело в том, что часть учеников не интересуется математикой. Эта наука необходима во многих сферах деятельности, а потому является очень важной. А благодаря моему проектному продукту, возможно, некоторые из них найдут ее интересной и увлекательной.

Я отобрал задачи, которые, на мой взгляд, были наиболее интересны, их формулировки звучали занимательно. Хочется надеяться, что выполненная мною работа будет полезной не только для меня, но и для многих учеников 7-8 классов, желающих узнать больше об интересных математических задачах и укрепить свои навыки в их решении. 

1. Старинные математические задачи

Задачи Древнего Египта

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э. математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии.

Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотен.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.

Еще IX тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии.

Задача 1.

У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа из этого ряда и их сумма? (7; 49; 343; 2401; 16807; 19607).

Задача 2.

Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

, .

Задачи Древней Греции

Задача 3. О школе Пифагора.

Пифагор Самосский (ок. 570- ок.500 г. до н. э.) – древнегреческий математик и филосов. Основал пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В школе возникло представление о шарообразности Земли.

Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?  (Среди 28 учеников школы Пифагора математикой занимались 14, музыкой - 7, пребывали в молчании - 4 и было еще 3 женщины).

Задача 4.

Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами? (Пусть у каждой из грации было по x плодов и они отдали каждой из муз по y плодов. Тогда по условию задачи должно быть x - y = 3y или x = 12y, т. е. у каждой грации до встречи с музами число плодов было кратно 12).

Задача 5. Герона Александрийского.

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за один день,- второй- за два дня, третий - за четыре дня. Сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе? (12/35 дня).

Задачи Древнего Китая

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхе относиться к началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначения цифр на гадальных костях животных XIII в. до н. э. Среди важнейших достижений китайской математики отметим: введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, уравнений высоких степеней. В Китайских рукописях содержатся наиболее ранние сведения о магических (волшебных) квадратах (V в. до н.э.).

Задача 6.

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3X3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

(4 9 2

 3 5 7

 8 1 6)

Задача 7. 

Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей. (23 + 105t).

Задачи Древней Руси

Задача 8.

Сельский виноторговец призвал трех своих сыновей и велел поделить им поровну между собой 7 полных бочонков с вином, 7 таких же бочонков, наполненных вином поровну, и 7 таких же бочонков, но пустых. Как сыновья могут поделить вино и бочонки, чтобы каждому досталось и одинаковое количество вина, и одинаковое число бочонков, если переливать вино из одного бочонка в другой нельзя? (Каждый из сыновей должен получить по 7 бочонков. Все же вино можно представить себе так: 7 полных бочонков равны 14 полным наполовину бочонкам, плюс 7 полных наполовину бочонков, т.е. всего 21 полный наполовину бочонок. Следовательно, каждый из сыновей должен получить по 7 полных наполовину бочонков вина. Это можно сделать следующим образом:

Полных Полных Пустых

бочонков наполовину бочонков

бочонков

1 сын 2 3 2

2 сын 2 3 2

3 сын 3 1 3).

Задача 9.

На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Хозяин двора и его сын вышли на двор, посмотрели на живность и пошли в поле. По дороге сын и спрашивает: «Папа, сколько у нас на скотном дворе гусей и сколько поросят?» - «А вот угадай-ка сам. Если считать по головам, то на дворе 25 голов, а если по ногам, то 70 ног». Сколько было гусей и сколько поросят? (Так как голов 25, всех гусей и поросят 25 штук. Если бы на дворе гулял только одни гуси, то у них было бы 50 ног. На самом деле ног у всех обитателей скотного двора 70. Следовательно, «лишние» 20 ног принадлежат гулявшим на дворе поросятам, у каждого из которых на 2 ноги больше, чем у гуся. Значит, поросят было 20 : 2 = 10, а гусей 25 - 10 =15).

Задача 10.

Хозяйка в продолжение поста накопила два горшка масла: один в 8 фунтов, другой в 3 фунта, а третий горшок в 5 фунтов остался у нее

пустым. Перед праздником хозяйке понадобилось одолжить 6 фунтов масла соседке. Как она это сделала, если меркой могли служить только те же три горшка? (В 5-фунтовый горшок хозяйка доложила масла из 8-фунтового горшка, в котором осталось такое количество масла, которое требовалось).

Задача 11.

Дед, отец и сын встретили во время прогулки знакомого, который спросил, сколько каждому из них лет. «Нам 131 год и 10 месяцев», - ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда их знакомый, продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца: «Ну скажите же, сколько вам лет?»- «Мне вместе с сыном 57 лет и 2 месяца,- ответил отец,- а сын на 19 лет и 10 месяцев моложе меня». Так знакомому и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Сколько лет деду, отцу и сыну? (Деду-74 года и 8 месяцев, отцу-38 лет и 6 месяцев, сыну-18 лет и 8 месяцев).

2. Задачи современности и будущего

Открытые (нерешённые) математические проблемы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Проблемы Гильберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Свой список обнародовал Математический институт Клэя.

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.

Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 3, записать в виде суммы двух простых?

Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?

Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n2 + 1? (последовательность A002496 в OEIS).

Все четыре проблемы на 2019 год остаются открытыми.

Задачи тысячелетия — семь открытых математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2019 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена

Проблемы Смейла — список из восемнадцати нерешённых математических проблем, предложенный Стивеном Смейлом в 2000 году. Смейл составил свой список по просьбе Владимира Арнольда, занимавшего в 1995–1998 годах пост вице-президента международного математического союза. Идею этого списка Владимир Арнольд взял из списка проблем Гильберта.

Заключение

В современной жизни, когда самый обычный человек всё больше зависит от применения науки и техники в повседневной деятельности, роль математики очень важна. Даже самые простые расчеты человек делает, не задумываясь о том, что применяет математику: он определяет время на часах, выполняет денежные расчеты или рассчитывает пробег автомобиля, готовит блюдо по рецепту или получает отметку в школе, и т.д. Мы встречаемся с математикой всюду: в школе, на улице, в магазине, дома. Занятия математикой развивают человека как личность, делают целеустремленным, активным, самостоятельным, трудолюбивым, упорным и терпеливым.

Так что же нас ждет в будущем? Это зависит от нас самих. Как мы относимся к жизни сегодня, как кирпичик за кирпичиком выкладываем наши знания об окружающем нас мире, развиваем себя, как личность, так и закладываем фундамент нашего будущего. И, как выясняется, очень многое зависит от того, как мы изучаем один из самых важнейших школьных предметов – математику.

Изучив всего лишь небольшую часть имеющейся литературы, я пришел к выводу о том, что усовершенствование навыков решения задач прошлого, настоящего и, по возможности, будущего существенно помогут мне и моим коллегам-ученикам осваивать такую науку, как математика.

Библиографический список

1.Аксенова. М. Д. - Энциклопедия для детей.Т. 11. Математика/ Главный ред. М.Д. Аксенова. - М. Аванта, 2006г.

2. Глейзер.Г.И. «История математики в школе»

4.Спивак А.В. Математический праздник. 4.1 - М.: Бюро Квантум, 2012

5. Шалаева Г.П. Всё обо всём. Популярная энциклопедия для детей. Москва «Слово» 2013г.

6.  http://www.webmath.ru,

7. http://www.wikipedia.org,