Посторонние и потерянные корни.
статья по алгебре (9, 10, 11 класс)

Посторонние и потерянные корни.

Комплекс уравнений,

при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.

Рассмотрим несколько конкретных примеров, где некоторые преобразования уравнений приводят к новым уравнениям,  неравносильным данному, что ведёт к появлению посторонних корней или их потере.

Пример 1.

Дано уравнение 3х(х – 1) = 5(х – 1).

1 способ решения:

Раскроем скобки в данном уравнении, перенесём все члены в левую часть и решим квадратное уравнение.

3х² - 8х + 5 = 0

Корни уравнения  х = 1, х= .

2 способ решения:

Сократить обе части уравнения на общий множитель (х – 1), то получится уравнение

3х = 5, которое имеет всего лишь один корень х = .

Таким образом, деление обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Пример 2.

Дано уравнение 2х -3 = 5 .

Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат, получим (2х – 3)² = 25.

Решая это уравнение, найдём корни: х = -1, х = 4.

Новое уравнение(2х – 3)² = 25 неравносильно исходному уравнению 2х – 3= 5.

Корень х = -1 не является корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем.

Посторонний корень может появиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат, вообще в чётную степень.

Пример 3.

= 0.

Сократим дробь, стоящую в левой части уравнения  на х и получим уравнение

  х·(х – 1) = 0

   Решим данное уравнение: х = 0 или х – 1= 0

                                                                     х = 1,

т.е. корни данного уравнения 0 и 1.

Корнем исходного уравнения 0 не является, так как в исходном уравнении придётся делить на ноль, а так как на 0 делить нельзя, то х =  0  - посторонний корень.

Ответ:1.

Посторонний корень может появиться при сокращении дроби на выражение, содержащее неизвестное.

Пример 4.

 = 2 - х

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень)

х + 4 = 4 – 4х + х²

х² -5х = 0

х = 0

х=  5

х= 5 – посторонний корень

Так как уравнение f²(х) = g²(х) является уравнением -  следствием не только для уравнения

 f(х) = g(х),  но и для уравнения f(х) = - g(х). Поэтому при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. Уравнения не равносильны, но они равносильны на области определения: х 2.

Уравнение исходное можно заменить на равносильную систему

При решении иррациональных уравнений надо делать проверку подстановкой корней в исходное уравнение или использовать ОDЗ в зависимости от того, где вычисления выполняются легче.

Пример 5.

= х – 2

Возведём обе части уравнения в квадрат.

()²= (х – 2)²

2х – 1 = х²- 4х + 4

2х – 1 - х² + 4х – 4 = 0

- х²- 6х + 5 = 0

х =  3 + 2 = 5

х = 3 – 2 = 1

                                                          Проверка.                                                      

х= 1                                                                                                    х= 5                                                                                        

 = 1 – 2                                                                             = 5 - 2                    

1 = - 1 – неверное                                                                    3 = 3 – верное

 х= 1 – посторонний корень                                                     х= 5 – корень

Ответ:5.

Пример 6.

 = -х

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень).

()² = (-х)²

1 + х = х²

х² - х – 1 = 0

4х² - 81х – 81 = 0

х=

х=           х=

Проверка подстановкой в данном случае будет сопровождаться значительными трудностями при вычислении, поэтому прибегнем к использованию ОDЗ:

 Из уравнения    = -х        -х  0

Подставим в данное неравенство полученные корни.

1)   х=  Имеем:         -·   0 – неверное, т.к. произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Значит, х=   - посторонний корень.

2) х= .   Имеем:         -·   0 – верное, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, х=    - корень уравнения.

Ответ: .

Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

Пример7.

 +  =  |• (х-1).(х-2)0

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, не равный нулю.

1 + 3х – 6 =  - х ² + 4х -3

х ²  - х – 2 = 0

х = -1      х=  2

Проверку в дробно – рациональных уравнениях делаем по условию неравенства нулю знаменателя, проверяем условие (х-1).(х-2)0

х = -1                                                         х = 2                  

(-1 – 1)(-1 – 2) 0                                      (2 -1 )(2 – 2) 0

60- верное                                           00 – неверное

х- корень уравнения                                 х- посторонний корень

Ответ: -1.

 Причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Вот некоторые из них:

• х = ()²

•  =  ·

•  log(х·у) = logх + logу

• logх² =  2logх

• tg(x +y) =

• sin x =

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством  области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.

Пример  8. 

log(х – 2) + log(х+3) = 2

Решение:

По свойству логарифмов имеем:

log(х – 2)(х + 3) = 2

(х – 2)(х + 3) = 36

х² + х - 6 -36 = 0

х² + х – 42 = 0

х =6 и х =-7     х = -7 – посторонний корень

Исходное и последнее уравнения неравносильны в ОDЗ

 Чтобы исключить посторонний корень надо использовать ОDЗ  или уравнение заменить равносильной системой            

Пример 9.

3sinx + 4 cos x = 5

3 + 4 = 5

 = 0

(3tg-1)² =0

tg =

 = arctg +, n

х = 2arctg+ 2, n

При переходе от уравнения (1) к уравнению(2) могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения cos=0 корнями данного уравнения.

cos=0

 =  + 2, n

х = , n

Проверка.

Если х = , n,тогда 3sin() + 4cos () = 5, х

0 + 4(-1) = 5 – не верно, значит х = , n, не является корнями исходного уравнения.

Ответ: х = 2arctg+ 2, n

Итак, в процессе решения каждое уравнение заменялось на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть свои корни. Проследить за изменением корней, не допустить их потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.