Решение неравенств с модулем
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Что такое модуль? Как решаются неравенства?

Слайд 3

. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Алгебраическое определение . Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный x — всё-таки отрицателен. Записывается это так: |x|= { x , x≥0,−x, x <0.|x|={ x , x≥0,−x, x <0. Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». Геометрическое определение . Пусть на числовой прямой отмечена точка a . Тогда модулем |x−a | называется расстояние от точки x до точки a на этой прямой. : Из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной . Определение модуля

Слайд 4

Методов решения неравенств множество. Рассмотрим некоторые из них Метод интервалов для неравенств Дробно-рациональные неравенства Решение неравенств. Метод интервалов

Слайд 5

. Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида: |f| < g В роли функций f и g может выступать что угодно, но обычно это многочлены Все они решаются по схеме: |f| < g⇒−g < f < g (⇒{ f < g,f >− g ) |f| < g⇒−g < f < g (⇒{ f < g,f >− g ) Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте f или g метод всё равно сработает. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

Слайд 6

Выглядят они так: |f| > g Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая: |f| > g ⇒[ f > g,f <− g|f| > g ⇒[ f > g,f <− g Другими словами, мы рассматриваем два случая: Сначала решаем обычное неравенство без учета модуля Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак. При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются . « ∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U», которая пришла к нам из английского языка и является аббревиатурой от « Union », т.е. «Объединения». «∩» — это знак пересечения. Это просто противопоставление к «∪». Неравенства вида «Модуль больше функции»

Слайд 7

Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю; Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой; Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается; Решить неравенство на каждом таком участке Метод перебора вариантов