Вариант 1 (сентябрь 2018) базовый уровень, сайт "Решу ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс)

Вариант 1 (база Гущин сентябрь 2018)   Задание 10 № 320187

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов. 

Пояснение.

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

 Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

 Последовательно проверяя значения , равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является . Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

 Ответ: 5.

Примечание.   Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:  

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Приведем другое решение.

Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства

В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.

Вариант 1 (база Гущин сентябрь 2018)    Задание 18 № 510188

Среди жителей дома № 23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома № 23, которые учатся, ещё и работают. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 

1) Хотя бы один из работающих жителей дома № 23 учится.

2) Все жители дома № 23 работают.

3) Среди жителей дома № 23 нет тех, кто не работает и не учится.

4) Хотя бы один из жителей дома № 23 работает. 

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пояснение.

Рассмотрим представленные утверждения:

1) Хотя бы один из работающих жителей дома № 23 учится — верно, так как некоторые жители дома №23 учатся и работают.

2) Все жители дома № 23 работают — неверно, так как есть те, кто учится и не работает, а есть те, кто не работает и не учится.

3) Среди жителей дома № 23 нет тех, кто не работает и не учится — неверно, так как среди жителей есть те, кто не работает и не учится.

4) Хотя бы один из жителей дома № 23 работает — верно, так как есть те, кто работает и не учится, а есть те, кто учится и работает. 

Ответ: 14.

Вариант 1 (база Гущин сентябрь 2018)    Задание 19 № 506362

Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид . Тогда условие записывается так: . Можно заметить, что если , то равенство никогда не выполняется. Когда есть хотя бы две единицы, оно так же не выполняется. Значит, среди данных чисел может быть лишь одна единица. Тогда другие две цифры — 2 и 3. Из этого набора можно составить только два числа, которые делятся на 4: 132 и 312. 

Ответ: 132 или 312.

Вариант 1 (база Гущин сентябрь 2018)    Задание 20 № 512768

Клетки таблицы 3×7 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Пояснение.

Угловые клетки имеют по 2 соседа, таких клеток в таблице 4, значит, всего пар 2 · 4 = 8. Крайние клетки (не угловые) имеют по 3 пары, таких клеток 12, значит, всего пар 12 · 3 = 36. Все остальные клетки имеют по 4 пары, таких клеток 21 − 4 − 12 = 5, то есть 20 пар. Всего имеем пар 8 + 36 + 20 = 64. В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 64 : 2 = 32. Поэтому пар белого цвета 32 − 17 − 11 = 4.

Ответ: 4.