Геометрический смысл производной и его применение к исследованию функций
статья по алгебре (11 класс) на тему

Геометрический смысл производной и его применение к исследованию функций.

В задачах на исследование функций с помощью производной можно выделить два основных типа заданий: 1) задачи на геометрический смысл производной

                         2) задачи на исследование промежутков монотонности функции и точек экстремумов функции

Успешно решать задачи первого из указанных типов помогает такой методический прием: нужно уметь отождествлять следующие понятия:

1. Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной  к графику функции в точке
2. Тангенс угла наклона касательной к графику  в точке с абсциссой  

Можно заметить, что для ответа на поставленный вопрос в большинстве заданий подобного типа достаточно лишь выполнить в нужном месте (в соответствии с условием задачи), соответствующую замену одного понятия на другое. Рассмотрим следующий пример:  

1. На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции  в точке   .

Решение:

Для того, чтобы определить значение производной функции в точке , достаточно найти тангенс угла  С в треугольнике АВС.  На первом рисунке угол, который составляет касательная с положительным  направлением оси ОХ острый, значит тангенс угла С равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету   . Следовательно, ответ  0,25.

На втором рисунке угол, который составляет касательная с положительным направлением оси ОХ тупой. Так как   , то значение производной функции в точке   равно минус отношение  противолежащего катета к прилежащему катету треугольника АВС, то есть    , поэтому ответом будет  - 0,25.

2. На рисунке изображен график функции  . Прямая, проходящая через точку     Найдите значение производной

Решение:

Проведем касательную, о которой идёт речь в условии, соединив прямой линией точку  и точку графика с абсциссой. Получили треугольник с вершинами в точках  Тангенс угла равен Поэтому

3. Функция определена на промежутке. На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой

Решение:

Если касательная параллельна прямой  то это означает, что её угловой коэффициент равен 2. Заменяя понятие «угловой коэффициент касательной» на значение производной в точке, получаем, что требуется найти количество точек, в которых производная равна 2. Проведя прямую  и подсчитав количество точек пересечения этой прямой с графиком  получим искомое количество точек равно 5 – на данном рисунке эти точки отмечены жирно

4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале  . Найдите количество точек, в которых производная функции  равна 0 .

Решение:

Если производная равна 0, то угловой коэффициент касательной равен 0, значит, касательная параллельна оси ОХ и  проходит через точки экстремума. В данной задаче таких точек 8 плюс еще одна точка – точка перегиба, в которой также производная равна 0. В ответе получаем 9

5. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение:

Значение производной функции равно угловому коэффициенту  касательной, проведенной к графику функции в этой точке , поэтому если провести касательные в этих точках, то угловой коэффициент и точках 1 и 3 будет иметь положительное значение (угол, который составляет касательная с осью Ох – острый), а в точках -1 и -2 – отрицательный, но угол, который составляет касательная с осью Ох в точке -1 больше, чем угол в точке -2 . Так как из двух отрицательных чисел больше то модуль которого меньше, то наименьшее значение производной будет при

Ответ: -2

Среди заданий на геометрический смысл производной есть и такие, в условии которых не приведён какой-либо рисунок. Рассмотрим следующие примеры

1. Прямая  параллельна касательной к графику функции    . Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Так как касательная параллельна прямой , то угловой коэффициент касательной равен -3. Пусть прямая касается графика функции  в точке с абсциссой . Тогда её угловой коэффициент равен значению производной функции  в точке с абсциссой  то есть  Следовательно       

 Ответ: -5                     .

2. Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Пусть  - абсцисса точки касания данной прямой и графика. Тогда угловой коэффициент прямойравен значению производной функции  в точке  то есть  Отсюда имеем уравнение:  , корнем которого является число -1. В точке касания должно быть выполнено следующее условие:   (точка касания принадлежит как графику функции, так и прямой). Подставляя в это равенство -1, получаем что равенство выполнено. Значит  это абсцисса точки касания.   Ответ:  -1

3. Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.

Решение:

Так как прямая является касательной, то значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и равно -3. Пусть  - абсцисса точки касания данной прямой и графика, тогда напишем уравнение касательной и точке с абсциссой . . Тогда подставляя полученные значения в уравнение , получаем уравнение  . Зная, что прямая является касательной, составим систему  получили          

Ответ:  18

4. Прямая  является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение:

Так как прямая является касательной, то значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и равно -3.  Пусть  - абсцисса точки касания данной прямой и графика, тогда напишем уравнение касательной и точке с абсциссой .  . Тогда подставляя полученные значения в уравнение , получаем уравнение  . Зная, что прямая является касательной оставим систему  получили    Так как  абсцисса точки касания больше 0, то  получили тогда   Ответ:  -27

5. Прямая  является касательной к графику функции . Найдите a.

Решение:

Так как прямая является касательной, то значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и равно 8.  Пусть  - абсцисса точки касания данной прямой и графика, тогда напишем уравнение касательной и точке с абсциссой .     . Тогда подставляя полученные значения в уравнение , получаем уравнение  . Зная, что прямая является касательной оставим систему   получили  , тогда             

 Ответ:  1

6. Прямая является касательной к графику функции  Найдите  значение коэффициента

Решение:

Пусть  - абсцисса точки касания данной прямой и графика. Тогда угловой коэффициент прямойравен значению производной функции  в точке  то есть  Отсюда, учитывая также то, что точка касания принадлежит одновременно и прямой   и заданному графику, получаем уравнение: . Решая это уравнение, находим:    Ответ: 31

Перейдем к задачам второго типа (исследование промежутков монотонности и точек экстремумов функции). Основой для решения примеров этого типа является следующий факт – если производная функции положительна, то функция возрастает, а если производная отрицательна, то функция убывает. При исследовании функций на максимумы и минимумы полезно такое следствие указанного выше факта – если при переходе через точку  (слева направо) производная   меняет знак с «плюса» на «минус», то    - точка максимума функции , а если знак    меняется с «минуса» на «плюс», то  - точка минимума. Рассмотрим следующие примеры:

1. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка  функция  принимает наименьшее значение?

Решение:

Из данного рисунка видно, что на отрезке производная  , следовательно,  на этом отрезке  функция убывает, поэтому наименьшее значение функция принимает при

Ответ: 3

2. На рисунке изображен график производной функции ,    определенной на интервале . В какой точке отрезка     принимает наименьшее значение.

Решение:

На отрезке  производная функции меньше нуля, а на отрезке  производная положительна, значит точка  точка экстремума, так как производная меняет знак  с «минуса» на «плюс», то  - точка минимума, поэтому наименьшее значение функции достигается в точке минимума. Ответ: -2

3. На рисунке изображен график  — производной функции,   определенной на интервале  . Найдите количество точек экстремума функции ,   принадлежащих отрезку

Решение:

На рисунке график производной функции. Необходимое условие существования экстремума функции, это то,  что производная функции в этих точках равна нулю, значит искать точки экстремума надо искать но оси Ох. На данном рисунке 7 точек пересечения графика с осью Оо, значит на данном интервале всего 7 точек экстремума.

Ответ: 7

4. На рисунке изображен график    — производной функции , определенной на интервале  . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку  

Решение:

На данном рисунке 3 точки экстремума, среди них две точки максимума (производная   меняет знак с «плюса» на «минус») и одна точка минимума ( меняет знак с «минуса» на «плюс»)

Ответ: 1

5. На рисунке изображен график    — производной функции , определенной на интервале  . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку  

Решение:

По графику функции видно, что на отрезке    3 точки экстремума, среди них две точки минимума  ( меняет знак с «минуса» на «плюс») и одна точка максимума (производная   меняет знак с «плюса» на «минус»)

Ответ: 1

Задачи на исследование функций с помощью производной, содержащие в формулировке рисунок, могут быть дух различных типов:

1. На рисунке задан график производной и требуется узнать нечто о самой функции;
2. На рисунке задан график функции и требуется узнать нечто о свойствах её производной.

Рассмотрим несколько примеров относящихся к первому типу

1. На рисунке изображен график  — производной функции, определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них

Решение:

Функция убывает, если производная функции отрицательна. На рисунке производная функции отрицательна на интервале . Длина промежутка равна  

Ответ: 4

2. На рисунке изображен график    — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

Функция возрастает, если производная функции положительна. На рисунке производная положительна на интервале  Длина наибольшего промежутка равна

Ответ: 6

3. На рисунке изображен график   — производной функции, определенной на интервале  . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки

Решение:

Функция возрастает , если производная функции положительна. На рисунке производная положительна на интервале . Тогда целые числа принадлежащие этим промежуткам: 0; 1; 2; 5 и их сумма равна 8.

Ответ: 8

4. На рисунке изображен график   — производной функции. На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек:  Сколько из этих точек принадлежат промежуткам убывания функции ?

 Решение:

Функция убывает, если производная функции отрицательна. На рисунке в промежутки, при которых производная отрицательна входят точки  Значит всего 9 точек.

Ответ: 9

Рассмотрим несколько примеров относящихся ко второму типу

1. На рисунке изображен график функции, определенной на интервале  . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение:

Производная функции положительна, если функция возрастает. На рисунке функция возрастает на промежутках ] и на и на. В эти промежутки входят целые числа: -6; -5; 1. Границы промежутков не входят, так как в этих точках производная функции равна нулю, поэтому всего 3 точки.

Ответ: 3

2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

Производная функции отрицательна, если функция убывает. На рисунке функция убывает на промежутках   В этих промежутки входят целые числа: 2; 3; 4. Границы промежутков не входят, так как в этих точках производная функции равна нулю, поэтому всего 3 точки.

Ответ: 3

3. На рисунке изображен график функции  и отмечены восемь точек на оси абсцисс:   Найдите число отмеченных точек, в которых производная функции  отрицательна.

Решение:

Производная функции отрицательна в точке  только в том случае, если функция убывает в точке  . По данному на рисунке графику определяем, что среди отмеченных точек искомыми точками, в которых функция    убывает (и, значит, её производная отрицательна), являются точки  то есть искомое число точек равно 4.  

Ответ: 4

4. На рисунке изображён график функции  и отмечены точки -7; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной    наибольшее. (В ответе укажите эту точку)

Решение:

Так как значение производной     в точке   равно тангенсу угла между касательной к графику в точке и осью Ох, то среди указанных точек искомой является та, в которой тангенс угла между касательной и осью Ох является наибольшим.

В точках -3; 3; 7  значение производной   отрицательно (в этих точках функция  убывает), поэтому искомой точкой   будет являться одна из точек -7; -5; -1; 1; 5, в которых производная   положительна (в этих точках функция  возрастает).

Проводя в точках -7; -5; -1; 1; 5 отрезки касательных к данному графику, получаем , что наибольший угол наклона к оси Ох имеет касательная в точке  (в этой точке угол наклона касательной больше 45°, в остальных четырех точках угол наклона касательной меньше 45°).

 Ответ: -5

Задание  В7 включает применение свойств производной и первообразной  функции. При подготовке к ЕГЭ в 11 классе необходимо разобрать применение производной функции, её геометрический смысл. Рассмотрение решений данных задач помогут при решении заданий В7 при подготовке к ЕГЭ профильный вариант.