Карточка - шпаргалка
материал по алгебре (8 класс) на тему

Квадратное уравнение   —   это уравнение вида 
      ax2 + bx + c = 0 , 
где х — переменная,    a, b и  c  —  некоторые числа,  причем   а ≠ 0 . 
    Коэффициенты   a , b  и с   называют: 
                  а   —   первый коэффициент ; 
                b   —   второй коэффициент; 
          с   —   свободный член.   
        Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, 
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство. 

          Решить квадратное уравнение   —   значит найти все его корни или 
установить, что корней нет.   

Последовательность решения квадратного уравнения

Примеры решения квадратного уравнения

Реши сам

  ax2 + bx + c = 0,    а ≠ 0 

 
   Находим дискриминант

        D = b2 – 4ac ;   

и сравниваем его с нулем.

         Возможны 3 случая:

1) если   D < 0 ,   то квадратное уравнение не имеет корней ; 

2)  если   D = 0 ,   то квадратное уравнение имеет один корень  

             X1; 2 = ; 

3) если   D > 0 ,   то квадратное уравнение имеет два корня   

   X1=       X2=   

1 случай:

         2х2  + 7х + 8 = 0

          а = 2    b = 7     с = 8

Находим дискриминант

D = 72 4 2 8 = 49  64 = 15

D = 15 0

                   Ответ: корней нет.

2 случай:

          4 х2  х + 9 = 0

           а = 4    b = 12     с = 9

Находим дискриминант

D = 122  4 4 9 = 144  144 = 0

D = 0 = 0, один корень.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

Х1; 2=  =  =  =

                       Ответ: Х1; 2 =

3 случай:

        х2  4х + 3 = 0

       а = 1    b =  4     с = 3

Находим дискриминант

D = ( 4)2  4 1 3 = 16  12 = 4

D = 4 0, два корня.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

 Х1=  =  =  = 3

Х2 =  =  =  = 1

                    Ответ:  х1 = 3,  х2 = 1

Задание: решите квадратные уравнения:

1) 5x2 + 3x + 7 = 0;

2) 2х2 + х + 2 = 0.

3) x2 − 6x + 9 = 0;

4) x2 + 12x + 36 = 0

5) x2 − 8x + 12 = 0;

6) x2 − 2x − 3 = 0

Тема: «Неполные квадратные уравнения»

Уравнение  ax2 + bx + c = 0 ,  называется неполным квадратным уравнением,

если b= 0 или c = 0

Последовательность решения неполного квадратного уравнения

Примеры решения неполного квадратного уравнения

Реши сам

1 случай:

При b = 0, получим неполное квадратное уравнение вида

ax2 + c = 0.

Находим корни данного уравнения:

х2 =

и сравниваем с нулем.

Возможны два случая:

а) если , то получаем два корня:

б) если , то уравнение не имеет решений.

2 случай:

с = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида

     ax2 + bх = 0.

Решение:

 Вынесем общий множитель  x  за скобки.

Получим   х(ах + b) = 0.

(Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю).

        х = 0 или     ах + b =0

     х1= 0  или  х2 =

1 случай:

а) 3x2  48 = 0

     a = 3    c = 48

   3x2 = 48

    Х2 = ;  

Сравниваем с нулем:

    0, то два корня

    Х2 = 16

   х1; 2 =

x1 =  4  и  х2 = 4.

         Ответ:  х1 =  4  ,  х2 = 4

б) 6x2  54 = 0

      a = 6    c = 54

   6x2 =  54

  Х2 = ;    

Сравниваем с нулем:

     0,   то

         Ответ:  решений нет.

2 случай:

    х2  6х = 0

    a = 1    b =  6

      х(х  6) = 0

  х = 0 или  х   6 = 0

  х1= 0        х2 =

Ответ:  х1 = 0  ,  х2 = 6

Задание: решите неполные квадратные уравнения:

 1) x2  16 = 0;

 2) 4x2  36 = 0;

 3) 2x2  28 = 0.

 4)  х2  15х = 0;

 5) 3x2  12х = 0.