Сборник задач по комбинаторике и теории вероятностей.
учебно-методическое пособие по алгебре (9 класс) на тему

Сборник задач по комбинаторике и теории вероятностей.

Выполнил: учитель математики первой                  квалификационной категории Столярчук Лилия Геннадьевна    МБУ «Лицей №67» го Тольятти

2017 г

Пояснительная записка

По вопросам реформирования и модернизации нынешнего школьного математического образования существует множество весьма различных мнений. При этом среди вопросов о содержании школьной математики никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире.

Актуальность задач:

Комбинаторика представляет собой своеобразный раздел математики, нужный для успешного решения вопросов алгебры и других математических дисциплин. Однако наибольшее применение этого раздела находит себе место в теории вероятностей, науке, изучающей законы массовых явлений, каждое из которых в отдельности определяется условиями, не поддающимися учёту, и которые называются «случайными». Теория вероятностей давно уже приобрела столь большое значение, что много раз поднимался вопрос о включении её элементов в курс математики средней школы.

В настоящее время теория вероятностей  завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, лингвистика, философия  основаны  и развиваются на вероятностно - статистической базе. Чтобы наши дети были успешны в этом сложном, постоянно меняющемся мире, нам надо развивать у них вероятностно - статистическое мышление, т.е. умение анализировать и обрабатывать неполную и противоречивую информацию, чтобы в дальнейшем делать правильные выводы и прогнозы и принимать обоснованные решения.

            Изучение комбинаторики и элементов теории вероятностей сейчас наиболее актуально, так как задачи по данной теме включены в ОГЭ за 9 класс, а как такового изучения темы ещё не было отработано. Современный учитель математики пока делает ещё неуверенные шаги по пути теории вероятностей.

Цели и задачи предлагаемого сборника:

1) формирование специального типа мышления — комбинаторного;

2) формирование у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа конфигураций элементов, удовлетворяющих определенным условиям;

3) повышение интеллекта учащихся;

4) привитие профессионального интереса к занятиям комбинаторики как науки;

5) расширение кругозора учащихся;

6) формирование коммуникативной компетентности самосовершенствования: осуществлять самоконтроль, рефлексию;

7) формирование интеллектуальных умений: сопоставлять и сравнивать объекты, проводить аналогии, формировать критичность мышления, опыт творческой деятельности;

         8) углублённое изучение школьного курса математики.

Знания, умения и навыки при изучении курса «Комбинаторика и теория вероятностей».

Знать:

чем занимается комбинаторика и теория вероятностей;

чем обусловлено появление комбинаторики и теории вероятностей;

этапы их развития;

каковы основные проблемы комбинаторики и теории вероятностей;

понимать алгоритмы решения;

выводить формулу для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний.

Уметь:

вывести формулы классической комбинаторики;

решать простейшие задачи с помощью этих формул;

решать простейшие задачи на классическое и геометрическое определения вероятности.

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны:

• правильно употреблять новые термины;
• знать основные формулы и теоремы;
• уметь решать задачи  как по алгоритму, так и без него, комбинированным методом, аргументировано объясняя каждый шаг;
• повысить уровень математической грамотности.

Задача №1

Сколько можно составить сладких наборов по 3 шоколадки и 2 зефира из 9 различных шоколадок и 6 различных зефиров?

Задача №2

Сколько различных слов можно составить из букв слова «МАТЕМАТИКА»?

Задача №3

Девушка и юноша договорились о встрече с 14.00 до 15.00. Договорились, что каждый, пришедший первым, ждет другого не более 10 минут. Определите вероятность встречи.

Задача №4

Контролер в партии из 20 деталей наугад выбирает 5 деталей для проверки. Если среди выбранных деталей нет ни одной бракованной, то он принимает всю партию. Какова вероятность того, что контролер примет партию деталей, содержащую 7 бракованных?

Задача №5

В 11 классе три ученика, независимо друг от друга, решают задачу по теории вероятности. Вероятность того, что первый ученик не справится с задачей составляет 0,1, второй-0,3, а третий-0,2. Найдите вероятность того, что:

1. никто не решит задачу;
2. все решат задачу;
3. двое решат задачу;
4. хотя бы один не решит задачу;
5. хотя бы один решит задачу;
6. только один не решит задачу.

Задача №6

На четырех карточках написаны буквы: О, Т, И, П, Л. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и

положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ПИЛОТ»?

Задача №7

Товарищ  должен прийти на встречу с другом в промежутке времени от 15.00 ч до 15 ч 30 минут. Найдите вероятность того, что встреча произойдет с 15 ч 10 минут до 15ч 20 минут.

Задача №7

Программа экзамена содержит 40 вопросов. Студент Михаил  знает ответы на 30 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые  выбираются случайным образом. Какова вероятность, что студент  Михаил ответит на оба вопроса?

Задача №8

 В школьной столовой испекли 80 пирожков, из них 20 с яблоками. Ученик наудачу  покупает 6 пирожков. Какова вероятность того, что у него 4 пирожка с яблоками?

Задача №9

Внутри окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной  6 взята точка. Найдите вероятность того, что точка:

1. лежит внутри треугольника;
2. лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
3. лежит вне треугольника;
4. лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Задача №10

Сколькими способами могут сесть пять  СМЕШАРИКов  в космический корабль, если каждый из них может быть пилотом?

Задача №11

Сколькими способами можно выбрать трех ответственных за праздник , посвященный 9МАЯ, из класса,  в котором 20 человек?

Задача №12

Сколькими способами филателист может выбрать три  марки из пяти, предложенных  продавцом?

Задача №13

Сколькими способами можно разложить 12 различных игрушек по трем ящикам.

Список литературы:

1. Макарычев Ю.Н. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

2. Спирина М.С., Спирин П. А. «Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач»- Москва: Академия, 2014

3. Афанасьев, В.В., Суворова, М.А. «Школьникам о вероятности в играх. Вве дение в теорию вероятностей для учащихся 8 – 11 классов» - Ярославль: Академия развития, 2006.

4. Журналы «Математика в школе»  №6, №7 2004

5. Письменный, Д.Т. «Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам» - М.: Айрис-пресс, 2008.