Урок-лекция "Дифференциальные уравнения", 11 класс (углубление).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему
Урок разработан для классов с углубленным изучением математики. Материал математического анализа подаётся на доступном для школьников уровне. Знания полученные обучающимися на этом уроке не будут востребованы при подготовке к ЕГЭ, но не будут лишними для успешного обучения в ВУЗах соответствующих профилей. Разработка может быть использована для проведения факультативных занятий по математическому анализу.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_dif.uravneniya._pavlyuk_i.v.doc | 447.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока: «Дифференциальные уравнения»
Форма урока: лекция
Цель урока: формирование понятий – дифференциальное уравнение, решение дифференциальных уравнений (общее, частные особые).
План урока:
- Постановка цели урока и домашнее задание.
- Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- Определение дифференциального уравнения; определение решения дифференциального уравнения.
- Интегральные кривые.
- Определение общего решения дифференциального уравнения; определение частного решения дифференциального уравнения. Замечания об особых решениях дифференциального уравнения (д.у.).
- Решение упражнений.
- Итоги урока.
1. В классе:
К пункту 3: Пример1. Показать, что функция является решением дифференциального уравнения . Имеет ли это д.у. другие решения?
Пример 2. Решить д.у. .
Пример 3. Решить д.у. .
К пункту 4:Пример 1. Решить д.у. в общем виде и прикинуть положение интегральных кривых.
Пример 2. Построить интегральные кривые д.у. .
Пример 3. Докажите, что - решения д.у. и постройте интегральные кривые.
К пункту 5:Пример 1. Найти частное решение д.у. , удовлетворяющее условию .
Пример 2. Подобрать общее решение и особые решения д.у. ; построить интегральные кривые.
К пункту 6: № 1. Решите д.у.: а) ;
б) .
№2. Решите д.у. и выделите интегральную кривую, проходящую через заданную точку:
а) ;
б) ;
в) .
Домашнее задание: №10 (Вил.),
№13 (Вил.),
Решите д.у. а) ;
б) .
2. Введение
Многие законы физики связывают величины со скоростями их измерения. Пусть материальная точка массой движется по прямой линии под действием силы , направленной также по прямой.
По второму закону Ньютона: (1).
Кроме того (2).
Из (1) и (2) следует (3).
Уравнение (3) называется дифференциальным, а наивысший порядок производной в этом уравнении называют порядком дифференциального уравнения.
До сих пор мы встречались только с уравнениями вида , содержащими неизвестную переменную . Задача решения такого уравнения заключается в том, чтобы найти все значения переменной , при подстановке которых в данное уравнение получается верное равенство.
Однако ряд важнейших задач физики, математики и ее приложений приводит к необходимости решать уравнения более сложного вида, где неизвестной является не величина , а некоторая функция , причем уравнение наряду с и содержит еще и производные (до какого-то n-го порядка). Например: ; ; .
3. Определение д.у. и определение решения д.у.
Замечание:
Уравнение | Дифференциальное уравнение |
Общий вид: Требуется найти: | Общий вид: Требуется найти: |
Определение: дифференциальное уравнение
Уравнение, связывающее независимую переменную с неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Задание (устно): Определите порядок д.у. а) ;
б) ;
в) .
Определение: решение дифференциального уравнения
Решением дифференциального уравнения называется функция , дифференцируемая, по крайней мере, раз и такая, что при подстановке ее в уравнение последнее обращается в тождество.
Примеры:
№1. Показать, что функция является решением уравнения (4).
Решение:
Подставим и в уравнение (4): - верно, следовательно - решение уравнения (4).
! Однако функция не единственное решение уравнения (4).
? Какие еще функции являются решением уравнения (4)? ; и т.д., т.е. , где - произвольная постоянная.
Убедимся, что функция , где - произвольная постоянная, решение уравнения (4): подставим и в уравнение (4): - верно.
Итак, , ; и т.д. частные решения уравнения (4); - общее решение уравнения (4). Все частные решения являются результатом подстановок в общее решение конкретных значений произвольной постоянной.
№2. Решить уравнение .
Решение:
Возможно непосредственное интегрирование:
.
Здесь дважды применялось 1 свойство неопределенного интеграла: .
Ответ: - это общее решение, частные решение можно получить при подстановке в общее решение конкретных значений произвольных постоянных и .
№3. Решите уравнение .
Решение:
.
Ответ: .
Замечание: количество произвольных постоянных в общем решении д.у. равно порядку этого уравнения.
4. Интегральные кривые
Определение: интегральные кривые
Графики функций – решений дифференциального уравнения называют интегральными кривыми этого уравнения.
Примеры:
№1. Решить д.у. (5) в общем виде и прикинуть положения интегральных кривых.
Решение: , где - первообразная функции , - произвольная постоянная.
Итак, уравнение (5) имеет бесконечное множество решений. Их графики (интегральные кривые уравнения (5)) получаются путем параллельного переноса графика функции вдоль оси на , при этом через каждую точку , такую что функция непрерывна при , проходит одна и только одна интегральная кривая.
№2. Постройте интегральные кривые уравнения (4).
Решение:
Общее решение уравнения (4) имеет вид . При этом через точку, кроме начала координат проходит одна и только одна интегральная кривая.
! Начало координат – особая точка для д.у. (4). В этой точке и уравнение (4) не имеет смысла.
№3. Докажите, что - решение д.у. (6) и постройте его интегральные кривые.
Решение:
.
Подставим и в д.у. (6):
- верно.
Итак, - общее решение д.у. (6), причем
- уравнение окружности с центром и радиусом .
Интегральными кривыми уравнения (6) являются окружности с центром в начале координат.
! Ни дна из них не проходит через начало координат.
5. Определение общего и частного решений д.у., замечание об особом решении д.у.
Определение: общее решение д.у. первого порядка
Функцию , где - произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если:
- для она является решением этого д.у., т.е. ;
- для точки из области существует единственное значение , при котором линия проходит через точку , т.е. .
Примеры:
1. - общее решение уравнения на всей плоскости, проколотой в начале координат.
2. - общее решение д.у. на всей плоскости, проколотой в начале координат.
Определение: частное решение д.у.
Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называется частным решением этого уравнения.
Примеры:
№1. Найдите частное решение д.у. (6), удовлетворяющее условию
Решение:
Общее решение д.у. (6) имеет вид .
Чтобы найти частное решение, положим и , т.е.
.
Итак, (знак выбран с учетом ).
Ответ: .
Замечание: наряду с общими и частными решениями д.у. может иметь особые решения.
№2. Подобрать общее решение и особые решения д.у. (7); построить интегральные кривые.
Решение:
1) общее решение - .
Интегральные кривые – семейство синусоид.
Убедимся в том, что - решение д.у. (7), подставим и в уравнение 7:
- верно.
2) кроме этого уравнение (7) имеет два особых решения: и , графики которых в каждой точке касаются проходящего через эту точку графика частного решения.
6. Решение упражнений
№1. Решите д.у. а) ; б) .
Решение:
а)
.
.
Ответ: .
б)
.
Ответ: .
№2. Решите д.у. (8) и выделите интегральную кривую, проходящую через точку а) ; б) ; в) .
Решение:
Здесь .
Ответ: - общее решение д.у. (8).
а) Так как, то .
Ответ: .
б) Так как , то .
Ответ: .
в) Так как , то .
Ответ: .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Контрольная работа по алгебре по теме: "Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение". 9 класс ( углубленный уровень).
В контрольной работе содержится подборка заданий углубленного уровня по теме "Многочлены. Теорема Безу. Деление с остатком. Повторение". Для сильных ребят в этой теме необходимо рассмотреть ...
План-конспект урока в 8 классе (углубленный уровень) УМК О.В. АФАНАСЬЕВА И. В. МИХЕЕВА АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК для VIII класса школ с углубленным изучением английского языка, лицеев и гимназий Допущено Министерством образования Российской Федерации 3-е издание М
План-конспект. ВВедение новых лексических единиц...
Занятие кружка «Экспериментальная физика» 9 класс Тема "Оптика" 9 класс углубленное изучение
В рамках дистанционного проведения занятий обучающимся предлагается подробный план занятия кружка....
Технологическая карта урока "Умножение смешанных чисел" в 5 классе по учебнику Г. В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон «Математика 5 класс», углубленный уровень
Тема урока «Умножение смешанных чисел»(3 из 5 уроков по теме «Умножение дробей»)Учебник: Г. В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон «Математика 5 класс», углубленный уровен...
Самостоятельная работа по теме "Системы уравнений. Определители" 10 класс, (углубленный уровень)
Самостоятельная работа по теме "Системы уравнений. Определители" 10 класс, (углубленный уровень) составлена в двух вариантах...