Глоссарий
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Аргумент - независимая переменная величина, от значений которой зависят значения функции.

Например, рассмотрим функцию у от х, т.е. такое соответствие между величинами х и у, при котором каждому значению х соответствует только одно значение у. Переменная х в данном случае является аргументом функции.

Возрастающая функция - это функция, для которой на некотором промежутке выполняется следующее условие: разность

f(x2) - f(x1), где x2 и x1  - любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством x2 > x1, всегда положительна.

График функции - один из способов задания функции. Представляет собой множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)). Характеристическим свойством графика функции является отсутствие точек с одинаковыми абсциссами и различными ординатами. Это значит, что ни одна прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может пересекать графика функции в двух разных точках. График дает наглядное представление о свойствах функции. Ее область определения - это множество всех абсцисс точек графика. Ее область значений - это множество ординат точек графика. На графике сразу виден характер монотонности функции, ее корни и промежутки знакопостоянства, четность и периодичность, дифференцируемость. Недостатками графика являются его неточность и ограниченность размерами чертежа.

Десятичный логарифм - логарифм при основании 10 - широко применялся при вычислениях, благодаря господствующей у нас десятичной системе счисления. В связи с частым употреблением десятичных логарифмов, они обозначаются сокращенным знаком:

не log10x, а lgx.

Дискриминант квадратного уравнения - это выражение b2-4ac, стоящее под знаком радикала в формуле квадратного уравнения

Дискриминант обозначается буквой D.

В зависимости от знака дискриминанта уравнение будет иметь два корня (если дискриминант положителен) или один корень (если дискриминант равен нулю). Если же дискриминант меньше нуля, то эта формула теряет смысл, и квадратное уравнение вообще не имеет корней.

Происходит слово «дискриминант» от французского discriminer - различать (однокоренное - дискриминация).

Дифференцирование - это операция нахождения производной, если функция f(x) имеет производную в точке х0. Сама функция называется дифференцируемой в этой точке.

Иррациональное уравнение - это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Иррациональные уравнения содержат неизвестное под знаком корня (радикала) и решаются  либо графически, либо избавлением от радикалов с помощью возведения обеих частей уравнения в степень. Если это нечетная степень, то получающееся уравнение равносильно исходному. Если же степень четная, то получающееся уравнение может иметь посторонние корни. Поэтому решение иррационального уравнения этим способом нужно сопровождать проверкой полученных корней.

Квадратичная функция - это функция, которую можно задать формулой вида

y = ax2 + bx + c, 

где x - аргумент, a, b, c - любые числа, но a не равно нулю.

Ее график - парабола

 Форма параболы и направление ее ветвей (вверх или вниз) точно такие, как у функции

y = ax2 при том же значении a.

Квадратное неравенство - это неравенство вида ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c < 0, где a, b, c - любые числа, но a не равно нулю.

Квадратные неравенства нужно решать, точно представляя себе, как расположен относительно оси абсцисс график функции y = ax2 + bx + c при данных значениях a, b и c.

Для этого вначале выясняется направление ветвей параболы, а затем значение дискриминанта b2- 4ac.

От этого зависит число корней данной функции.

Квадратное уравнение - это уравнение вида

ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - любые числа, но a не равно нулю.

Число корней зависит от знака дискриминанта

b2 - 4ac.

Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня, вычисляемые по этой формуле.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.

Если же дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение вообще не имеет корней.

Квадратный корень - это корень второй степени, равный такому неотрицательному числу, квадрат которого равен подкоренному выражению.

Корень - это знак операции, обратной возведению в степень с натуральным показателем, большим единицы.

Корень натуральной степени n из числа a  - это выражение  , где n - натуральное число, большее единицы (в случае n = 2 это число не пишется). Число n называется показателем корня, а называется подкоренным выражением, знак  называется знаком корня или радикалом. Значение корня с нечетным показателем n из числа а равно такому числу, n-я степень которого равна числу а. Значение корня с четным показателем n из числа а равно такому неотрицательному числу, n-я степень которого равна числу а. Отсюда следует, что корень нечетной степени можно вычислить для любого подкоренного числа, а корень четной степени - только для неотрицательного подкоренного числа.

Корень (или нуль) функции - это значение аргумента, при котором функция обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни функции y = f(x), нужно найти корни уравнения f(x) = 0.

Критическая точка функции - это точка, которая принадлежит области определения функции и в которой производная функции равна нулю или не существует.

Пусть дана функция у(х). Пусть точка х0 принадлежит области определения этой функции, и пусть у'(х0)=0 или у'(х0) не существует. Тогда точка х0 называется критической точкой функции у(х).

Для любой непрерывной функции справедливо утверждение: ее локальные максимумы и локальные минимумы не могут достигаться ни в каких точках, кроме критических.

Обратное неверно: не всякая критическая точка является точкой максимума или минимума.

Линейное уравнение - это уравнение вида ах + b = 0, где а и b - любые числа.

Если число а не равно нулю, то линейное уравнение имеет единственный корень. Он находится переносом слагаемого b в правую часть и последующим делением обеих частей уравнения на a ?  0: x = -(b/a) .

Если а = 0, то линейное уравнение этим способом решаться не может из-за невозможности делить на нуль. Но тогда оно имеет вид 0х = b. Полученное уравнение имеет корнем любое число, если b = 0, и не имеет корней, если b ? 0.

Итак, при а ? 0 линейное уравнение имеет один корень, при а = b = 0 оно имеет корнем любое число, при  а = 0, b ? 0 оно не имеет корней.

Логарифм числа b при основании а - это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b.

Пусть a - положительное число, не равное единице, и пусть b  - любое положительное число. Логарифмом числа b при основании а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b.

Логарифм при основании 10 называется десятичным и обозначается lg. Логарифм при основании е называется натуральным и обозначается ln.

Логарифмическая функция - это функция вида у = logax. 

Пусть а - любое положительное число, кроме единицы. Логарифмической функцией при основании а называется функция, которую можно задать формулой у = logax.

Локальный максимум - это значение функции в точке локального максимума, т.е. в точке, в которой функция меняет возрастание на убывание.

Пусть дана функция f(x) и точка х0, входящая в область определения  функции f(x). Пусть существует такая окрестность точки х0, входящая в область определения f(x), в которой все значения этой функции меньше f(x0). Тогда точка х0 называется точкой локального максимума функции f(x), а число f(x0) называется локальным максимумом функции f(x).

Локальный минимум - это значение функции в точке локального минимума, т.е. в точке, в которой функция меняет убывание на возрастание.

Пусть дана функция f(x) и точка х0, входящая в область определения  функции f(x). Пусть существует такая окрестность точки х0, входящая в область определения f(x), в которой все значения этой функции больше f(x0). Тогда точка х0 называется точкой локального минимума функции f(x), а число f(x0) называется локальным минимумом функции f(x).

Локальный экстремум функции f(x) - это ее локальный максимум и ее локальный минимум.

Точка, в которой функция меняет характер монотонности, называется точкой локального экстремума, а значение функции в этой точке называется локальным экстремумом.

Максимум - это наибольшее значение функции на данном множестве, входящем в ее область определения.

В частности, для отыскания максимума функции на некотором отрезке необходимо сравнить значения функции в концах этого отрезка и во всех точках локальных максимумов внутри отрезка.

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени.

Мгновенная скорость в данный момент времени равна пределу средней скорости при стремлении к нулю приращения времени.  

Метод интервалов - это метод решения неравенств, который состоит в следующем.

Сводят неравенство к виду, когда в правой его части стоит число нуль.

Левую часть представляют в виде произведения функций от х или дроби, числитель и знаменатель которой являются такими произведениями.

Отмечают на числовой прямой корни числителя и знаменателя. Тем самым числовая прямая разбивается на интервалы, на которых левая часть неравенства не меняет знака.

Выясняют, какой именно знак имеет левая часть неравенства внутри каждого из этих интервалов.

Выписывают ответ.

Минимум - это наименьшее значение функции на данном множестве, входящем в ее область определения.

В частности, для отыскания минимума функции на некотором отрезке необходимо сравнить значения функции в концах этого отрезка и во всех точках локальных минимумов внутри отрезка.

Монотонность - это одно из свойств функций. Монотонность функции f(x) это одно из следующих свойств: возрастание, убывание, постоянство, невозрастание и неубывание на том или ином промежутке области определения или на всей области определения. Выясняется по знаку разности f(x2) - f(x1),  где x2 и x1 - это любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством: x2 > x1. Если на некотором промежутке эта разность всегда положительна, то функция на этом промежутке возрастает, если отрицательна, то убывает, если равна нулю, то функция постоянна, если неотрицательна, то функция не убывает, если неположительна, то функция не возрастает. Если же знак этой разности на данном промежутке меняется, то функция на этом промежутке немонотонна.

Натуральный логарифм - это логарифм при основании е. Среди всех графиков логарифмических функций лишь один пересекает ось абсцисс под углом в 45°. Основание этой логарифмической функции называется буквой е в честь Л.Эйлера. Логарифм при основании е называется натуральным логарифмом. Он имеет сокращенное обозначение ln x. Число е иррациональное, его значение вычислено с помощью компьютеров с точностью до многих тысяч знаков после запятой. Нетрудно запомнить первые знаки этой десятичной дроби: 2,718281828459045…

Впрочем, достаточно помнить, что е?2,71.

Невозрастающая функция - это функция, для которой на некотором промежутке выполняется следующее условие: разность f(x2) - f(x1),  где x2 и x1  - любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством x2 > x1, неположительна.

Неубывающая функция - это функция, для которой на некотором промежутке выполняется следующее условие: разность f(x2) - f(x1),  где x2 и x1 - любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством x2 > x1, неотрицательна.

Область значений функции - это множество значений, которые принимает эта функция при всех возможных значениях ее аргумента.

Область значений выясняется элементарно: путем  выяснения области определения обратной функции. Неэлементарный способ выяснения области значений связан с отысканием ее экстремумов.

Область значений функции у = f(x) обозначается символом E(f).

Область определения - это одно из свойств функций. Областью определения функции называется множество значений, которые может принимать ее аргумент. Область определения функции, заданной формулой, считается совпадающей с множеством допустимых значений переменной в этой формуле.

Область определения функции у = f(x) обозначается символом D(f).

Обратная пропорциональность - это функция, которую можно задать формулой y = k/x, где k - любое число, не равное нулю. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Область определения обратной пропорциональности состоит из всех чисел, кроме нуля. Область значений обратной пропорциональности также состоит из всех чисел, кроме нуля.

Обратная пропорциональность - нечетная функция. Знак и монотонность обратной пропорциональности зависят от знака коэффициента k. Если k > 0, то функция имеет знак, совпадающий со знаком аргумента: она положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.  Если k < 0, то функция имеет знак, противоположный знаку аргумента: она отрицательна при x > 0 и положительна при x < 0.  Если k > 0, то функция убывает на каждом промежутке своей области определения. Если k < 0, то функция возрастает на каждом промежутке своей области определения.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Она располагается в первой и третьей четвертях при k > 0. Она располагается во второй и в четвертой четвертях при k < 0.

Обратная функция - это функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, функция называется обратной для функции y = f(x), если она может быть задана формулой, равносильной формуле х = f(y).

Пусть y = f(x) - функция, принимающая каждое свое значение только в одной точке. Образуем новую функцию следующим образом: подставим в уравнение y = f(x) вместо переменной у переменную х, а вместо переменной х переменную у. Получится уравнение х = f(y). Выразим из него у через х. Получится новое уравнение у = g(x), задающее обратную функцию.

Основные тригонометрические тождества - это формулы, связывающие разные функции одного и того же аргумента.

Равносильные уравнения - это уравнения, имеющие одинаковые решения, то есть одинаковые множества корней. Равносильны, например, уравнения, множества корней которых пустые. Процесс решения уравнений состоит в переходе от одного уравнения к другому, пока, наконец, не будет получено уравнение или совокупность уравнений, равносильная данному уравнению. При переходе от одного уравнения к другому обычно совершаются следующие операции:

- перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с переменой знака слагаемого. Эта операция приводит к равносильному уравнению;

- приведение подобных слагаемых. Эта операция может привести к нарушению равносильности. Например, уравнение х + 1/х -1/х = 0 не имеет корней, а уравнение х = 0 имеет корень;

- умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Эта операция приводит к равносильному уравнению;

- умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее неизвестное.  Эта операция может привести к нарушению равносильности;

- возведение обеих частей уравнения в нечетную степень. Эта операция приводит к равносильному уравнению

Радикал (или корень) - это знак операции, обратной возведению в степень с натуральным показателем, большим единицы.

Рациональное уравнение - это уравнение, в котором над неизвестным совершены только сложение, вычитание, умножение (в частности - возведение в натуральную степень) и деление.

Свойства функции, устанавливаемые при ее исследовании:

- область определения;

- область значений;

- знак;

- монотонность;

- четность (нечетность);

- периодичность;

- дифференцируемость;

- вид графика.

Свойства функции устанавливаются в процессе исследования функции. Если функция задана формулой y = f(x), то исследование проводится так.

Область определения D(f), то есть множество допустимых значений аргумента х, определяется как множество допустимых значений переменной х в формуле y = f(x).

Область значений E(f), то есть множество значений, принимаемых функцией при всех значениях аргумента х, определяется путем перехода к обратной функции и нахождения ее области определения.

Знак, то есть выяснение значений аргумента, при которых функция равна нулю (корни или нули функции), и промежутков ее знакопостоянства, исследуется путем решения уравнения f(x) = 0 и неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0.

Монотонность, то есть выяснение участков области определения, на которых функция возрастает, либо убывает, либо постоянна, либо не возрастает, либо не убывает, исследуется путем определения знака разности f(x2) - f(x1),  где x2 > x1 - два любые числа из некоторого промежутка области определения функции.

Четность (нечетность), то есть выполнимость для всех значений аргумента равенства f(-x) = f(x) или равенства f(-x) = - f(x), исследуется путем определения симметричности области определения относительно точки 0 и доказательства либо опровержения указанных равенств.

Периодичность, то есть наличие такого положительного числа Т, что для всех значений аргумента выполняются равенства f(x+T) = f(x-T) = f(x), исследуется путем доказательства или опровержения этих равенств.

Дифференцируемость исследуется путем выведения формулы дифференцирования данной функции.

График определяется при помощи всех предыдущих свойств функции. Нужно сказать, что бывают случаи, когда определение данной функции позволяет построить график до проведения исследования по предыдущим пунктам. Тогда предыдущие пункты исследования осуществляются путем чтения свойств графика.

Синусоида - это график функции у = sin x.

Синусоида строится сначала для чисел первой и второй четвертей, учитывая значения синуса в некоторых точках, а также учитывая возрастание синуса в первой четверти и его убывание во второй четверти. Затем можно построить график для чисел третьей и четвертой четвертей, опираясь на нечетность синуса. Тем самым завершается построение одной волны синусоиды. Далее эта волна повторяется с учетом периодичности синуса.

Сложная функция - это функция от функции.

Пусть даны функция у = f(x) и функция y = g(x). Пусть при этом для каких-либо значений х значения g(x) входят в область определения функции f(x). Тогда существует функция  f(g(x)), и она называется сложной функцией.

Степенная функция - это функция вида у = ха.

Степень - это выражение вида  аb.

Число а называется основанием степени, число b называется показателем степени.

Тангенсоида - ветвь графика тангенса.

Она строится сначала для точек первой четверти, затем, исходя из нечетности тангенса, для точек четвертой четверти. График тангенса есть множество тангенсоид, получающихся благодаря периодичности тангенса.

Тригонометрические функции - это функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

Тригонометрические функции числа (его синус, косинус, тангенс и котангенс) определяются путем введения числовой окружности.

Чтобы найти синус числа а нужно построить точку числовой окружности, соответствующую этому числу, и найти ординату этой точки, которая и называется синусом числа а.

Абсцисса этой точки называется косинусом числа а.

Отношение синуса к косинусу (если косинус не равен нулю) называется тангенсом числа а. Отношение косинуса к синусу (если синус не равен нулю) называется котангенсом числа а. Тригонометрические функции угла с радианной мерой а определяются как тригонометрические функции числа а. Тригонометрические функции имеют важное общее свойство - периодичность. Периодом (наименьшим) у синуса и косинуса является число 2р, а у тангенса и котангенса - число р.

Убывающая функция - это функция, для которой на некотором промежутке выполняется следующее условие: разность

f(x2) - f(x1),  где x2 и x1  - любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством x2 > x1, всегда отрицательна.

Угловая точка графика  - это точка, в которой не совпадают левосторонняя и правосторонняя касательные.

Примером служит точка 0 для графика у = |х| . В угловых точках не существует производной. Например, чтобы доказать, что парабола у = х2 не имеет угловой точки в вершине, достаточно убедиться в существовании производной этой функции при х = 0.

Угол наклона прямой к оси абсцисс - это угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом, расположенным в верхней полуплоскости. Пусть прямая пересекает ось абсцисс в точке А. Точка А делит эту прямую на два луча, один из которых расположен в верхней полуплоскости. Назовем его а. Точка А делит на два луча и саму ось абсцисс. Один из лучей направлен вправо. Назовем его b. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол между лучами а и b.

Убывающая функция - это функция, для которой на некотором промежутке выполняется следующее условие: разность

f(x2) - f(x1),  где x2 и x1  - любые два числа из данного промежутка, обладающие свойством x2 > x1, всегда отрицательна.

Угловая точка графика  - это точка, в которой не совпадают левосторонняя и правосторонняя касательные.

Примером служит точка 0 для графика у = |х| . В угловых точках не существует производной. Например, чтобы доказать, что парабола у = х2 не имеет угловой точки в вершине, достаточно убедиться в существовании производной этой функции при х = 0.

Угол наклона прямой к оси абсцисс - это угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом, расположенным в верхней полуплоскости. Пусть прямая пересекает ось абсцисс в точке А. Точка А делит эту прямую на два луча, один из которых расположен в верхней полуплоскости. Назовем его а. Точка А делит на два луча и саму ось абсцисс. Один из лучей направлен вправо. Назовем его b. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол между лучами а и b.

Функция у от х  - это соответствие между величинами х и у, при котором каждому значению х соответствует только одно значение у.

Переменная х называется аргументом. Пусть даны два множества: Х с элементами х и У с элементами у. Непустое множество пар (х; у) называется функцией у от х, если среди них нет двух разных пар с одинаковыми первыми элементами. Это множество пар можно задавать перечислением (например, таблицей), описанием, формулой или графиком (множеством точек (х; у).

Число «пи» - это отношение длины окружности к ее диаметру. Это отношение одинаково у всех окружностей. 

Такое определение числа «пи» (р) приводит к формуле

l = 2рr, где l - длина окружности, r - ее радиус. Длина единичной окружности (окружности с радиусом, равным 1) находится по формуле

 l = 2р. 

Число р - иррациональное, выражаемое бесконечной непериодической десятичной дробью. Нетрудно запомнить несколько первых цифр этого числа:

 р = 3,14159265358….

Число е  - это иррациональное число, значение которого вычислено с помощью компьютеров с точностью до многих тысяч знаков после запятой. Нетрудно запомнить первые знаки этой десятичной дроби: 2,718281828459045…

Впрочем, достаточно помнить, что е?2,71.

Числовая окружность - это окружность радиуса 1 с центром в начале прямоугольной системы координат, на которой откладываются числа.

Построим в прямоугольной системе координат окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом, равным 1. Будем откладывать на этой окружности числа по правилу: число нуль изображается точкой (1; 0); положительное число а изображается концом дуги длиной а, отложенной от точки (1; 0) по часовой стрелке; отрицательное число а изображается концом дуги длиной - а, отложенной от точки (1; 0) против часовой стрелки. Такая шкала называется числовой окружностью. Каждое число имеет вполне определенную изображающую его точку на числовой окружности. Каждая точка числовой окружности изображает бесконечно много чисел, отличающихся друг от друга на величину 2рn, где n Є Z.

Числовая прямая - это прямая, на которой откладываются числа.

На произвольной прямой выберем точку О и точку Е. Направление от О к Е назовем положительным направлением, а отрезок ОЕ единичным отрезком. Будем откладывать на этой прямой числа по правилу: число нуль изображается точкой О; положительное число а изображается концом отрезка длиной а, отложенного от точки О в положительном направлении; отрицательное число а изображается концом отрезка длиной -а, отложенного от точки О в отрицательном направлении. Такая шкала называется числовой прямой.

Экспонента - это график показательной функции у = ах.

Это кривая, проходящая через точки (0; 1) и (1; а) и расположенная в верхней полуплоскости.

Экстремум функции f(x)  - это ее максимум и ее минимум.

Точка, в которой функция достигает максимума или минимума, называется точкой экстремума, а значение функции в этой точке называется экстремумом.

Целые (натуральные) числа

Натуральные числа. Натуральный ряд. Целые числа.

Натуральные числа  возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел:

     1,  2,  3,  4,  5, …

является бесконечным и называется натуральным рядом.

Целые числа – это натуральные числа и ноль:

         0,  1,  2,  3,  4,  5, … .

 В более широком смысле понятие «целые числа» рассмотрено в разделе  «Рациональные числа» в главе «Алгебра».

Арифметические операции

Сложение. Вычитание. Умножение. Деление.

Возведение в степень. Извлечение корня.  

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем    не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 – слагаемые, 17 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым  дает уменьшаемое:  17 – 6 = 11. Здесь 17 – уменьшаемое, 6 – вычитаемое, 11 – разность.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого  m  раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения:  n × m  или  n ∙  m . Например, 12 × 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 × 4 = 48  или             12 ∙ 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое  n  и множитель  m   поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48  и соответственно,       4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями. 

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое:  48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое,    4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 – остаток. 

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в степень:  

 3 5  = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 .

Здесь 3 – основание степени, 5 – показатель степени, 243 – степень.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья – кубом. Первой степенью любого числа является само это число. 

Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-ой степени (n – показатель корня) из числа  a (подкоренное число) – значит найти третье число, n-ая степень которого равна а . Результат называется корнем. Например:

Здесь 243 – подкоренное число, 5 – показатель корня, 3 – корень.

Корень второй степени называется квадратным, корень третьей степени – кубическим. Показатель квадратного корня не записывается:

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями.

Порядок действий. Скобки.

Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например,  8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке: 

  1)  возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);

  2)  умножение и деление (в порядке их следования);

  3)  сложение и вычитание (в порядке их следования).

При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

П р и м е р .   Вычислить выражение:

                                    ( 10 + 2 3 · 3 ) + 4 3  –  ( 16 : 2  – 1 ) · 5 – 150 : 5 2 . 

Р е ш е н и е .  Сначала вычисляем все степени и подставляем их значения:

                                   ( 10 + 8 · 3 ) + 64 – ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;

                          после этого выполняем умножение и деление в скобках и  вне их:

                                            ( 10 + 24 ) + 64 – ( 8 – 1 ) · 5  – 6 ;

                          теперь выполняем сложение и вычитание в скобках:

                                                      34 + 64 – 7 · 5 – 6 ;

                         наконец, после оставшегося умножения 7 · 5 = 35 получаем:

                                                    34 + 64 − 35 – 6 = 57.

Законы сложения и умножения

 Переместительный (коммутативный) закон сложения:  m + n = n + m . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения:  m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:  ( m + n ) + k = m + ( n +  k ) = m + n + k . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:  ( m · n ) · k = m · ( n ·  k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:  ( m + n ) · k = m ·  k + n ·  k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками (см. предыдущий параграф “Порядок действий. Скобки”).

Признаки делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры которых образуют число, делящееся на 4. На основании этого признака можно утверждать, например, что числа 3000, 4708, 5312, 7816, 18224 делятся на 4, а числа 16815 на не делится.

Признак делимости на 8. На 8 делятся все те числа, три последние цифры которых образуют число, делящееся на 8. С помощью данного признака можно, например, утверждать, что числа7000, 13008, 19064, 23112 делятся на 8, а числа 37202, 58314, 79148 на 8 не делятся.

Признак делимости на 6. На 6 делятся все те и только те числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3. С помощью этого признака можно установить, например, что число 721314 делится на 6, поскольку оно делится на 2 (оно четно) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 11. Он заключается в следующем: надо сложить все цифры числа, стоящие на нечетных местах с конца(то есть цифры разрядов единиц, сотен, десятков тысяч ит.д.), а потом сделать тоже самое для цифр стоящих на четных местах с конца (то есть сложить цифры разрядов десятков, тысяч, сотен тысяч и т.д.). Из большей суммы надо вычесть меньшую сумму. Если разность делится на 11, то на 11 делится и само число. Например, 517: первая сумма 7+5=12, а вторая состоит из одного слагаемого 1. Так как разность 12-1 =11 делится на 11, то и число 517 делится на 11.

Поясним, откуда берется этот признак делимости. Число 517 можно записать в виде 517=500+10+7=5(99+1)+(11-1)+7=5+11+(5-1+7). Но 5+11=5+11=(5+1)11 и потому делится на 11. Значит, 517 является суммой числа, делящегося на 11. Значит, 517 является суммой числа, делящегося на 11, и числа, равного 5-1+7. Поэтому вопрос о том, делится 517 на 11 или нет, сводится к этому же вопросу относительно 5-1+7, то есть числа 11. Так как оно делится на 11, то на 11 делится и 517.

Для делимости на 7 и на 13 нет такого удобного признака. Но можно воспользоваться тем, что 1001= Поэтому все числа, делящиеся на 1001, делятся на 7, и на 11, и на 13. Узнаем, например, делится ли на 7 число 859523. Для этого запишем его в виде 859523= Так как уменьшаемое 859 1001 делится на7, то остается узнать, делится ли на это число вычитаемое 336, то есть разность 859-523. Но 336=и потому делится на 7. Значит, тем же свойством обладает и заданное число 859523. А на 13 это число не делится, так как 336 не делится на 13.

Что бы узнать делится ли на 7 число 85314507239, надо образовать две суммы: 239+314=543 и 507+85=592. Так как 592-543=49, а 49 на 7 делится, то и заданное число делится на 7. Ответ получен куда быстрее, чем если бы мы убедились в делимости, выполнив деление числа на 7.

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47045881.

Простые и составные числа

 Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

  103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

  157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Разложение на простые множители

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например, 

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

 Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. параграф “Признаки делимости”). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463  являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом:

Делимое       Делитель
----------------------------
1463                  7
  209                11
    19                19
----------------------------

Наибольший общий делитель

 Общий делитель. Наибольший общий делитель.

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е .   168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23  · 31  · 71 ,

                          180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22  · 32  · 51 ,

                          3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 71 .

                          Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

                          и перемножим их:

НОД = 22  · 31  = 12 .

Наименьшее общее кратное

 Общее кратное. Наименьшее общее кратное.

 Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 71 .

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .

Наименьшее общее кратное

 Общее кратное. Наименьшее общее кратное.

 Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24  · 33  · 71 .

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .

Обыкновенные (простые) дроби

Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.

Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.

Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби.

Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:

Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель. 

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом:

Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части), 7 – знаменатель.  

Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число в дробь. Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части. Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним.

Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7  и  7 / 3 ;  15 / 1  и  1 / 15  и т.д.

Действия с обыкновенными дробями

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей. Деление дробей.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р .  Сравнить две дроби:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

П р и м е р .

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

П р и м е р .

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления (см. раздел “Арифметические операции”).

П р и м е р .     

Десятичные дроби

Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.

Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.

Периодическая десятичная дробь. Период.

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

П р и м е р .  

Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен  n–ой степени 10, где n - количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):

Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:

Свойства десятичных дробей.

    1.   Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:

                                            13.6 =13.6000.

    2.   Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные

          в конце десятичной дроби:

                                      0.00123000 = 0.00123 .

Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!

Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

П р и м е р .  Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Умножение десятичных дробей.

Деление десятичных дробей.

Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.

П р и м е р . 
                   

Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!

П р и м е р .
                    

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на целое число

Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.

П р и м е р .  Разделить 1.328 на 64.

Р е ш е н и е :  

Деление одной десятичной дроби на другую.

Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.

П р и м е р .  Разделить 0.04569 на 0.0006.

Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:

                             Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.

П р и м е р .  Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .   Деля 5 на 8, получаем 0.625. ( Проверьте, пожалуйста! ).

В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.

П р и м е р .  Обратить 1 / 3  в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .  Деление 1 на 3 будет бесконечным:  1:3 = 0.3333… . 

                         Проверьте это, пожалуйста!

 Проценты

Процент – это сотая часть единицы. Запись 1% означает 0.01. Существует три основных типа задач на проценты:

 Р е ш е н и е :   10000 · 6 : 100 = 600 руб.

 Р е ш е н и е :   1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.

 Р е ш е н и е :   36000 : 40000 · 100 = 90% .

Отношение и пропорция. Пропорциональность

Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции.

Пропорциональные величины. Коэффициент пропорциональности.

     Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

     Пропорция – это равенство двух отношений. Например,

12 : 20 = 3 : 5;      a : b = c : d .

     Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции;  a и  d – во второй.

     Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции;  b и  с – во второй.

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.  

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.

Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.  

Рациональные числа

Отрицательные числа. Целые отрицательные числа.

Дробные отрицательные числа. Положительные числа.

Рациональные числа.

Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например: 

10 – 15 = – 5 .

Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.

Ряд целых отрицательных чисел бесконечен: 

–1,   –2,  –3,  – 4,  –5, …

Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:

Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:

Действия с отрицательными и положительными числами

Абсолютная величина (модуль). Сложение.

Вычитание. Умножение.  Деление.

Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на  « + »;  для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы :     | – 5 | = 5,    | 7 | = 7,    | 0 | = 0.

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

П р и м е р ы :

                                                  ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

                                                  ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

                                                  ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

                                                  ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение.  При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак  « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак  « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

                                                                   +   ·   +   =   +

                                                                   +   ·   –   =   –

                                                                   –   ·   +   =   –

                                                                   –   ·   –   =   +

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

П р и м е р :

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак  « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак  « – » , если знаки делимого и делителя разные. 

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

                                                                   +   :   +   =   +

                                                                   +   :   –   =   –

                                                                   –   :   +   =   –

                                                                   –   :   –   =   +

П р и м е р :    ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .

ла ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным ) рассматриваются в арифметике.

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где  m  и  n  целые числа.

Одночлены и многочлены

Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.

Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.

Вынесение за скобки. Умножение одночленов.  Деление одночленов.

Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.

Раскрытие скобок.

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,

3 a 2 b 4 ,    b d 3 ,    – 17 a b c

- одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x 3 y 2  – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки. 

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р :                        

5  a x 3 z 8 ( – 7 a 3 x 3 y 2 ) =  – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р :                                                                         

35 a 4 x 3 z 9 : 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra      −  раскрытие скобок.

Вместо букв  p, q, r, a может быть взято любое выражение.

П р и м е р :

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =

= xa + xb +  ya + yb +  za +  zb .

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

Формулы сокращённого умножения

Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.

Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.

                              [1]       ( a + b )²  =  a²  + 2ab + b² ,

                              [2]       ( a – b )²  =  a² – 2ab + b² ,

                              [3]       ( a + b ) ( a – b ) = a²  –  b²,

                              [4]       ( a + b )³  =  a³  + 3a² b + 3ab²  + b³ ,

                              [5]       ( a – b )³  =  a ³  – 3a² b + 3ab²  – b³ ,

                              [6]       ( a + b )( a²  – ab + b² ) =  a³ + b³ ,

                              [7]       ( a – b )( a ²  + ab + b² ) =  a³ – b³ .

П р и м е р .   Вычислить  99³,  используя формулу [5] .

Р е ш е н и е :   99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.

 Разложение многочленов на множители

В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.

    Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

Алгебраическая дробь – это выражение вида  A / B,  где  A и B  могут быть числом, одночленом, многочленом. Как и в арифметике,  A называется числителем, B – знаменателем. Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической.

Сокращение дробей

П р и м е р :

Сложение и вычитание дробей

Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей, необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике. 

П р и м е р :

Умножение и деление дробей

Умножение и деление алгебраических дробей ничем не отличаются от тех же действий в арифметике. Сокращение дроби можно выполнить как до, так и после умножения числителей и знаменателей.

П р и м е р :

Пропорции

Пропорция. Свойства пропорций.

Производные пропорции.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Из пропорции   следует:  ad = bc (произведения накрест-лежащих членов пропорции равны).
 

И наоборот, из равенства  ad = bc  следуют пропорции: 

Все эти пропорции, а также некоторые другие, могут быть получены из исходной пропорции  a / b = c / d  по нижеследующим правилам.

Накрест-лежащие члены любой пропорции можно поменять местами.

Отношения в любой пропорции можно заменить обратными.

Производные пропорции. Если   то следующие производные пропорции, полученные из исходной, также имеют место:

Эти и другие пропорции могут быть объединены двумя основными формулами:

где m, n, k, l – любые числа.

П р и м е р :   Если  m = n = k = 1,   l = 0,  то мы получим:

Уравнения: общие сведения

Равенство. Тождество. Уравнение.

Неизвестные. Корни уравнения.

Решение уравнения. Равносильные уравнения.

Если два выражения (числовые и / или буквенные), соединены знаком « = », то говорят, что они образуют равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

П р и м е р ы :    1)  Числовое равенство  4 · 7 + 2 = 30  есть тождество.

                            2)  Буквенное равенство ( a + b )( a – b ) = a² – b² есть

                                 тождество, потому что оно справедливо при  всех

                                 значениях содержащихся в нём букв.

Уравнение – это буквенное равенство, которое справедливо (т.е. становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество –  корнями уравнения. Процедура нахождения всех корней уравнения называется  решением. Решить уравнение – значит найти все его корни. Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

П р и м е р .  Уравнения  5x – 25 = 0 и 2x – 7 = 3 являются равносильными,

                      так как они имеют один и тот же корень:   x = 5 .

Линейные уравнения с одним неизвестным

Линейным  уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:  

ax + b = 0, 

где  a и  b – известные числа, а  x – неизвестная величина.

Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного  x , при котором это уравнение обращается в тождество. 

Если  a не равно нулю ( a ≠ 0 ), то решение (корень) уравнения имеет вид:

Если  a = 0, то возможны два случая:

1.  b = 0, тогда  0 · x + 0 = 0. Здесь  x  может быть любым числом ( проверьте ! ).

2.  b ≠ 0, тогда  0 · x + b = 0. Здесь нет решений ( проверьте и это!).

                        лежащие выражения:  x² + 2x = x² – 2x +  x – 2 . Перенесём

                        все члены в левую часть уравнения. После приведения

                        подобных членов получим:  3x + 2 = 0, откуда  x = – 2 / 3 .

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные  методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системы уравнений.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: 

где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными  методами.

Метод подстановки. 

1)  Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например  x, через коэффициенты и другое неизвестное  y: 

                                                 x = ( c – by ) / a .                             (2)

2)  Подставляем во второе уравнение вместо x :

                                           d ( c – by ) / a + ey = f .

3)  Решая последнее уравнение, находим  y :

                                                  y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4)  Подставляем это значение вместо y  в выражение (2) :

                                                 x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                      Из первого уравнения выразим  х  через коэффициенты и  y :

                                                            x = ( 2y + 4 ) / 3 .

                      Подставляем это выражение во второе уравнение и находим  y :

                                                       ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 ,  откуда   y = 1 .

                      Теперь находим  х, подставляя найденное значение вместо  y  в

                      выражение для  х:  x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда   x = 2 .

 Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.            

1)  Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на  (– d ), а обе части 2-го уравнения на  а  и складываем их:

    Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).  

2)  Подставляем найденное для  y  значение в любое уравнение системы (1):  

                                 ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3)  Находим другое неизвестное:   x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                      методом сложения или вычитания.            

                      Умножаем первое уравнение на  –1, второе – на 3 и складываем их:

                      отсюда  y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

                      (а в первое можно?):  3x + 9 = 15, отсюда  x = 2.

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

                                                          x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,

                                                                                                                       (3)                    

                                                          y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

             ,  который будет обозначать выражение:  ps – qr . 

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел  p, q, r, s :

и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак  « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

                                                      
Выражение      называется определителем второго порядка.

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 П р и м е р .  Решить систему уравнений

                        используя правило Крамера.

Р е ш е н и е .  Здесь   a = 1,  b = 1,  c = 12,  d = 2,  e = –3,   f = 14 .

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1)  коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:   a : d ≠ b : e ,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2)  все коэффициенты уравнений пропорциональны:   a : d = b : e = c : f ,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

П р и м е р .  В системе уравнений

                       и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений. 

                       Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

                       одинаковых уравнения:

                       т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

                       бесконечное множество решений.

3)  коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f, 

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р .  В системе уравнений 

                      но отношение свободных членов  7 / 12  не равно 1 / 3.

                      Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

                      Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

                      Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то

                      же выражение  2x – 3y  не может быть одновременно равно и 7, и 4.

 Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

  Операции со степенями. 

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

                                                a m ·  a n  =  a m + n .

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                     ( abc… ) n = a n · b n · c n …

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

                                                        ( a / b ) n =  a n /  b n .

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

                                                           ( a m ) n =  a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р .  ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ   означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4.  Если увеличить степень корня в n  раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:                                                                                           

5.   Если уменьшить степень корня в n  раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:                                                                                             

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Теперь формула  a m : a n = a m − n может быть использована не только при  m , большем, чем  n , но и при  m ,  меньшем, чем  n .  

П р и м е р .   a4 :  a7 = a 4 − 7 = a −3 .

Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n = a m − n  была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

 Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы .  2 0 = 1,   ( – 5 ) 0 = 1,   ( – 3 / 5 ) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1. 

     где  a ≠ 0 ,  не существует.

В самом деле, если предположить, что    где  x – некоторое число, то в соответствии с

определением операции деления мы имеем:  a = 0 ·  x, т.e.  a = 0, что противоречит условию:  a ≠ 0 .

Случай 2. 

      - любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу  x, то согласно определению операции деления: 0 = 0 ·  x . Но это равенство имеет место при любом числе  x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0   - любое число.

Действительно, 

Р е ш е н и е .  Рассмотрим три основных случая:

                         1)   x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

                               ( Почему? ).         

                         2)   при  x > 0  получаем:  x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,

                               что  x – любое число; но принимая во внимание, что в

                               нашем случае x > 0 , ответом является  x > 0 ; 

                         3)   при  x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

                                в этом случае нет решения.

                         Таким образом,  x > 0.

Арифметический корень

Арифметический корень. Алгебраический корень.

Абсолютная величина ( модуль ) числа.

Как мы знаем, корень чётной степени имеет два значения: положительное и отрицательное. Так,

Арифметическим корнем  n–й степени из неотрицательного числа  a называется неотрицательное число,  n–я степень которого равна  a .

Алгебраическим корнем  n–й степени из данного числа называется множество всех корней из этого числа. Алгебраический корень чётной степени имеет два значения:  положительное и отрицательное, например:

Алгебраический корень  нечётной степени имеет единственное значение: либо положительное, либо отрицательное. Например, арифметический корень

И наоборот, кубический корень:

Арифметический корень тесно связан с понятием абсолютной величины ( модуля ) числа, а именно:

Более подробно действия с корнями см. в разделе «Степени и корни».

Иррациональные числа. Формула сложного радикала

Рациональные числа. Иррациональные числа.
Примеры иррациональных чисел.
Формула сложного радикала.

Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где  m  и  n  – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: 

  - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно ,

  - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу

Примеры других иррациональных чисел:

Докажем, что  является иррациональным числом. Предположим противное:  - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать:  = m / n , отсюда: 2 = m2 / n2, или  m2 = 2 n2, то есть  m2 делится на 2, следовательно,  m  делится на 2, откуда  m = 2 k, тогда  m2 = 4 k2 или 4 k2 = 2 n2, то есть n2 = 2 k2, то есть n2 делится на 2, а значит,  n  делится на 2, следовательно,  m  и  n  имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа  (см. выше). Таким образом, доказано, что  является иррациональным числом.  

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:

(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение.

Приведенное квадратное уравнение.

Неприведенное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени:

               ax 2 + bx + c = 0 ,                   (1)

где  a, b, c – заданные числовые или буквенные коэффициенты, x – неизвестное. Если  a = 0, то уравнение становится линейным. Поэтому мы будем рассматривать здесь только  a ≠ 0. Тогда можно разделить все члены этого уравнения на  а, в результате чего мы получим:

                x 2 + px + q = 0 ,                    (2)

где  p = b / a, q = c / a. Это квадратное уравнение называется приведенным.

Уравнение (1) называется неприведенным. Если  b или  c (или оба) равны нулю, то это уравнение называется неполным. Примеры неполных квадратных уравнений:

     4x 2  – 12 = 0,      x 2 + 5x = 0,      x 2 = 36 .

Решение квадратного уравнения

Решение неприведенного квадратного уравнения.

Решение приведенного квадратного уравнения.

Свойства корней квадратного уравнения. Теорема Виета

Свойства корней квадратного уравнения.

Дискриминант. Теорема Виета.

    Формула корней неприведенного квадратного уравнения:

Разложение на множители квадратного трёхчлена

    Каждый квадратный трехчлен  ax 2 + bx+ c может быть разложен на множители первой степени следующим образом.

    Решим квадратное уравнение:

ax 2 + bx+ c = 0 .

    Если  x1 и  x2  - корни этого уравнения, то

ax 2 + bx+ c = a ( x –  x1 ) ( x –  x2 ) .

    Это можно доказать, используя либо формулы корней неприведенного квадратного уравнения, либо теорему Виета.

    ( Проверьте это, пожалуйста! ) .

    П р и м е р .  Разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.

    Р е ш е н и е .  Во-первых, решим уравнение:  2x 2 – 4x – 6 = 0.  Его корни:

                             x1 = –1  и  x2 = 3.  Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) .

                             ( Раскройте скобки и проверьте, пожалуйста, результат! ).

Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней, приводимые к квадратному.

Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение.

Неравенства: общие сведения

Неравенство. Тождественное неравенство.

Строгие и нестрогие неравенства.

Решение неравенств и систем неравенств.

Основные свойства неравенств.

Некоторые важные неравенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (), «меньше или равно» () образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства:  3 · 7 – 20 > 2 · 4 −10,  a² ≥ 0,  | − 5 | > 3. (Почему?). В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства  ( > , < ) , либо нестрогие  ( , ). Запись 5a 4b означает, что 5a либо меньше 4b, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными. Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было справедливым. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были справедливы одновременно.

 Основные свойства неравенств.

Некоторые важные неравенства.

 1.  | a + b | | a | + | b | . Модуль суммы меньше или равен сумме модулей.

 2.   a + 1 / a  2, ( a – положительно ). Равенство будет только при  a = 1. 

( a  и  b – положительны ). Равенство только при  a = b. 

      Среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

      В общем случае это неравенство имеет вид: 

      Числа  a1 ,  a2 , …, an  - положительны. Равенство имеет место, если только все числа равны.

Доказательство и решение неравенств

Методы доказательства неравенств.

Решение неравенств. Равносильные неравенства.

Метод интервалов. Системы неравенств.

Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:

   где  a – положительное число.

1).  Использование известного или ранее доказанного неравенства.

      Известно, что ( a – 1 )² 0 .

 2).  Оценка знака разности между частями неравенства.

       Рассмотрим разность между левой и правой частью:

        более того, равенство имеет место только при  a = 1 .

 3).   Доказательство от противного.

        Предположим противное:

       Умножая обе части неравенства на  a , получим:  a 2 + 1 < 2a,  т.e.

        a 2 + 1 – 2a < 0 , или ( a – 1 ) 2 < 0,  что неверно. ( Почему ? ) .

       Полученное противоречие доказывает справедливость

       рассматриваемого неравенства.

 4).  Метод неопределённого неравенства.

       Неравенство называется неопределённым, если у него знак  \/ или /\ ,

       т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,

       чтобы получить справедливое неравенство.

       Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.

       Рассмотрим неопределённое неравенство:

       Умножая обе части неравенства на  a , получим:  a 2 + 1 \/ 2a,  т.e.

       а 2 + 1 – 2a \/ 0 , или ( a – 1 ) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть

       знак  \/ , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его

       в нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
       получим требуемое неравенство.

Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. параграф “Неравенства: общие сведения”). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные ( например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.

Метод интервалов.  Решить неравенство:  ( x – 3 )( x – 5 ) < 2( x – 3 ). Здесь нельзя делить обе части неравенства на ( x – 3 ), так как мы не знаем знака этого двучлена ( он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:

( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 ) < 0 ,

разложим её на множители: 

( x – 3 )( x – 5  – 2 ) < 0 ,

и получим: ( x – 3 )( x – 7 ) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что  x = 3  и  x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:

В интервале I ( x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно, их произведение положительно; в интервале II ( 3 < x < 7 ) первый множитель ( x – 3 ) положителен, а второй  ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно; в интервале III ( x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство. Оно означает, что  x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.

П р и м е р .  Решить следующее неравенство методом интервалов:

( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) … ( x –100 ) > 0 .

Р е ш е н и е . Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.

                        Они разбивают числовую ось на 101 интервал:

                        Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то      

                        при  x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение 

                        положительно. При переходе через корень происходит смена

                        знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри

                        которого произведение положительно, будет ( 2, 3 ), затем ( 4, 5 ),

                        затем  ( 6, 7 ), … , ( 98, 99 ) и наконец,  x >100.   

                        Таким образом, данное неравенство имеет решение: 

                        x < 1,  2 < x < 3,  4 < x < 5 ,…,  x >100.

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.   

Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.

Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.

П р и м е р  1.  Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.  Решение первого неравенства:  x < 4 ;  а второго:  x > 6.

                        Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.

                        ( Почему ? )

П р и м е р  2.  Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.  Первое неравенство, как и прежде, даёт: x < 4; но решение

                        второго неравенства в данном примере: x > 1.

                        Таким образом, решение системы неравенств: 1 < x < 4.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

 прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1,  2,  3, … ,  n – 1,  n , … .

Если заменить каждое число n  в этом ряду некоторым числом  un , следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел:                                           

u1 ,   u2 ,   u3 , …,   u n − 1 ,   u n  , … ,

называемый числовой последовательностью. Число  un  называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы   числовых последовательностей:

2,   4,   6,   8,   10,  … ,  2n,  … ;

1,   4,   9,   16,   25,  … ,  n² , … ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  … , 1/n , … .

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом  d , называется арифметической прогрессией. Число  d  называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

an =  a1 + d ( n – 1 ) .

Сумма  n  первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

П р и м е р .  Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  a1 = 1,  d = 2 . Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.  Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn =  b1  q n − 1 .

Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно:  это число, к

которому неограниченно приближается сумма  n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  n. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р .  Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  b1 = 1,  q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3)  в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность  q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом,  0.(3) = 1/3.