Тематические занятия для подготовки к математическим олимпиадам (8 класс)
олимпиадные задания по алгебре (8 класс) на тему

Натуральные числа a, b, c, d, e, f удовлетворяют соотношению a2+b2+c2+ab+bc+ca = de+ef+fd. Докажите, что число a2+b2+c2+d2+e2+f2 — составное.

На доске написаны два натуральных числа. Разрешается проделывать следующие операции: (i) увеличить оба числа на 1; (ii) если хотя бы одно из чисел — точный куб, извлечь из него кубический корень. Найдите все пары начальных чисел a, b, из которых такими операциями можно получить два равных числа.  

На острове, где живут 1000 человек, из которых некоторые рыцари, всегда говорящие правду, а некоторые — лжецы, которые всегда лгут, прошли выборы. В этих выборах участвовали 2 партии, причём каждый из островитян проголосовал за одну из них. На выходе с участков каждого островитянина спросили: за какую из партий он голосовал? На этот вопрос по крайней мере 800 островитян ответили: «За первую партию». Но на самом деле оказалось, что за вторую партию проголосовало 800 островитян. Докажите, что на этом острове не менее 600 лжецов.

У Васи имеется бесконечный набор прямоугольников с целыми сторонами, не превосходящими 10. На каждой стороне каждого прямоугольника написано натуральное число. Докажите, что из этих прямоугольников можно составить (без пробелов и наложений) большой прямоугольник, сумма чисел на всех сторонах которого делится на 2012.

В клубе n членов. Они образовали k комитетов. В каждом комитете не менее l членов, и у каждых двух комитетов не более одного общего члена. Докажите, что .

2k фишек выставлены в ряд. Каждым ходом две соседние фишки меняются местами. Какого наименьшего количества ходов хватит, чтобы каждая фишка побывала и на первом, и на последнем месте?

На праздник собрались n человек. Среди каждых четырех из них есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Докажите, что всех собравшихся можно разбить на две группы так, что в одной группе все друг с другом знакомы, а в другой никто ни с кем не знаком.

У двух игроков A и B есть 2012 камней, каждый из которых составляет отдельную кучу. Каждым ходом игрок может объединить какие-нибудь две кучи, содержащие вместе не более 51 камня, в одну. Игроки делают такие ходы по очереди, начинает A. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?

В заповеднике растут деревья, возраст каждого из которых измеряется натуральным числом. Средний возраст деревьев был равен 41 году. После того, как молния сожгла дерево, которому было 2010 лет, средний возраст уцелевших деревьев составил 40 лет. Какое наибольшее количество 2010-летних деревьев еще могло остаться в заповеднике?

Из чисел от 1 до 48 половину покрасили в синий цвет, а остальные в красный. Может ли произведение красных чисел оказаться степенью суммы синих?

Решите в целых числах уравнение 3x2+3y2+3z2+2x+2y+2z = 201220122012.

Пусть 1 = d1 < d2 < d3 < … < dk = n — все делители натурального числа n. Найдите все n, для которых n = .

У натурального числа n ровно 120 натуральных делителей (считая 1 и n). Для каждого делителя d числа n нашли неполное частное и остаток от деления 4n–3 на d. Пусть Q — сумма всех полученных неполных частных, а R — сумма всех полученных остатков. Чему может быть равно число Q–4R?

В вершинах куба написаны 8 различных натуральных чисел, по одному в каждой вершине, а на каждом ребре написан наибольший общий делитель двух чисел, стоящих в концах этого ребра. Может ли сумма всех чисел на рёбрах быть равна сумме всех чисел в вершинах?

Натуральные числа a, b, c, d, e, f удовлетворяют соотношению a2+b2+c2+ab+bc+ca = de+ef+fd. Докажите, что число a2+b2+c2+d2+e2+f2 — составное.

На доске написаны два натуральных числа. Разрешается проделывать следующие операции: (i) увеличить оба числа на 1; (ii) если хотя бы одно из чисел — точный куб, извлечь из него кубический корень. Найдите все пары начальных чисел a, b, из которых такими операциями можно получить два равных числа.

Найти сумму всех 7! чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр числа 1234567.

Доказать, что в любом множестве из 52 натуральных чисел можно выбрать 2 так, чтобы либо их сумма, либо разность будет делиться на 100.

Доказать, что в любом множестве из n натуральных чисел можно выделить подмножество, сумма чисел в котором делится на n.

Доказать, что при любом разбиении множества X={1;2;3;4;5;6;7;8;9} на два подмножества, в одном из подмножеств найдутся три числа такие, что сумма двух из них равна удвоенному третьему.

n различных натуральных чисел дают различные остатки при делении  на натуральное число m, причем n>m/2. Доказать, что для любого целого числа k найдется пара чисел из этих n, сумма которых имеет c k одинаковый остаток при делении на m.

Дано 20 различных натуральных чисел, не превосходящих 70. Докажите, что среди них найдутся 4 пары чисел с одинаковыми разностями.