Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике. (11 класс)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Тема: Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике. (11 класс)

«В математике, как в поэзии и в живописи, есть своя красота – решение задач. За каждой задачей              скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключения».

В. Произволов

Цели:

1. Повторение видов экономических задач;

2. Уметь составлять математические модели  практических задач;  

3. Формирование практических навыков решения задач №17 единого государственного экзамена.

Задачи:

1. Развитие вычислительных  навыков учащихся;

2. Формирование логического мышления;

3. Способствовать развитию интереса к математике; умений применять практико – ориентированные задачи на практике и в жизни.

Ход урока:

I. Организационный момент

        Учителем сообщается тема, цели, задачи и девиз урока. Начиная с 2015 года,  в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня  появилась  новая практико-ориентированная задача №17, которую называют экономической.

Вопросы учителя к ученикам:

1. Какие виды экономических задач вы знаете?

1. Задачи на кредиты.
2. Задачи на вклады.
3. Задачи на оптимизацию.

2. Назовите этапы решения экономических задач?

1. Составление математической модели.
2. Работа с составленной моделью.
3. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

(Учащиеся сидят по группам: по 3 или 4 человека). Учитель раздает каждой группе набор экономических задач на кредиты и оптимизацию.

II. Решение задач №17из открытого банка задач «Решу ЕГЭ»

1. Решение задач на кредиты;

1. Задача №29

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется  x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется  y2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение:

Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − х рабочих заняты на добыче никеля, и пусть во второй области y рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − y рабочих заняты на добыче никеля. Внесем данные из условия в таблицу.

Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:

x +  = 3(20 -x+ )

    x = 15 – 0,25 + 0,75

Посколькумасса сплава в 4 раза больше массы Ni , то

S = 4(20 -x + ) = 80 – 4x + 4 = 80 – 60 +  -  

- 3 + 4 = 20 + + )

Исследуем функцию S(у) на наибольшее значение на отрезке

 S!(у) =  -  = У=10,

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

S(10) = 40,   x = 20

Значит,все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.

Ответ 40 кг.

2. Задача №  56

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Решение:

Внесем все данные в таблицу и посчитаем проценты банка, погашение основного долга и выплаты:

По условию, каждая из выплат должна быть больше 5 млн рублей. Это будет верно, если минимальная из выплат больше 5 млн рублей то есть еслиТогда:

S, следовательноS=11 млн. руб.

Ответ: 11000000 руб.

3. Задача №  73

Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях

Решение:

ОбозначимS = 804000, b = 1,1 (r=10%)

Пусть х руб.  первый платеж, тогда второй – 0,5х руб., а третий – 0,25х руб.

(Sb – x) – остаток долга после первой выплаты;

((Sb – x)b – 0,5x) = (Sb2 – bx – 0,5x) – остаток долга после второй выплаты;

((Sb2 – bx – 0,5x)b – 0,25x) = (Sb3 – bx2 – 0,5bx – 0,25x)  - остаток долга после третей выплаты, который равен 0.

Sb3 – b2x– 0,5bx – 0,25x = 0

х(b2 + 0,5b + 0,25) = Sb3

x=,

x=  =

0,25532400 =133100 (руб.)

Ответ: 133100 руб.

4. Задача № 86

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

        Решение:

Обозначим:

S – сумма кредита,

r = 3%, процентная ставка банка,

n – количество месяцев,

B = 1,3S,

 – ежемесячное погашение кредита.

Внесем все данные в таблицу и посчитаем проценты банка, погашение основного долга и выплаты:

Найдем сумму всех выплат:

B =

=1,3S;    

Ответ: 19 месяцев.

III. Подведение итогов

Экономические задачи относятся к практико – ориентированным задачам. Эти задачи достаточно сложные и для их решения на ЕГЭ понадобятся самые основные формулы вычисления выплат, сумм, процентной ставки,  вычислительные навыки, умения детализировать и привести к простейшему виду громоздкие выражения. То есть нужна практика, чем мы и занимаемся на уроках и консультациях.

IV. Домашнее задание

Из сборника Ященко, профиль (50 вариантов) №17 из вариантов № 35, 43, 45, 47.

Раздаточный материал:

1) 28. Задание 17 № 513294

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ 40 кг.

2) 56. Задание 17 № 514477

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

Ответ: 11000000 руб.

3) 73. Задание 17 № 516783

Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 133100 руб.

4) 86. Задание 17 № 517580

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Ответ: 19.