Разработка урока "Решение нестандартного уравнения"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Этапы урока

Что делают

Учитель

Ученики

1.Организационный этап

2. Систематизация теоретического материала

3.Устная работа

(со всем классом)

4. Этап исследовательской работы

5. Домашнее задание

6. Итог урока

Французский писатель Анатоль Франс

(1844 – 1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело... Чтобы переваривать знания надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем поглощать знания с большим желанием. Тема нашего урока «Решение нестандартного уравнения»  Мы с вами попытаемся  решить уравнение способами, с которыми раньше вы не сталкивались, и возможно, эти способы вам в дальнейшем понадобятся.

Вопрос: Какие типы уравнений вам раньше встречались?

Перед вами названия типов уравнений и алгоритмы их решения. Ваша задача по алгоритму установить какой тип уравнения можно решить с его помощью

10 Линейные уравнения

26 квадратные уравнения

33 биквадратные уравнения

41 дробно – рациональные уравнения

57 иррациональные уравнения

23 алгебраические  уравнения n – й степени

8. 1) переносят члены, содержащие  неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие  неизвестного, в правую;

2) приводят подобные члены;

3) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он  не равен нулю.

 3.  а) Д = в²- 4ас          б) Д = - ас

=           =

7. 1)возведение в степень обеих частей уравнения или замена переменной;

2) решение рационального уравнения;

3) проверка найденных корней подстановкой  в исходное уравнение, так как возможно появление посторонних корней

9. 1) ввести подстановку х²=у,  позволяющую перейти к другому типу уравнений;

2) решить получившиеся уравнение с помощью формул   Д = в²- 4ас,  =

3) возвратиться к решению уравнений

 х² =у, х² = у

2 . 1) найти общий знаменатель дробей, входящих  в уравнение, если каждая дробь имеет смысл;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение;

3) решить получившиеся целое уравнение;

4) проверить при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю?

6. 1) Найти подбором один корень х уравнения, который является делителем свободного члена;

2) разделить левую часть уравнения на (х – х1), перейдя от  уравнения степени n к уравнению степени (n -1)

3) затем подбором найти корень х и свести  к уравнению степень (n -2), разделив левую часть на (х – х2) и так далее

Давайте с вами вспомним:

1. Что такое уравнение?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

Задания записать на задней стене класса

Применяется  здоровьесберегающая технология

Решите уравнение:

а) х² +  = х +

б)   =   

Радикал – это своего рода сосуд, стесняющий свободу сидящего в нем джинна. Если радикал исчезает, джинн вырывается наружу и может позволить себе такое, л чем раньше он мог раньше только мечтать.

Вопрос:

Объясните, что позволил себе джинн, вырвавшись из - под знака радикала

2) Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней

х² – 3х +3=0

Мы вспомнили различные способы решения уравнений. Сейчас  я вам предлагаю уравнение, которое можно решить знакомыми методами. Но мы с вами попробуем найти более рациональный способ решения, способ, с которым вы еще не встречались

Задача: Решить уравнение:

(х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 24

Проблема:

Существует много способов решения уравнений. Нам надо выбрать те, с помощью которых можно решить данное уравнение, и выбрать наиболее рациональный.

Сбор фактического материала

 Вопросы: 1. Что представляет собой левая часть уравнения?

2. Что стоит в правой части уравнения?

Выдвижение гипотез    

Можно  это осуществить с помощью психологического упражнения «Солнышко»

Если учащиеся затрудняются выдвинуть гипотезы, то на этом этапе достаточно выдвинуть одну гипотезу а) раскрыть  все скобки

Проверка гипотез:

а) раскрываются все скобки

б) раскрываются все скобки попарно

Если эту гипотезу затрудняются выдвинуть, то можно обратить их  внимание, что проверяя гипотезу а) мы умножаем первый и второй, третий и четвертый множители. А ведь можно выполнить умножение и по - другому.

1 группа умножает первый  и четвертый множители, второй и третий множители.

2 группа    умножает первый  и третий  множители, второй и четвертый множители.

в) 3 группа решает уравнение методом замены переменной

Доказательство (опровержение) гипотез

Мы выдвинули гипотезы (различные способы решения) и проверили, что это уравнение можно решать разными способами.

Как проверить, являются ли найденные значения х корнями уравнения?

Вопрос: Какой способ решения на ваш взгляд оказался самым рациональным?

Учитель:

Обратите внимание на сумму чисел, стоящих в первой  и четвертой скобках, во  второй и третьей скобках.

1)  Решить уравнение (каждой группе учащихся дается одно уравнение):

1 группа   (х+1)(х+2)(х-5)(х-4)=120

2 группа   х(х+1)(х+2)(х+3)=3

3 группа   (х-1)(х+1)(х-3)(х+3)=105

2) Имеет ли решение уравнение (это уравнение решают все учащиеся) (х+6)+(х+9)+(х+12)+(х+15)+(х+18)+(х+21)+(х+24)=

182?

Комментарий учителя: Уравнение № 2 простое. Но вы внимательно посмотрите на слагаемые в скобках. Как они отличаются друг от друга? Членами какой числовой последовательности они являются? Попробуйте использовать формулу суммы этой последовательности. Попробуйте решить это уравнение, не просто раскрыв скобки, а найдя другой способ решения. Вы удивитесь, зачем это? Это уравнение простое. А может быть, вам придется решать более сложное уравнение, и такой способ решения вам пригодится.

Сегодня на уроке  мы провели исследовательскую работу при решении уравнения нестандартного вида. Мы определили, какой способ решения наиболее рациональный.

Спасибо за урок!

Класс разделен на 3 группы, в которых есть 1 сильный ученик, остальные учащиеся среднего и слабого уровня подготовки.

Линейные уравнения, квадратные уравнения, биквадратные уравнения, дробно- рациональные уравнения, иррациональные уравнения, алгебраические уравнения n – й степени

Каждая группа учеников получает закодированные карточки  с названиями типов уравнений и с алгоритмами их решения. В результате сопоставления типов  и алгоритмов должны получить тройки

 108

263

577

339

412

236

Проверка проходит следующим образом.

Представители каждой группы на доске записывают получившиеся тройки. Если ответы совпадают, то, не комментируя, переходим к следующему этапу работы. Если ответы не совпали, то озвучиваются не совпавшие типы уравнений   и соответствующие им алгоритмы решения.

Ответы учащихся:

Равенство, содержащее переменную называется уравнением

Корнем уравнения называется то значение переменной, при которой это уравнение обращается  в верное равенство

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Учащиеся разворачиваются на своих стульях к задней стене

Ответ: 1, так как 0 не входит в область определения уравнения

Ответ:  

х-3 = 1-х

х=2

Но это посторонний корень Ответ: корней нет.

Ответ: Появился посторонний корень при возведении в степень

Прежде чем определять знаки корней, надо узнать, имеет ли данное уравнение корни

Д= 9-12 = -3 Действительных корней данное уравнение не имеет

Учащиеся разворачиваются опять к доске

Произведение четырех множителей, заключенных в скобки

В правой части стоит число. Значит, приравнивать к нулю каждый из множителей нельзя. Надо искать другой способ решения

Свои гипотезы выдвигает каждая группа.

       Раскрыть                                                   Раскрыть

 б) скобки попарно                                              а) все скобки

                                     в) замена переменной

Этот способ решения выполняет на доске сильный ученик. Класс работает вместе с ним.

(х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 24

(х² – х -2х +2)( х²-3х-4х+12)=24

( х²-3х+2)( х²-7х +12) = 24

х– 7х³+12х²-3х³ +21 х²-36х+2х²-14х+ +24-24=0

х -10х³ +35х² – 50х = 0

х(х³- 10 х² +35х-50) = 0

х =0   или х³- 10 х² +35х-50 = 0

-50:  1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10, 25, -25, 50, -50

Проверка делителей идет по группам

Х=1,         1-10+35-50=-24

Х=-1,         -1 -10-35 -50=-96

Х=2,           8 -40 +70-50 =-12

Х=-2,          -8 -40 -70 -50 =-168

Х=5,           125 -250 +175-50 =0

Х=-5,          -125 -250-175-50=-600

 х³- 10 х² +35х-50        х-5

- х³ – 5х²                   х²-5х+10

-   5х²+35х -50

- - 5х²+25х

-10х -50        х =5

              10х-50

        0

х²-5х+10

Д= 25-4∙10=25-40=-15<0

Корней нет

Каждая группа проверяет одну из оставшихся  гипотез и представляет свое решение на доске.

(х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 24

Умножим первую и последнюю скобки, вторую и третью скобки

(х² - х -4х+4)(х²-2х-3х+6) = 24

(х²-5х+4)(х²-5х+6)=24

х²-5х=а

(а+4)(а+6)=24

а²+4а+6а+24-24=0

а²+10а=0

а(а+10)=0

а=0 или а+10=0

               а = -10

х²-5х=0                                х²-5х=-10  

х(х-5)=0 х=0 или х-5=0     х²-5х+10  = 0

х=5                                    Д=25-40= -15

                                                    -15<0

        корней нет

(х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 24

Умножим первую и третью скобки, вторую и четвертую скобки

(х² - х – 3х + 3)(х² -2х – 4х + 8) = 24

(х² - 4х + 3)(х² - 6х + 8) = 24

 Далее раскрываются все скобки, и решение сводится к первому способу

х -10х³ +35х² – 50х = 0

х-1 =а

а(а-1)(а-20)(а-3)=24

сводится или к первому или ко второму способу решения

(а²-3а)(а²-а-2а+2)=24

(а² -3а)(а² -3а+2) =24

а² -3а=в

в(в+2)=24

в+2в-24=0

Д=(в/2)²-ас

Д = 1+24=25, Д>0, 2 корня

В=-1 ±5/5, в =-6, в =4

а² -3а = -6                  а² -3а=4

 а² -3а+6=0                       Д = 9+16=25

Д = 9-24 =-15                     а = -1, а = 4

Корней нет                х-1 = -1         х-1 =4

                                   х=0                х=5

Подставить

При х = 0

(0-1)(0-2)(0-3)(0-4) = -1(-2)(-3)(-4) =

= 2∙12 = 24

При х = 5

(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 4∙3∙2∙1=12∙2 = 24

Ответ: 0;5

Учащиеся отвечают:

Самым рациональным  является способ, когда раскрываются скобки попарно (умножаются первый  и четвертый множители, второй и третий множители)    

Учащиеся делают выводы:

1) сумма чисел, стоящих в первой  и четвертой скобках равна -5, во второй и третьей скобках

 -5.

2) рациональным  является способ, когда раскрываются попарно скобки, в которых  суммы чисел равны.

Рациональным  является способ, когда раскрываются попарно скобки, в которых  суммы чисел равны.