Примеры решения задач на концентрацию.
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

Имеется 200г 30%-го раствора  уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору,  чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

Пусть х г воды надо добавить к раствору.

0,06(200 + х) = 60,
200 + х = 1000,
х = 800.  800г воды надо добавить. Ответ: 800г.

Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.

Решение.

Пусть х гр вес всего раствора

0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200  х,
4х = 200,
х = 50.  50г сиропа надо добавить.    Ответ: 50г.

Сколько  г  15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40.                     40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.  Ответ: 40г.

Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?

Первая ситуация.

Пусть х% кислоты первого раствора , у% -второго раствора

0,04х + 0,06у = 3,5.

Вторая ситуация.

0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41       и      у = 31.                     0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.  Ответ: 1,64 кг.   1,86 кг.

В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором –  45%. В  каком  отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?

Пусть х  вес первого сплава, у- вес второго сплава

0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у.          х : у = 3 : 1.   Ответ:  3 : 1.

В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите  процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

Решение.

Пусть х  вес меди, у- вес второго цинка

1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.               
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).    Ответ: 25%, 75%.

\Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Пусть х  вес серебра в сплаве

 100* = 20,

х = 120,   120 кг серебра в сплаве.     Ответ: 120 кг.

Текстовые задачи на среднюю скорость.

Чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо все расстояние разделить на все время движения.

Задача 1. Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Найдём время движения автомобиля:

1. 105:35=3(ч) — время, за которое автомобиль проехал 105 км со скоростью 35 км/ч.

2. 120:60=2(ч) — время, за которое автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч.

3. 500:100=5(ч) — время, за которое автомобиль проехал 500 км со скоростью 100 км/ч.

4. 3+2+5=10(ч) — время движения автомобиля.

Найдём расстояние, которое проехал автомобиль:

5. 105+120+500=725(км).

Найдём среднюю скорость автомобиля:

6. 725:10=72,5(км/ч).

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 72,5 км/ч.

Задача 2. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую – со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть автомобиль проехал Х км.

Найдём время движения автомобиля:

1. (ч) — время, за которое автомобиль проехал Х/2 км со скоростью 55 км/ч.

2. (ч) — время, за которое автомобиль проехал Х/2 км со скоростью 70 км/ч.

Найдем среднюю скорость:

Ответ: 61,6 км/ч.