Сборник экономических задач по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Министерства спорта РС(Я)

ГБОУ РС(Я) "Чурапчинская республиканская спортивная средняя

школа- интернат олимпийского резерва им.Д.П.Коркина"

Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике

Сборник

экономических задач и задач на оптимизацию

по математике

Учитель математики: Слепцова А.Н.

Чурапча

2017

«Особенную важность имеют те методы   науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

П. Л. Чебышев

Вступление

Начиная с 2015 года,  в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня  появилась  новая экономическая задача №17. В данных  задачах предлагается ознакомиться с разными  схемами выплаты кредита банку со стороны заемщика.

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами.  Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Кроме задач о кредитах есть задачи на выбор оптимального решения. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

Задачи на нахождение ежегодной платы (транша).

Задача 1 (Тренировочная работа 1). 31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение: S=5460000 - сумма кредита, х - ежегодная плата, r=20%

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,2=1,2.

После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение.

1,728S - 3,64x=0

3,64x=1,728∙5460000

x=2592000          Ответ: 2592000 рублей

Задача 2. (Тренировочная работа 42). 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение : S = 4290000  - сумма кредита, r = 14,5%,  х - ежегодная выплата

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,145=1,145.

После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение: 1,14522S - 2,145x = 0

2

.

Ответ: 2622050 рублей

При решении этих задач можно увидеть закономерность и, оформив  решение в общем виде, получаем формулу.

S-сумма кредита,

р=, где a - процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

I год: S·p-х

II год:

III год:

IV год:

и т.д.

Задача 3.  (Тренировочная работа 11) 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре месяца)?

Решение. S = 6902000 -  сумма кредита, r=12,5%,  х - ежегодная выплата

Применяем формулу:    , где

S-сумма кредита,

р=, где a- процентная ставка,

х – сумма ежемесячных выплат;

Ответ: 2 296 350 рублей.

Задачи на нахождение суммы кредита.

Задача 1. (Тренировочный вариант 6) 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение: Пусть начальная сумма кредита равна S. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

;  ;  ; …;  .   - размеры долгов (остаток по кредиту на конец месяца), тогда ежемесячная выплата процентов выглядит следующим образом:

 ;   ;    ;   ; ...;      -  ежемесячный %

Находим размеры выплат:

1-й месяц:  +  =

2-й месяц:  + ∙ =    

3-й месяц:  + ∙ =    и.т.д . Замечаем, что выходит последовательность, которая уменьшается на 2. Тогда используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 + d(n - 1) при а1=148, d= -2

находим 12-й месяц:  а12 = 148 - 2(11 - 1) = 126, т.е. .

Так как нам известна сумма первых двенадцати месяцев составляем уравнение:

  +    = 1370000

Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn =

                                  S = = 2000000             Ответ: 2000000

Задача 2. (Тренировочная работа 18). 31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение: Воспользуемся формулой:     = 0, которую вывели при решении задач на нахождение ежегодной (ежемесячной) выплаты,

где  p= 1+0,11=1,11, х = 3696300

0  → S =  =  = 6330000.

Ответ: 6330000рублей

Задача 3. (Тренировочная работа 15)15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Решение: S - сумма кредита, r = 3%

Сперва нужно вычислить сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат:

1-й месяц:  +  =

2-й месяц:  + ∙ =    

3-й месяц:  + ∙ =

....

8-й месяц:  →   = 99200 → S = 99200∙ = 1200000, то есть планируется взять в кредит 1200000рублей.

Теперь, чтобы найти сумму которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn = . Для этого сперва найдем пятнадцатую выплату:

а15 = 145 - 3∙14 = 103, т.е.

Общая сумма равна:  ++…S

S15 =  = 1860,       т.е.  =  = 1488000

Ответ: 1488000

Задачи на вычисление процентной ставки.

Задача 1. (Тренировочная работа 19) 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r?

Решение. Пусть S сумма кредита равна. Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:

; ;….  - остаток по кредиту на конец месяца

Найдем выплаты:

1 месяц:  +  S=

2 месяц: +  

……………………………………………

9 месяц: 

Найдем сумму всех выплат. По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, значит:     →   900 + 45r = 1035  →  r = 3.     Ответ: 3%

Задача 2. (Тренировочная работа 49). 31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а?

Решение: S = 1000000, а - процентная ставка по кредиту.

В конце 1-го года долг составит:

 ∙ 1000000 - 540000 = 460000 + 10000а

В конце 2-го года:

 ∙(460000 + 10000а) - 649600 = 100а2 + 14600а - 189600

По условию, кредит будет погашен за два года, составляем уравнение:

100а2 + 14600а - 189600 = 0, сокращая на 100 получим

а2 + 146а - 1896 = 0. Решаем квадратное уравнение, находим дискриминант

Д = 1462 + 4∙1896 = 21316 + 7584 = 28900= 1702

а1 = ,        а2 = .

Ответ: 12%

Задача 3. (Тренировочная работа 26). 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение: S - сумма кредита r =5%

выплата за 1-й месяц:  +

2-й:   +

3-й:   ;   4-й: ;   5-й: .

Таким образом, за все 5 месяцев сумма выплат составит:

Из выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась на 1,15 раз, т.е. на 115%.

Ответ: 115%

Задача 4. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018 ). 15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число.

-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2млн рублей.

Решение: Составим ежемесячные выплаты

01.02. - (1 + )∙1 - 0,6

01.03. - (1 + )∙0,6 - 0,4

01.04 - (1 + )∙0,4 - 0,3

01.05 - (1 + )∙0,3 - 0,2

01.06 - (1 + )∙0,2 - 0,1

01.07 - (1 + )∙0,1 - 0.

Найдем общую сумму выплат:

(1 + )∙(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) - (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) =

= (1 + )∙2,6 - 1,6 =  + 1

 По условию:   + 1 < 1,2

 < 0,2,     r <       r <  , т.е. ежемесячно долг возрастал на 7%

Ответ: 7%

Задача 5. (досрочное ЕГЭ, 16.04.16) В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2017,2018,2019 годов долг остается равным 4,2 млн рубле

- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты равны 6,1 млн рублей.

Решение. Сумма выплат за первые три года равна:

4,2∙0,01∙r∙3 =0,126∙r

Сумма выплат за последние два года равна 2∙Х.

Так как общие выплаты равны 6,1 млн рублей, то составляем уравнение:

0,126∙r + 2Х= 6,1 (1).

В январе 2020 года долг составит: 4,2 +4,2∙0,01r= 4,2 (1+0,01r). После выплаты суммы Х долг станет равным:

4,2 (1+0,01r) – Х= 4,2t –Х, где t=1+ 0,01r.

В январе 2021 года долг составит (4,2t –Х)∙t. После выплаты суммы Х долг станет равным нулю:

(4,2t –Х)∙t – Х= 0 (2).

Из уравнения (2)  выразим Х:

Х= и подставим в равенство (1):

12,6∙(t -1) + 2 = 6,1;

t =1, 1. Значит, r = 10%

Ответ: 10%

Задача 6. (Вариант 6. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2018) Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж Льва.

а) Ежемесячные выплаты подбираются, таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.

б) Известно, что наибольший платеж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.

Решение: S - сумма кредита, р - процентная ставка.

Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

Выплата в 1-й месяц:  + ∙S и так как он будет наибольшим составим уравнение:  (  + ∙S)∙25 = S    →   + p = 1,   p = 1,5

Ответ: 1,5%

Задачи на нахождение количества лет выплаты кредита.

Задача 1. (Тренировочная работа 21) В июле Федор планирует взять в кредит 1,1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года Федор должен выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное минимальное количество лет Федор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300тысяч рублей?

Решение:

1) В конце первого года долг составит:

        1100000∙1,1 - 300000 = 910000

2) В конце второго года долг составит:

        910000∙1,1 - 300000 = 701000

3) В конце третьего года долг составит:

        701000∙1,1 - 300000 = 471000

4) В конце четвертого года долг составит:

        471000∙1,1 - 300000 = 218210

5) В конце пятого года долг составит:

        218210∙1,1 - 300000  0 , т.е. кредит будет погашен за 5 лет.

Ответ: 5 лет

Задачи на оптимизацию.

Задача 1. (Тренировочная работа 16). У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором - 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором - 400ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу - по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение: Посчитаем доход фермера с 1-го поля:

1) если засеет на нем картофель, урожайность - 400ц/га, 1ц = 5000рублей

с 10 га он соберет 400ц/га∙10га = 4000ц  тогда доход:

4000∙5000= 20000000рб = 20млн.

2) если засеет свеклу, урожайность - 300ц/га, 1ц = 6000 рублей

с 10 га он соберет 300∙10=3000ц, тогда доход:

3000∙6000 = 18000000рублей = 18млн.

        Теперь посчитаем доход фермера со 2-го поля:

1) если засеет картофель, урожайность - 300ц/га

с 10 га он соберет 300∙10 = 3000 ц, тогда доход

3000∙5000 = 15000000 рублей = 15млн

2) если засеет свеклу, урожайность свеклы - 400ц/га

с 10 га он соберет 400∙10 = 4000ц, доход будет равен:

4000∙6000 = 24000000рублей = 24млн

Отсюда видно, что максимально возможный доход:

20млн + 24млн = 44млн.                  Ответ: 44млн.

Задача 2 (Тренировочная работа 34). Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера "люкс" площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер "люкс" - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

Найдем стоимость 1м² стандартного номера = 2000:27=74руб.

Найдем стоимость 1м² номера "люкс" =4000:45=88=88руб.

Так как стоимость 1м2 номера "люкс" дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров "люкс", и как можно меньше номеров стандартных. Начнем перебор количества номеров стандартных с наименьшей цифры.

Пусть стандартных номеров будет:

 - 0, тогда 981:45≠ (нацело не делится), далее

 - 1, тогда  981 - 27 = 954, 954:45≠ также нацело не делится, далее

 - 2,тогда 981 - 54 = 927, 927:45≠ также не делится, идем далее

 - 3,тогда 981 - 81 = 900,  900:45=20 - номеров "люкс"

Тогда в сутки отель может заработать:

20∙4000+3∙2000=80000+6000=86000   Ответ:86000

Задача 3. (Тренировочная работа 14) В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает  0.2 кг. алюминия или 0.1 кг. никеля. Во второй области для добычи х кг. алюминия в день требуется у²  человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий или никель, причем 1 кг. алюминия можно заменить 1 кг. никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение: 1). В 1 области работают 250 рабочих, каждый работает по 5ч в сутки. За один час один рабочий добывает 0,2кг алюминия, или 0,1кг никеля, т.е в сутки могут добыть:

250∙5∙0.2= 250 кг. алюминия или

250∙5∙0,1=125 кг. никеля. Отсюда видно, что выгоднее будет, если все будут добывать алюминий.

2) Во второй области также работают 250 человек, также работают по 5ч в сутки. Для добычи х кг алюминия требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у2 человеко-часов, т.е 250 рабочих нужно разделить таким способом, чтобы извлекался корень

==25 кг.(никель)          ==25 кг.(алюминий)

250+25+25=300 кг.

              Ответ: 300кг              

Задача 4. (Тренировочная работа 20) В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3кг алюминия или 0,1кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый метал на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение: Решение начнем со второй области

100 рабочих нужно разбить так, чтобы извлекался корень, т.е

= = 10кг алюминия

= = 30кг никеля

Теперь 1 область: пусть х - число рабочих добывающих алюминий,

тогда 100-х   число рабочих добывающих никель.

х∙10∙0,3 = 3х - кг алюминия

(100 - х)∙10∙0,1 = 100 - х   -кг никеля.

Составим уравнение учитывая, что на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля:     10 + 3х = 2(30+100 - х),

              10 + 3х = 260 - 2х

                5х = 250,            х = 50 - рабочих на добычу алюминия, следовательно 50 рабочих на добычу никеля

50∙10∙0,3 = 150 кг алюминия

50∙10∙0,1 = 50 кг никеля.

Тогда 150 + 50 + 10 + 30 = 240кг

Ответ: 240кг.

Задача 5. (Тренировочная работа 47). В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3кг алюминия или 1 кг никеля.

        Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение: Так как в 1-й шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды нужно, чтобы все рабочие добывали никель. Тогда

100∙5∙3 = 1500кг никеля будет добыто в 1-й шахте.

Пусть все 300 рабочих второй вахты добывают алюминий, тогда

300∙5∙3 = 4500кг алюминия будет добыто.

Так как для сплава нужно 2 раза больше алюминия, то рабочих второй шахты нужно распределить на добычу алюминия и никеля с учетом пропорции сплава.

Пусть х - число рабочих добывающих алюминий,

        300 - х   - число рабочих добывающих никель.

х∙5∙3 = 15х (кг) - алюминий

(300 - х)∙5∙1 = 1500 - 5х (кг) - никель

Составляем уравнение: 15х = 2(1500 - 5х + 1500)

                                            15х = 6000 - 10х

                                             25х = 6000,   х = 240 - количество рабочих добывающих алюминий, следовательно 60 рабочих добывают никель.

240∙5∙3 = 3600кг - алюминий

60∙5∙1 = 300кг - никель

Тогда  3600 + 300 + 1500 = 5400 кг.                    Ответ: 5400кг.

Задача 6. (ЕГЭ - 2017. Резервный день 28.06.2017г). Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

        За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.

        Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение: Пусть х - единиц товара 1-го завода,

                            у - единиц товара 2-го завода.

Тогда,   х + у = 70,   → х = 70 - у

               500х2 + 200у2 = S

500(700 - у)2 + 200у2 = S

700у2 - 70000у + 2450000 = S

700у2 - 70000у + 2450000 - квадратный трехчлен примет наименьшее значение при у =  = 50

Тогда S = 700∙502 - 70000∙50 + 2450000 = 700000

Ответ: 700000

Задача 7. (ЕГЭ - 2017. Резервный день). Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.

        За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.

        Антон готов выделять 900000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение: пусть х - на оплату труда рабочих 1-го завода, следовательно,

                       900000 - х   - на оплату труда рабочих 2-го завода.

  - часов работы 1-го завода

  - часов работы 2-го завода

Количество произведенного товара за неделю  =  +  и нужно найти наибольшее значение этого выражения, для этого найдем производную и найдем нули.

 +  ∙(-) =

Решаем уравнение  = 0

 = 0,    , возводив в квадрат с двух сторон получим: 40(900000-х) = 50х,  х = 400000.

 =  = 40 - единиц товара 1 завод

 =  = 50 - единиц товара 2 завод

40+50=90 единиц.                      Ответ: 90.

Разные задачи

Задача 1. (Тренировочная работа 13) 15 января планируется взять в кредит в банке на сумму 2,4млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение: S = 2400000. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.

;  ;  ; …;  .   - размеры долгов (остаток по кредиту на конец месяца), тогда ежемесячная выплата процентов выглядит следующим образом:

 ;   ;    ;   ; ...;      -  ежемесячный %

Находим размеры выплат:

1-й месяц:  +  =

2-й месяц:  + ∙ =    

3-й месяц:  + ∙ =    и.т.д . Замечаем, что выходит последовательность, которая уменьшается на 2. Тогда используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 + d(n - 1) при а1=148, d= -2

находим 13-й месяц:  а13 = 148 - 2(13 - 1) = 126, т.е.  и

 24-й месяц: а24 = 148 - 2(24 - 1) = 102S, т.е.

Выплата за последние 12 месяцев: + ...+  

Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn =  ∙n

S12=  = 1356.

=  = 1356000

Ответ: 1356000рублей

Задача 2. (Тренировочная работа 12). В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение: Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 10% от стоимости станут составлять не меньше 3000 рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 30000 рублей. это произойдет через (19+3+3+3+3=31) четыре года. И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 3100 рублей, т.е. больше чем, 3000 рублей. Т.е. надо продать бумагу и положить счет в банке. 2001 + 4 = 2005.

Ответ: 2005 году

2 способ решения:  аn  =а1+(n-1)d,   а=19000

                                            d=3000

Ему будет выгодно отдать деньги в банк в том случае, если 10% от аn превышает d , т.е :

0,1 аn›3000

0,1(19000+3000(n-1))›3000  :0,1

19000+3000n-3000›30000

3000n›14000

n›=4

n=5 т.е бумагу можно продать в течении пятого года(сразу после 4-х лет)

 Ответ:2005

Задача 3. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн. рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн. рублей.

Решение:

Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб., тогда:

В конце первого года на вкладе будет 1,1 S млн. руб.,

В конце второго года на вкладе будет 1,1 S∙1,1=1,21 S млн .руб.,

В конце третьего года на вкладе будет (1,21 S+3)∙1,1=1,331 S+3,3 млн. руб.,

В конце четвертого года на вкладе будет (1,331 S+3,3+3)∙1,1=1,4641S+6,93 млн. руб.,

Далее необходимо решить неравенство:

1,4641S+6,93 > 20

1,4641S > 20-6,93

1,4641S > 13,07

S > 13,07:1,4641

S > 8,93

S = 9 млн.руб. так как по условию S — целое число.

Сделаем проверку:

В конце первого года на вкладе будет 1,1∙9 = 9,9млн. руб.,

В конце второго года на вкладе будет 9,9∙1,1 = 10,89 млн. руб.,

В конце третьего года на вкладе будет (10,89+3)∙1,1 = 15,279 млн. руб.,

В конце четвертого года на вкладе будет (15,279+3)∙1,1 = 20,1069 млн. руб.

Задача 4. (Вариант 19. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2018) В мае 2017 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере S млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый декабрь каждого года долг возрастает на 10%;

- с января по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в мае 2018, 2019 и 2020 годов долг остается равным S млн. рублей;

- выплаты в 2021, 2022 и 2023 годах равны между собой;

- к маю 2023 года долг будет выплачен полностью.

        Найдите наибольшее целое S, при котором общая сумма выплат не превысит 13млн. рублей.

Решение: Сумма выплат за первые три года: 0,1S∙3 = 0,3S

Сумма выплат за последние три года: 3∙х = 3х

По условию сумма выплат не превысит 13 млн:  0,3S + 3х ≤ 13       (1)

За последние три года долг станет равным нулю, т.е.

Sp3 - p2x - px - x = 0,      p=1,1

S∙1,13 - 1,12x - 1,1x - x = 0

1,331S - 1,21x - 1,1x - x = 0

x =   Полученное выражение  подставим в (1)

0,3S + 3∙ ≤ 13

S(0,3 +  ) ≤ 13,     S ≤ 8,63    Ответ: 8 млн.