Формулы корней квадратных уравнений
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Тема: «Формулы корней квадратных уравнений».

Тип урока: «открытие» нового знания.

Цели:

Деятельностные: формировать способность к построению нового метода решения квадратных уравнений по формуле.

Образовательные: вывести формулу решения квадратных уравнений, учить применять новые знания при решении квадратных уравнений, повторить составление математических моделей.

1. Самоопределение к деятельности (организационный момент).

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с квадратными уравнениями.

– Итак, начинаем урок. Все готовы? Давайте вспомним, что мы изучали на прошлых уроках? (– Решали квадратные уравнения.) Сегодня на уроке мы продолжим работать с квадратными уравнениями.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: решение квадратных уравнений;

2) активировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение,  анализ, обобщение

3) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: решить полное неприведённое квадратное уравнение  за ограниченное время

– Какое уравнение называют квадратным? (– Уравнение вида ах2  + bх + с = 0 , где )

– Почему ? (– Если , то уравнение не будет квадратным.)

– Какие уравнения получатся, если  или ? (– Неполные квадратные уравнения.)

– Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

(– Разложение на множители, сведение к уравнению вида , выделение квадратного двучлена.)

– Представьте в виде удвоенного произведения выражения:

1.  (– .)                                    3)  (– .)
2.  (– .)                        4)  (– .)

– Добавьте слагаемое, чтобы получился квадрат двучлена.

1.  (– 9.)
2.  (– )
3. … (– )

Учащиеся в тетрадях решают квадратные уравнения:

1. х2 + 7х = 0;                        3) х2 − 6х + 5 = 0;
2. 9х2 − 4 = 0;                        4) 3х2 + 7х + 1 =0.

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности (постановка учебной задачи).

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: надо решить полное неприведённое квадратное  уравнение с большими коэффициентами;

2) согласовать цель и тему урока.

Учитель обращает внимание, что последнее уравнение из домашней работы. Поэтому на решение последнего уравнения время ограничено – 1,5 минуты. Учащиеся в это время не укладываются.

– Почему не успели решить последнее квадратное уравнение? (– Не хватило времени.)

– Почему на уравнение 3) времени было достаточно, а на уравнение 4) – нет? (–   Работать приходится с дробями.)

– Что же вы будете делать, если вам предложат решить уравнение                         63х2 – 109х + 133 = 0?

– Удобны ли известные способы решения квадратных уравнений для решения последних двух уравнений? (– Нет.)

– Какой выход вы предлагаете? (– Найти новый способ решения квадратных уравнений.)

– Какую цель мы поставим перед собой на этот урок? (– Найти новый более удобный, более быстрый, более короткий способ решения квадратных уравнений)

–Сформулируйте тему урока. (– Новый способ решения квадратных уравнений.)

Учащиеся записывают тему в тетрадях, а учитель на доске.

4. Построение проекта выхода из затруднения («открытие» детьми новых знаний).

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения: вывод формул корней квадратного уравнения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью алгоритма

– Почему одни квадратные уравнения решаются легко известными нам способами, а другие – нет? (– Всё зависит от чисел .)

– Давайте попробуем установить связь между корнями квадратного уравнения и числами .

– Вернёмся к общему виду квадратного уравнения ах2  + bх + с = 0.

– Что означают  буквы a,b,c ?( – Это коэффициенты квадратного уравнения.)

– А как найти корни уравнения? (– Надо решить уравнение и найдём корни.)

– Каким способом будем решать уравнение? (– Выделением квадратного двучлена.)

– При решении уравнения в общем, виде нам поможет образец решения уравнения 4)                                       /: 3

;

;

;

       .

это уравнение имеет 2 корня.

Вывод формулы корней в общем, виде заранее заготовлен и открывается учителем постепенно по строчкам при проговаривании алгоритма решения квадратного уравнения по образцу решённого уравнения 4).

             ах2  + bх + с = 0       /:

;

;

;

;

– Что можно сказать о количестве корней уравнения? (– Мы не можем ничего сказать, т.к. не знаем каким будет число, стоящее справа.)

– От чего зависит знак выражения, стоящего справа? (– Так как > 0, то знак всего выражения зависит от знака числителя.)

– И, что нам это даёт? (– Если числитель больше нуля, то уравнение имеет два решения, если числитель равен нулю, то уравнение имеет одно решение, если числитель меньше нуля, то уравнение не имеет корней.)

– Как бы вы назвали это выражение?  Что помогает нам сделать числитель?(– Узнаватель, определитель, различитель,…)

Учитель предлагает латинский эквивалент слова различитель – дискриминант.

– Какой буквой можно обозначить данное выражение? (– Первой буквой, с которой начинается это слово – .)

Учитель дальше открывает строку.

;

;

если D< 0, то корней нет

   если D= 0, то один корень

х +  =0,

                                                           х = – ,

если D> 0, то два корня.

                ;

                ;

                ;

Учитель предлагает выписать в тетрадях основные формулы из вывода, которые позволят решить квадратное уравнение.

 Проверяют записи в тетрадях, по записям  учителя на доске.

      ах2  + bх + с = 0;

 1)   ,           ,                 ,

2);

3) если D< 0, то нет корней

                                                          если D= 0, то один корень

                                                         х = –

если D> 0, то два корня.

– Откройте учебник на странице124 и сравните полученный нами алгоритм решения квадратного уравнения  с приведённым в учебнике.

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

– Решим домашнее уравнение новым способом.

;

;

;

, D> 0, два корня

;

;

Учащиеся сравнивают два решения. Убеждаются, что новый способ решения удобнее.

              № 810(а) 1 ученик решает у доски

                         (б)  в парах

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверить своё умение применять формулы для решения квадратных уравнений  в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

№ 807 (а)                                          №807 (б)                                         №807(в)

             (провести анализ условия)

Решить уравнение:          

После окончания работы учащиеся проверяют свои работы по решению, предложенному на доске, исправляют свои ошибки.

7. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа: повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: решение задач с помощью квадратных уравнений.

– Составить задачу по чертежу.

                        x дм

                                        (x+ 3) дм

– Составить модель для решения этой задачи. (.)

– Каким способом мы решали эту задачу в 5 классе? (– Методом перебора, методом проб и ошибок.)

– Как мы теперь можем решить уравнение? (– Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению , теперь мы можем решить это уравнение по формуле.)

              Работа с учебником №№ 809 – 819 и задача № 830(составить уравнение).

8. Рефлексия деятельности (итог урока).

Цель этапа: 1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: формулы корней квадратных уравнений;      

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

4) обсудить и записать домашнее задание.

– Какую цель мы поставили себе на этом уроке?

– Почему она возникла?

– Каким методом мы решали нашу проблему?

– Каковы результаты нашей работы?

9. Домашнее задание: § 20, №№ 805(б,г), 810(в,г), 819(б), 830*