Статья: Системы тригонометрических уравнений.
статья по алгебре (10 класс) на тему

Статья: Системы тригонометрических уравнений.

1.Системы вида

  (1)

Складывая и вычитая уравнения системное (1), получаем равносильную систему

1. ⬄ (2).

Система (1), а затем и система (2), имеют решение в том и только случае, когда выполняются условия
|a+b|<=1, |b-a|<=1.

Если эти условия выполнены, то

  (3)

В формулах (3) к и п – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.

Полагая (a+b) = α, (b-a) = β,

получаем из (3).

Откуда находим четыре серии решений:

Аналогично можно получить решение системы

Контрольные задания

1. Решить систему уравнений

а)

б) (МИФИ 1977)

в)  (МВТУ 1976)

г)         

е)

ж) 

Система вида

  a*b не=0

 a*b не=0

  a*b не=0

Сводятся к системам вида 1

2. Система вида

 (4)

сводятся заменой неизвестных u=sinx, v=siny к алгебраической системе  (5)

(5)⬄

и имеет решения (t1;t2), (t2;t1), где

t1= (a+\)/2  

t2=(a- )/2

Так как |u| <=1 и |v|<=1, то система имеет рашения в том и только в том случае, если выполняются условия а) b>=(a^2)/2 б) |t1|<=1, |t2|<=1

Если эти условия выполнены, то решению (t1;t2) cистемы(5) соответствуют уравнения sinx=t1, siny=t2, откуда

Аналогично, решению (t2;t1) системы (5) соответствует решения

К системам вида (4) сводятся системы

Контрольные задание

2.Решите систему  уравнений

а)

б)

в)  

г)

д)

3 Система вида

  (6)

Используя формулу для суммы синусов, запишем первые уравнение в виде 2*sin(x+y)/α cos(x-y)/α

так как x+y=α, то исходная система равносильно системе

 (7)

Рассмотрим два умножных случая

а) sin α/2 = 0 (т.е α=2Пт)

тогда y=2Пт-x (m принадлежит Z),  из первого уравнения системы (6) получаем sinx-sinx=a, т.е. a=0
Итак, если sin α/2 =0, то система разрешима лишь при a=0 и сводится к одному уравнению x+y=α

б) sin α/2 не=0

тогда система (7) равносильна системе

 (8)

Положим a/sinα/2 =b Если выполнено условие |b|=1, то из (8) получим

Если условие |b|<=1 не выполняется, т.е |b|>1,

то система решений не имеет.

Аналогично решаются системы вида

Контрольные задание

3.Решить систему уравнений

а)  

б)

в)

г)

д)

е)

4 Системы вида

 (9)

Заменим сначала, что система легко решается, если какие-либо из чисел a1,b1,a2,b2 равно нулю.

Пусть, например a1=0. Тогда из первого уравнения находим siny=c1/b1 , а затем из виторого определяем cosx.

Пусть теперь a1 b1 a2 b2 не= 0. Систему (9) естественно решать методом исключения одного из неизвестных, например x. с этой целью заменим систему (9)

(9) ⬄  (10)

Возводя уравнения системы (10) в квадрат и складывая, получаем уравнение вида

a*cosy+b*siny+c*sin^2y= (11)

Уравнение (11) подстановкой tg y/2=t

сводится к уравнению вида

α0*t^4+α1*t^3+α2*t^2+α3*t+α4=0

Таким образом, в общем случае нахождение решений системы (9), несмотря на кажущуюся простоту этот системы, является весьма трудной задачей.

Если же одно из чисел c1,c2 равно нулю, то в уравнение (11) либо a=0 , Либо b=0, и, сл-но, уравнение (11) сводится к квадратному относительно siny или cosy

Находя siny (или cosy) и подставляя найденное значение в систему (10), мы определим из этой системы sinx или cosx.

Заметим, что уравнение (11) с одним из уравнений системы (10) образуют систему, являющуюся следствием исходной системы.

поэтому возможно появление посторонних корней, которые выявляются проверкой (подстановкой в исходную систему).

Контрольные задания

4.Решить систему уравнений

а) 

б)

в)

г)

д)

Контрольные задания

5.Решите систему уравнений

а) (МГУ, экономический ф-т) Найти все решения системы уравнений

  Ответ:+-

б)(МГУ, экономический ф-т) Найти все решения системы уравнений

Удовлетворяющие условия

0<=x<=П/2 , -П<=y<=0

Ответ (П/6;-П);(П/6;-П/6);(П/6;0).

в) (МГУ, геологический ф-т). найти все решения системы уравнений

Ответ:

д) (Мгу, геологический ф-т) Найти все решения системы

Ответ:

е) (Мгу, физический ф-т. Решить систему уравнений

Ответ