Обобщение различных приёмов нахождения множеств значений различных функций.
статья по алгебре (10, 11 класс) на тему

Обобщение различных приёмов  нахождения

множеств  значений различных функций.

Опубликовано на сайте www.openclass.ru

ссылка на обзор материала: http://www.openclass.ru/node/248638

Пучкова Наталья Викторовна,

учитель математики ГБОУ СОШ №297

г.Санкт-Петербург

При повторении материала алгебры и начал анализа во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике я столкнулась с тем, что многие материалы по темам разрозненны, многие даже противоречат друг другу.  Разные учебники  трактуют различные решения задач по-своему, но не всегда есть время обобщить, обдумать, попытаться найти единый подход при изучении некоторых тем. Нахождение множества значений функций является составной частью решения многих сложных задач алгебры и начал анализа. В этой работе мною сделана попытка обобщить некоторые моменты изучения этого вопроса и подобрать соответствующие задания. Задания группы А  (с выбором ответа) я исключать из рассмотрения не стала, так как при решении многих задач  часто требуется быстро найти множество значения функции и отрабатывать этот навык необходимо. Надеюсь, что данная работа поможет моим коллегам в работе.

Приём 1.

               Нахождение множества значений функции по её графику.

Приём 2.

               Нахождение множества значений функции с помощью производной.

Приём 3.

               Последовательное нахождение множества значений функций, входящих в данную ком-

               позицию функций ( приём пошагового нахождения множества значений функции).

Задание 1.

                Найти множество значений функции y = 4 – sin x.

Решение.

               Зная, что функция   y = sin x принимает все значения от    -1   до  1 , то с помощью свойств

неравенств получаем, что   -1 sin x  1

                                                3 4 - sin x  5.

Значит, функция   y = 4 – sin x    может принимать все значения  не меньше 3 и не больше 5.

Множество значений Е(y) = [3;5].

Ответ: [3;5].

Приём 4.

              Выражение x через y. Заменяем нахождение множества значений данной функции нахож-

              дением области определения функции, обратной к данной.

Задание 2.

        Найти множество значений функции .

Решение.

               Выразим x через y :     х2у + 3у = х2 + 2

                                                     х2(у – 1) = 2 – 3у.

               1 случай: если у – 1 = 0, то уравнение х2 + 3 = х2 + 2 корней не имеет. Получили, что фун-

                                кция   у  не принимает значения, равного 1.

              2 случай: если у -10, то . Так как , то . Решая это неравенст-

                              во методом интервалов, получим  <1.

Ответ : .

Приём 5.

                Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию.

Задание 3.

                  Найти множество значений функции .

Решение.

                Области определения функций      и   y = х – 4  различны ( отличаются одной

                точкой х = 0 ). Найдём значение функции   y = х – 4  в точке х = 0 :  y(0) = - 4.

                Е( х – 4) = ( ). Множества значений функций   и  y = х – 4  будут

                совпадать, если из множества значений y = х – 4  исключить значение y = - 4.

Ответ : ().

Приём 6.

                Нахождение множества значений квадратичных функций ( с помощью нахождения вер-

                шины параболы и установления характера поведения её ветвей).

Задание 4.

                 Найти множество значений функции  у = x2 – 4x + 3.

Решение.

               График данной функции – парабола. Абсцисса её вершины хв = .

                                                                               Ордината её вершины ув = у( 2 ) = - 1.

               Ветви параболы направлены вверх, так как старший коэффициент больше нуля ( a=1>0).

               Так как функция непрерывна, то она может принимать все значения  у. Множество

                значений данной функции :  Е(y) = [ - 1;  ).

Ответ :     [ - 1;  ).

Приём 7.

                Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых триго-

                нометрических функций.

                Данный приём  применяется для нахождения множества значений некоторых тригоно-

                метрических функций. Например, вида   y = a·sin x + b·cos x  или y = a·sin(px) + b·cos(px),

                если а0 и b0.

Задание 5.

                 Найти множество значений функции  y = 15sin 2x + 20cos 2x.

Решение.

                Найдём значение . Преобразуем выражение :

     15sin 2x + 20cos 2x =25,

              где .

              Множество значений функции y = sin(2x + ) :   -11.

              Тогда множество значений функции  y = 25sin(2x + ):  Е(у) = [ - 25;25].

Ответ: [ - 25;25].

Задание 6.

                 Найти множество значений функций: а)  ;   б) у = sin5x – cos5x ;

                 в) ;   г) у = 4х2 + 8х + 10 ;     д) ;   е).

Решение а).

а) выразим х через у:

   6х + 7 = 3у – 10ху

   х(6 + 10у) = 3у – 7.

  Если  6 + 10у = 0, то у = - 0,6. Подставляя это значение  у  в последнее уравнение, получим :

0·х = - 8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит функция  не принимает значения

у = - 0,6.

  Если  6 + 10у  0, то  . Область определения этого уравнения : R, кроме y = - 0,6.

Получим: Е(у) =.

Ответ: .

Решение б).

б) найдём значение  и преобразуем выражение : .

Учитывая множество значений функции , получим : Е(у) =. Функция не-

прерывна, таким образом она будет принимать все значения из этого промежутка.

Ответ: .

Решение в).

в) Учитывая, что , по свойствам неравенств получим :

                           . Таким образом, Е(у) = .

Ответ :  .

Решение г).

г) можно использовать способ, предложенный в приёме 6, а  можно выделить полный квадрат:

   4х2 + 8х + 10 = ( 2х + 1)2 + 9.

   Значения  у = ( 2х + 1)2 принадлежат промежутку [0;+), тогда  областью значений  

   у = ( 2х + 1)2 + 9   будет промежуток [9;). В силу непрерывности функция у = 4х2 + 8х + 10

   принимает значения из промежутка   [9;).

Ответ: [9;).

Решение д).

д)  Е(х2) = [0;), значит Е( х2 + 3) =  [3;). Так как обратная пропорциональность – непрерыв-

     ная и убывающая функция на этом промежутке, то большему значению аргумента соответству-

     ет меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к   , значение са-

     мой функции стремится к 0:

     Е.

Ответ : .

Решение е).

е) Е(х2) = [0;+), следовательно Е( х2 + 3) =  [3;). Так как функция  непрерывна и

    возрастает на этом промежутке, то Е() = [).

Ответ : [).

Задание 7.

                Найдите наименьшее значение функции .

Решение.

                Разность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого.

                Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя.

                Таким образом, данная функция принимает наименьшее значение принаименьшем зна-

                 чении выражения  , находящегося в знаменателе дроби.

                 Е() = [0;+)

         Е(1+) = [1;+)

                Итак, наименьшее значение знаменателя  1, тогда функция принимает наименьшее зна-

                чение равное   - 1.

Ответ:  - 1.

Задание 8.

                Найти множество значений функции у = cos x на следующих промежутках :

                а) [30º ; 45º],     б) [ -45º ; 45º ],     в) [ - 180º ; 45º ].

Решение:

               а) так как в 1 четверти функция  у = cos x  непрерывна и убывает, значит, большему аргу-

                   менту соответствует меньшее значение функции, т.е. , если 30º45º , то функция

                   принимает все значения из промежутка .

Ответ : Е(у) = .

               б) на промежутке   [ -45º ; 45º ]   функция   у = cos x   не является монотонной. Рассмотрим

                 два промежутка:  [ -45º ; 0º ]  и    [ 0º ; 45º ]. На первом из этих промежутков функция

                 у = cos x  непрерывна и возрастает, а на втором – непрерывна и убывает. Получаем, что

                 множество значений на первом промежутке  , на втором .

Ответ:   Е(у) = .

              в) аналогичными рассуждениями можно воспользоваться и в этом случае. Хотя , сделаем

                   рациональнее : спроектируем дугу MPN на ось абсцисс.

                   В силу непрерывности функции получим, что множество значений функции  у = cos x  

                    при х [ - 180º ; 45º ]   есть промежуток [ - 1;1 ].

Ответ : [ - 1;1 ].

Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

Для каждого из заданий этой группы даны 4 варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.

1. Найти множество значений функции .

1)[-2;2]          2)[-1;1]          3)()          4)(-2;2)

2. Найти множество значений функции .

1)           2)          3)           4)        

3. Найти множество значений функции .

1) [-2;2]          2)         3)          4) [-1;1]

4. Найти множество значений функции .

1) [-1;1]          2)           3)          4) ()  

5. Найти множество значений функции у = sin x на отрезке [30º ; 60º].

1)          2)          3)          4) [-1;1]

6. Найти множество значений функции у = sin x на отрезке [30º ; 150º].

1)          2)          3)          4) [-1;1]

7. Найти множество значений функции у = sin x на отрезке [30º ; 180º].

1)           2)[0;1]          3) [-1;1]          4)

8. Найти множество значений функции у = sin x на отрезке [30º ; 360º].

1)           2)          3) [-1;1]          4)

9. Множеством значений функции   является промежуток :

1) [1;+)          2) [0;+)          3) [16;+)          4) [8;+)

10. Укажите в какой области функция   принимает значения   .

1)          2)[-3;2)          3)          4)

11. При каких значениях  х  функция  у = - х2 – 4х + 5  принимает положительные значения ?

1)          2)[0;9]          3)( - 5;1)          4)(0;1)

12. Укажите функцию, убывающую на всей области определения.

1)           2)           3)          4) y = x – 1.

13. Укажите область определения функции .

1)           2)(0;1)          3)          4)

Группа В.

Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятич-

ной дроби.

14. Найти наибольшее целое значение функции  у = 3х2 – х + 5  на отрезке [ 1; 2 ].

15. Найти наибольшее целое значение функции  у = - 4х2 + 5х – 8  на отрезке [ 2; 3 ].

16. Найти наибольшее целое значение функции  у = - х2 + 6х – 1  на отрезке [ 0; 4 ].

17. Укажите наименьшее целое число , входящее в область определения  функции

       .

18. Укажите, сколько целых чисел содержит область определения функции .

19. Найти длину промежутка, являющегося областью определения функции .

20. Найти наибольшее значение функции .

21. Найти наибольшее значение функции  .

22. Найти наибольшее значение функции  .

23. Найти наименьшее значение функции   .

24. Найти наибольшее значение функции  .

25. Сколько целых чисел содержит множество значений функции  у = sin2x + sin x  ?

26. Найти наименьшее значение функции   .

27. Сколько целых чисел содержит множество значений функции    ?

28. Найти наибольшее значение функции   на промежутке .

29. Найти наибольшее значение функции   на промежутке .

30. Какого значения функция    не достигает ни при каком значении х  ?

31. Найти наибольшее целое значение функции  .

32. Найти наименьшее целое значение функции    .

33. Найти наибольшее  значение функции   .

34. Найти наименьшее значение функции   .

Группа С.

Решите следующие задания с полным обоснованием решения.

35. Найти множество значений функции   .

36. Найти множество значений функции   .

37. Найти множество значений функции   .

38. Найти множество значений функции   .

39. При каких значениях    функция  у = х2 + ( – 2)х + 0,25   не принимает отрицательных зна-

      чений  ?

40. При каких значениях    функция  у = ·cos x + sin x - ·sin x   будет чётной  ?

41. При каких значениях     функция  у =·cos x + sin x - ·sin x   будет нечётной  ?

42. При каком значении    область определения функции    состоит

     из одной точки  ?

43. При каком значении    область определения функции    состоит

     из одной точки  ?