Элективный курс по математике "Решение сюжетных задач"
элективный курс по алгебре (9, 11 класс) на тему

Пояснительная записка

             При обучении математике на решение текстовых (сюжетных) задач отводится недостаточная часть учебного времени, и навыки решения учащимися задач оставляют желать лучшего, о чем свидетельствуют результаты выпускных экзаменов, вступительных экзаменов и опрос самих выпускников.

             Общепризнанно, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических ЗУН, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одной из основных средств их математического развития.

             В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстрационного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера.

        Программа предлагаемого  элективного курса представляет собой  цикл занятий, посвященных одному из традиционных разделов школьного курса математики - сюжетным задачам.

Основные цели элективного курса:

• повышение интереса ученика к изучению математики;
• углубление знаний учащихся с учетом их интересов и склонностей;
• развитие математического мышления;
• воспитание и развитие у учащихся инициативы и творчества;
• обеспечение подготовки к успешной сдаче выпускных экзаменов, поступления в ВУЗ и продолжение образования, а так же к обеспечению профессиональной деятельности, требующей высокой математической         культуры.
  
  Частные цели курса:
• формирование логического мышления;
• развитие умения у школьников анализировать математический текст;
• создание ситуации успеха и комфорта при подготовке к экзаменам.
        Перечисленные выше цели достигаются через реализацию следующего дидактического принципа: обучение решению задач через выявление  в новой ситуации знакомой и обучение алгоритму решения типовых задач; поиск различных способов решения одной и той же задачи и выбор наиболее рационального, «красивого» из них. Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных         задач.
  Задачи курса:
• помощь ученику в обоснованном выборе профиля дальнейшего обучения;
• овладение учащимися методов решения текстовых задач различных типов;
• формирование умения самостоятельно составлять и решать сюжетные задачи;
• создание условий для творческой самореализации и саморазвития школьников.
  Уровень         изучения         материала:
  Ведущими методами преподавания курса должны стать частично-поисковый, проблемный, исследовательский.

       Цикл учебных занятий данного  элективного курса содержит следующие типы уроков: уроки решения «ключевых задач», уроки консультации, уроки практикумы, деловые игры, итоговые уроки (контрольные работы). На первых уроках  каждого модуля разбираются алгоритмы решения «ключевых задач», составляются  планы - конспекты с обобщением основного теоретического материала. Уроки консультации  позволяют учащимся при возникновении трудностей при выполнении заданий, получать индивидуальные консультации преподавателя. Особое внимание уделяется решению задач, выходящих за рамки требований, предусмотренных Обязательным минимумом содержания основного общего образования. На уроках – практикумах учащиеся решают задачи, требующие  применения комплекса знаний по указанной теме. Такие занятия способствуют развитию способностей самостоятельно приобретать знания, критически оценивать полученную информацию, излагать свою точку зрения. Наиболее целесообразна, на мой взгляд, это групповая работа учащихся на уроках – практикумах. Это позволяет охватить больший объем материала и получить различные пути решения задач. Кроме этого, такая форма общения на занятиях способствует развитию        коммуникативной         культуры
Планируемые результаты:

       Данный курс соответствует целям и задачам предпрофильной подготовки, помогает сориентироваться в выборе профиля, дает возможность ученику проявить себя и добиться успеха.
    Итогом обучения и основным средством контроля является успешное выполнение контрольной работы, включающей в себя задачи всех рассмотренных типов. Программа элективного курса способствует формированию у учащихся системного подхода к решению текстовых задач. Это позволяет им, при успешном освоении курса,  «не бояться» решать как  задачи части «В»  единого государственного экзамена, так и успешно сдавать вступительные экзамены в ВУЗ.

Девиз элективного курса: «Хочешь научиться решать задачи? - Решай их!»

                            Содержание курса

 Содержание курса выстроено по принципу от простого к сложному, от приобретения новых умений и навыков к их творческому применению. Условно содержание текстовых задач можно классифицировать по следующим типам:

• задачи, связанные с понятием «процентное содержание»;
• задачи, связанные с понятием «концентрация», т.е. «на сплавы и смеси»;
• задачи, связанные с понятием «движение»;
• задачи, связанные с понятием «работа»;
• задачи, связанные с понятием «числовые зависимости»;
• задачи на прогрессию;
• задачи         на         «оптимизацию».
  Каждому типу задач отводится некоторое число учебных часов, объединенных в учебный модуль.

1. Задачи, связанные с понятием «движение»:

а) в одном направлении;

               б) навстречу друг другу;    

                в) с изменением в режиме движения;

                г) движение по воде.

2. Задачи,         связанные         с         понятием         «работа»:
   а) задачи на совместную работу при неизвестном объеме;
   б) задачи на совместную работу с известным объемом;
   в) с изменением  режима работы.
3. Задачи, связанные с понятием «числовые зависимости».
4. Задачи         на         прогрессию:
   а)         арифметическая         прогрессия;
   б)         геометрическая         прогрессия.
5. Задачи, связанные с понятием «процентное содержание»:
   а) задачи на «сложные проценты» с известным начальным и конечным         количеством;
   б) задачи на «сложные проценты» с неизвестным начальным и конечным количеством.
6. Задачи         на         «сплавление         и         смеси»:
   а)         простейшие         задачи         «на         усыхание»
   б)         задачи        на         «сплавление         и         сливание»;
   в) задачи на «переправление и переливание».

     7.          Задачи        на        оптимизацию. *Старинные         задачи.*
          Данный элективный  курс универсален. Он может быть реализован на этапе предаттестационной подготовки учащихся, т.е. в 9 классе. В зависимости от предпрофильной подготовки  модуль «Старинные задачи» в 9 классе, направленный на расширение кругозора и развитие познавательной деятельности учащихся, может быть заменен модулем «задачи на оптимизацию» (без применения производной) в классах с физико-математической направленностью. Кроме этого, данный элективный курс предназначен для организации итогового повторения при подготовке к итоговой аттестации учащихся 11-х общеобразовательных  классов  и классов гуманитарной направленности. Тогда задачи модуля «задачи на оптимизацию» (без применения производной) можно заменить «задачами на оптимизацию» (с применением         производной).
          Каждый раздел содержит задачи нескольких уровней сложности: 0 уровень - задачи практически устного характера, рассчитанные на воспроизведение известных фактов, отработка вопросов теории. Эти задачи отмечены значком(0). 1 уровень- это задачи базового уровня, решение которых базируется на знание алгоритмов решения ключевых задач. Задачи данного раздела отмечены значком (б).  2 уровень – это задачи, требующие  применения комплекса знаний по указанной теме. Задачи этого типа отмечены значком (*).  Кроме того, представлены задачи повышенной сложности.   Это задачи, решения которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее. Успешность решения этих задач обусловлена не только владением предметных, но и в значительной  степени, высоким уровнем развития общеучебных умений и навыков. Задачи         этого         типа         отмечены         значком         (**).
            Данный элективный курс не привязан к конкретному учебно-методическому комплексу.

            Инструментарий контроля образовательных достижений учащихся: контрольные работы, которые приведены ниже в двух вариантах.

Примерное распределение учебной нагрузки по темам

Резерв 2ч

Итого 34ч

Методические рекомендации учителю по обучению решению текстовых задач.

Что нужно знать при решении задач? Почему задача не решается? Как удается найти ее решение? Самое трудное в решении любой задачи – анализ математического текста задачи и составление плана решения.

               Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме:

• выбор неизвестного (или нескольких неизвестных);
• составление уравнения или системы уравнений, связывающего некоторой зависимостью выбранное неизвестное с величинами, заданными в условии задачи (а в некоторых задачах – неравенство или систему неравенств);
• решение полученного уравнения, системы уравнений или неравенств (иногда достаточно найти из системы какую-то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле);

отбор решений, удовлетворяющих условиям задачи.
Рассмотрим проблему поиска решения текстовых задач, решаемых алгебраическим способом, т.е. с помощью составления уравнений или их систем. Процесс решения задач школьного курса математики обычно включает четыре основных этапа:

1) анализ текста задачи; 2) поиск способа решения задачи и составление плана ее решения; 3) осуществление найденного плана;4) изучение (анализ) найденного решения.

             Приемы аналитического поиска решения текстовых задач (как и любых других задач) включают первый и второй этапы процесса их решения.

 Пример. Токарь должен был обработать 240 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и поэтому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

После прочтения задачи проводится анализ:

Какие величины содержаться в задаче?

Как связаны между собой производительность труда, время и объем  выполненной работы?

Сколько  можно выделить в задаче различных ситуаций (событий, случаев, фактов)?

Какие величины известны в каждой ситуации?

В каком случае производительность токаря больше и на сколько?

В каком случае время работы токаря по выполнению заказа меньше и на сколько?

Какая неизвестная величина в задаче является искомой?

 Выполненный анализ позволяет осуществить запись условия и требования задачи в виде таблицы:

           
        Умение ученика самостоятельно составить подобную таблицу говорит о том, что он усвоил условие и требование задачи и может самостоятельно приступить к поиску ее решения путем записи ответов вместо вопросов, содержащихся в таблице. В результате таблица как модель поиска решения задачи позволяет получить соответствующее уравнение. С этой целью вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии решения задачи.

               Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи заполняется таблица поиска решения задачи:

Исходя из модели поиска решения задачи, выписываем неравенство
        >  на 4,
откуда получаем уравнение:
        - 4 = .

Поиск решения закончен.

Учитывая механизм поиска решения текстовых задач, можно сформулировать обобщенный прием аналитического поиска решения текстовых задач. Он состоит в следующем:

1. Выполнить анализ задачи, выявив:
   а) название величин, содержащихся в задаче;
   б) функциональную зависимость между этими величинами, т.е. основное отношение, реализованное в задаче;
   в) количество заданных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;
   г) известные и неизвестные величины в каждой задачной ситуации;
   д) связь между соответствующими неизвестными величинами;
   е) искомую (искомые) величину.
2. Оформить (с учетом основного отношения и числа заданных ситуаций - элементов) табличную запись данных и неизвестных величин в каждой ситуации и сравнить между собой соответствующие значения неизвестных величин, используя знаки равенства, неравенства, арифметических действий.
3. На основе табличной записи текста задачи построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:
   а) записать обозначение искомой (например, Х) или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;
   использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.
4. Выписать, пользуясь моделью поиска, полученное уравнение или неравенство, являющееся основой для получения уравнения.
5. В последнем случае, используя выписанное неравенство, составить уравнение.

Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

 Предложенный прием аналитического поиска решения текстовых задач составляет лишь методические основы обучения учащихся их решению.          Учитель, учитывая возможности своих учащихся, должен детализировать его основные этапы, отрабатывая их в коллективных формах деятельности обучаемых.
    Часто успех решения задачи зависит от правильно заполненной таблицы, к которой отражено условие задачи.
Пример. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды надо добавить к 40кг морской воды, чтобы получить раствор, содержащий 2% соли?
Решение.  Составим и заполним таблицу по условию задачи:

1. Пусть необходимо добавить х кг пресной воды (в которой нет соли);
2. Найдем массу соли, содержащуюся в 40кг морской воды 40* = 2(кг)
3. Внесем данные в таблицу
   

Так как соль в новом растворе могла появиться только из первого раствора, т.е. в новом растворе масса соли 2кг; с другой стороны в новом растворе соль составляет 2% всей массы, т.е кг. Получаем следующее уравнение:
                                       =2.
Решив это уравнение, находим корень х=60. По смыслу задачи х>0. Найденное значение х этому условию удовлетворяет.  Следовательно, для получения 2% раствора соли необходимо  добавить  60кг пресной воды.

                                             Задачи на движение.

        При решении этих задач принимают следующие допущения. Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным. Скорость считается величиной положительной. Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считают происходящим мгновенно. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной х + у, а против течения – равной х - у.

1. S=v*t, где S –путь, v -скорость, t- время.
2. Время встречи t=, где  S– расстояние между первым и вторым в начальный момент, v-скорость первого, v- скорость второго.
t=.

3. Время, за которое второй догоняет первого t=.

                                t=.

Пример. Из пункта А в пункт В отправляются три велосипедиста. Первый из них едет со скоростью 10км/ч. Второй отправляется через полчаса после первого и едет со скоростью 8км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, если известно, что он догоняет первого через 4 ч после того, как он догонит второго?
Решение. Выразим время, которое потребуется третьему велосипедисту, чтобы догнать первого и второго велосипедистов.
Пусть скорость третьего велосипедиста равна х км/ч. Тогда, сокращая расстояние до первого велосипедиста по (х-10) км/ч, отставание, образовавшееся за 1 ч и, следовательно, равное 10км, третий велосипедист покроет за ч (т.к. третий выехал через 1 час после первого).
Аналогично второго велосипедиста третий догонит за  ч(4км – расстояние между третьим и вторым велосипедистами в момент старта третьего; это тот путь, который успел проехать второй велосипедист за полчаса, двигаясь со скоростью 8км/ч).
Таким образом, получаем следующее уравнение:  -  = 4.

Из этого уравнения находим х=12, х=7,5. По смыслу задачи скорость третьего велосипедиста должна быть больше, чем скорости первого и второго велосипедистов, т.е. х>10. Из найденных решений этому условию удовлетворяет только х=12. Итак, скорость третьего велосипедиста равна 12км/ч.

Пример.В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На  путь от А до С  он затратил 18 ч, а на обратный путь – 15 ч. Найдите расстояние от В до пункта С, если известно, что скорость течения реки 3км/ч, а собственная скорость катера 18км/ч.  
Решение.  Пусть расстояние от пункта В до пункта С равно х км. Выразим время, за которое катер проходит путь от А до С. Для этого придется ввести еще одну переменную: пусть скорость течения в притоке равна укм/ч. Тогда скорость катера при движении в притоке от А до В (по течению) равна (18+у)км/ч, при движении от В к А равна (18-у)км/ч. Время, затраченное на путь от А к В, равно ч, а на путь от В к А - ч. При движении катера по реке от В к С (против течения) скорость его равна 18-3=15(км/ч), а при движении от С к В она равна 18+3 = 21(км/ч). Следовательно, время, затраченное на путь от В к С, равно ч, а на путь от С к В - ч.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

Из этой системы находим:

                     

По смыслу задачи х>0, 0






                                                 Задачи на работу.

К этому типу задач относятся задачи, в которых затронуты понятия «производительность труда», «время работы», «объем работы», «пропускная способность трубы». Эти величины однотипны по математической зависимости между ними.

Время выполнения работы при совместной работе t= , где t- время выполнения работы первым, t- время выполнения работы вторым.

                                                t=

     Обозначим производительность труда буквой A, время - буквой t, объем работы – буквой V, тогда рассматриваемые величины связываются зависимостью: V= A* t, отсюда находим производительность: A=.

Пример. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 часа меньше, чем третьему, и на 1 час больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1ч12мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов?
Решение. Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за единицу. Пусть х(ч) – время, необходимое для вспашки поля первому трактору, у (ч)- второму, z(ч)- третьему трактору. Тогда -производительность первого трактора,- второго,- третьего. По условию задачи z-x=2,x-y=1. Так как при совместной работе первого и второго тракторов выполняется (+) часть работы в час, а вся работа выполняется ими за 1ч12мин, т.е. за ч,      то         * (+) = 1. В итоге получаем систему уравнений:

Решив эту систему, получим: (3;2;5), (-0,4;-0,6;2,4). По смыслу задачи х>1, y>0, z>2.

Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение.

Теперь ответим на вопрос задачи. При совместной работе трех тракторов производительность труда составит , т.е.. Значит на вспашку всего поля трем тракторам потребуется часа.

Задачи на числовые зависимости.

          При решении задач на числовые зависимости могут оказаться полезными следующие сведения:

1) если натуральное число А имеет m знаков, то  А = a , где a, a, a,……, a - соответственно количество единиц, десятков, сотен и т.д. в числе А;

2) если при делении натурального числа А на натуральное число В в частном получается  q , а в остатке  r (r

 Пример.  Найдем двузначное число, если известно, что единиц в нем на 2 больше, чем десятков, и произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение. Пусть в искомом числе х единиц. Тогда в нем (х-2) десятков, и, следовательно, оно равно (х-2)10+х=11х-20. Сумма цифр искомого числа равна (х-2)+х = 2х-2. Таким образом, получаем следующее уравнение: (11х-20)(2х-2)=144.

Это уравнение имеет два корня: х =4, х=.

Так как х и (х-2) – это цифры числа, то х  и      

Из найденных значений х этим условиям удовлетворяет только значение х =4. Тогда искомым числом является число 24.

                                        Задачи на прогрессии.

         Арифметическая прогрессия – последовательность, в которой каждый член, начиная со второго отличается от предыдущего на одно и то же число. а- первый член прогрессии, d –разность прогрессии, а- общий (n-ый) член прогрессии, S- сумма  n первых членов прогрессии.  Формула n члена прогрессии: а= а+ d(n-1).

        Характеристическое свойство: а= ,( n) т.е. а-среднее арифметическое между соседними членами.

Формула  суммы  n первых членов прогрессии: S= или S=

       Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и то же число раз. b- первый член прогрессии, q –знаменатель прогрессии, b- общий (n-ый) член прогрессии, S- сумма  n первых членов прогрессии.  Формула n члена прогрессии: b= b q.

          Характеристическое свойство: b=, (n) т.е. b-среднее геометрическое между соседними членами.

        Формула  суммы  n первых членов прогрессии S=.

         Если , то прогрессия убывающая. Формула  суммы  членов бесконечно убывающей прогрессии: S=.

         Текстовые задачи условно можно разделить на: а) математические; б) сюжетные.

         Математические решаем в два этапа: 1) распознавание прогрессии; 2) нахождение неизвестного компонента прогрессии.

          Сюжетные решаем в три этапа: 1) распознавание прогрессии; 2) нахождение неизвестного компонента прогрессии; 3) разбор дополнительных условий и ответ на вопрос задачи.

          Помни! Любая задача на прогрессию решатся легко и быстро, если знаем первый член прогрессии и разность (знаменатель) прогрессии.

                                          Задачи на проценты.

                                           Основные формулы
1. Число b составляет p  процентов от a: b= a*.
2. Число а увеличивается на p  процентов: b= a*(1+).
3. Число а уменьшается  на p  процентов: b= a*(1-).
4. На сколько процентов b больше а (b>a): 100%
5. На сколько процентов а меньше b (а100%
6. Число а увеличилось сначала на  p  процентов (=), а затем на p% (= ):
a*(1+)*(1+)= a *(1+++)
7. Число а уменьшилось сначала на  p  процентов (=), а затем на p% (= ):
a*(1-)*(1-)= a *(1--+)

К задачам на «сложные проценты» относятся те, в которых некоторая величина подвергается поэтапному скачкообразному изменению. Пусть в конце каждого этапа величина меняется на одно и то же число процентов – Р%. Обозначим: А - начальное значение этой величины, А- значение этой величины в конце первого этапа.
Значение величины в конце первого этапа найдем по формуле:
                          А= А+ А= А(1+).
В конце второго этапа значение  величины станет равным:
                           А= А(1+)= А(1+)и т.д.
В конце n-го этапа значение величины найдем по формуле:
                            А= А(1+)


  Пример.  Участок леса содержит 96% сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизилось до 95%. Сколько сосен останется на участке?


  Решение. Пусть х – число всех деревьев на участке, тогда число сосен равно 0,96х. После вырубки участок должен содержать (0,96х-150)сосен. При этом после вырубки на участке должно остаться (х-150)деревьев, из которых сосен будет 0,95(х-150). Получаем уравнение: (0,96х-150)=0,95(х-150). Решив это уравнение, получаем х=750. Следовательно, после вырубки участок должен содержать 0,96*750-150=570 сосен.



                                     Задачи на сплавы и смеси.

Решение этих задач связано с понятием «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность»и т.д. и основано на следующих допущениях: все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны, не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

 Если смесь ( сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С, которые имеют массы соответственно то величина  (соответственно ) называется концентрацией вещества А (соответственно В, С) в смеси. Величина *100% (соответственно *100%) называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С) в смеси. Ясно, что +=1, т.е. от концентрации двух веществ зависит концентрация третьего.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т.п.)

Пример. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение. Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олова, в первоначальном сплаве и в полученном.

 В 12кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т.е. (12*0,55)кг. Пусть к первоначальному сплаву добавили х кг олова. Тогда получилось (12+х)кг нового сплава, в котором олова стало 60%, т.е. .

Таким образом, получается следующее уравнение:

                                        .

 Решив это уравнение, найдем, что х=1,5. По смыслу задачи х >0. Найденное значение х этому условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5кг олова.

Пример. Из сосуда, содержащего 54л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой кислоты 24 литра. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение. Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, содержащей (54-х)л кислоты. Значит, в 1 литре смеси содержится л кислоты. Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, т.е. кислоты вылилих л.

 Итак, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй - х л, а всего за два раза вылили 54-24=30 (л) кислоты. Таким образом, получаем следующее уравнение:

    х+х=30.

Решив это уравнение, находим два корня х=90,х=18. По смыслу задачи 0<х<54. Из найденных значений х этому условию удовлетворяет только х=18. Следовательно, в первый раз вылили 18 л кислоты.

Дидактические         материалы

1 модуль.         Задачи,         связанные         с        понятием         «движение».

             Задачи         на         движение         в         одном         направлении.
1. (б)Из пункта А в пункт В выехал велосипедист со скоростью 12км/ч. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км, выехал другой велосипедист со скоростью 16км/ч. Через сколько часов второй        велосипедист         догонит        первого?         (5ч)

2. * Два автобуса отправились одновременно из поселка в город, расстояние между которыми 72км. Первый автобус двигался со скоростью, превышающей скорость второго автобуса на 4 км/ч, и прибыл в город на 15мин раньше, чем второй автобус. Найдите скорость каждого автобуса.(36км/ч,32км/ч)

3. * Николай и Андрей живут в одном доме. Николай вышел из дома и направился к школе. Через 4мин после него из дома вышел Андрей и догнал своего друга у школы. Найти расстояние от дома до школы, если Николай шел со скоростью 60м/мин, а скорость Андрея 80м/мин.(960)

4.* На соревнования по картингу по кольцевой трассе один из картов проходит круг на 5мин медленнее другого, и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходит круг? (20мин,15мин)

5.** Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого 40км/ч, скорость второго составляет 125% от скорости первого. Через 30 мин из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который сначала обогнал первый и через 1,5ч обогнал и второй. Найти скорость третьего автомобиля.(60км/ч)

               Задачи         на         движение         навстречу         друг         другу.

1.(б) Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 28км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если один прибыл в пункт В на 35мин позже, чем другой         в         А?(12км/ч,16км/ч)

2. *Из пунктов А иВ выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришел в В через 1ч15мин после встречи, а другой в А через 48мин после встречи. Расстояние между пунктами А и В равно 90км. С какой скоростью двигались автомобили? (40км/ч, 50км/ч)

3. *Из пунктов А иВ выехали одновременно навстречу друг другу соответственно товарный  и  пассажирский поезда. Товарный поезд проходил в час 6% всего пути между пунктами и встретился со скорым поездом через 3часа20минут после начала движения. Сколько минут затратил на путь из В в А         скорый         поезд?         (250)

4.* *Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2ч40мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода?(4км/ч,5км/ч)
5.*  Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. После их встречи пешеход, шедший из А, пришел в В через 24мин, а шедший из В пришел в А через 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились пешеходы?(3,6)

              Задачи на движение с изменением в режиме движения

1.(б) Расстояние между городами А и В 260км. Через 2ч после выхода автобуса из А в В он был задержан на 30мин, поэтому, чтобы прийти в В по расписанию, должен был увеличить скорость на 5км/ч. Найдите первоначальную         скорость         автобуса.         (40км/ч)

2.* Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 2км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции занимает у него 1ч50мин, а обратный путь занимает 1ч55мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорости пешехода на подъеме и на спуске. (4км,4км/ч, 6км/ч)

3. *Велосипедист должен был проехать 48км, чтобы успеть к поезду. Однако он задержался с выездом на 48мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой         скоростью         ехал         велосипедист?         (15км/ч)


4.** В 9-15 в северном направлении вышел пешеход, скорость которого составила 4км/ч. Через некоторое время из того же пункта на запад вышел другой пешеход. Определите, через какое количество минут после выхода первого пешехода вышел второй пешеход, если в 11-30 расстояние между пешеходами было 9,75километра, а в 13-00 -18,75 километра.(90)

5.* Из пунктов А и В выехали три велосипедиста. Первый из них едет со скоростью 10км/ч. Второй отправляется через полчаса после первого и едет со скоростью 8км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, если известно, что он догоняет первого через 4 часа после того, как он догонит второго?(12км/ч)

                         Задачи         на         движение         по         воде.

1. (б)Лодка может проплыть по течению реки 15км и еще 6км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5км по той же реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8км/ч.(2км/ч)

2.* Теплоход прошел расстояние от А до В по течению реки за 7 суток, а от В до А за 12 суток. Найдите, за сколько суток доплывет от А до В плот? (33,6)

3.* Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч20мин вслед за ним вышла из А моторная лодка, которая догнала плот в 20км от А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на         12км/ч?         (3км/ч)

4.**Моторная лодка проходит расстояние АВ, равное 28км, в оба конца за 5ч50мин. Однажды, выйдя из пункта В в пункт А, находящийся выше по течению реки, лодка через 2ч встретила плот, отправленный из А за 4ч до выхода лодки из В. Найдите скорость течения реки и собственную скорость моторной         лодки.         (2км/ч,10км/ч)

5.* Туристы отправились в лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад через 5ч. Перед возвращением они планировали устроить привал и пробыть на берегу 2ч. На какое наибольшее расстояние они могут отплыть, если скорость течения реки 2км/ч, а собственная скорость         лодки         6км/ч?         (8км/ч)


   2 модуль.         Задачи,         связанные         с         понятием         «работа»

     Задачи на совместную работу при неизвестном объеме.

1. *Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12ч. Если первый печник будет работать 2ч, а второй 3ч, то они выполнят 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно? (20ч, 30ч)

2. *На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10мин.  За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой ее можно сделать на 15мин быстрее, чем на второй?(15мин, 30мин)

3. *Две трубы при совместном действии могут наполнить бассейн за 4 ч. Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем ее перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9ч. За сколько часов может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?(6ч,12ч)

4. Через 2ч после того как первый трактор начал пахать поле, к нему присоединился второй, и они вместе закончили вспашку. Если бы тракторы поменялись ролями, то они закончили бы вспашку на 24мин позднее. Сколько времени тракторы работали вместе, если известно, что первый может вспахать четверть поля на 3ч быстрее, чем второй – треть поля? (6ч)

5. *Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, выполняют всю работу за 7,5ч, первый, третий и пятый – за 5ч, первый, третий и четвертый – за 6ч, четвертый, второй и пятый – за 4ч. За какой промежуток времени выполняют эту работу все пять человек вместе? (3ч)

           Задачи на совместную работу с известным объемом.

1. *Через одну трубу поступает на 5л воды меньше, чем через другую. Определить пропускную способность каждой трубы, зная, что через одну трубу 120л воды вливается за время, большее на 4мин, чем время, за которое через другую вливается 40л воды.(15л/мин, 10л/мин или 10л/мин, 5л/мин)


2. (б)Одна мельница может смолоть 38ц пшеницы за 6ч, другая - 96 ц за 15ч, третья – 35ц за 7ч. Как распределить 133 т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени? (475ц,480ц,375ц)

3. *Первый рабочий 60 деталей изготавливает на 3ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они         изготавливают         за         1час         30         деталей?         (9ч)

4. *Мастерская получила заказ сшить 60 одинаковых халатов к определенному сроку. Ежедневно в мастерской шили на 2 халата больше, чем требовалось для выполнения заказа в срок, поэтому уже за 4 дня до срока осталось сшить 4 халата. Сколько халатов в день шили в мастерской? (7)

5. **Два насоса перекачали 64 куб.м.воды. Они начали работать одновременно и с одинаковой производительностью. После того как первый из них перекачал 9 куб.м воды, его остановили на 1ч20мин. После перерыва производительность первого насоса увеличили на 1куб.м/ч. Определить начальную производительность насосов, если первый насос перекачал 33куб.м воды и оба насоса окончили работу одновременно. (3куб.м)

                     Задачи         с         изменением        режима         работы.

1. (б)Бригада рабочих должна была изготовить определенное количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно перевыполняла план на 70 деталей, поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада? (1000)

2.(б) Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц. Печатая в день на 5 страниц больше, она завершила работу на 2 дня раньше срока. Сколько страниц в день она печатала? (25)

3.**Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2ч15мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму на это понадобится на 1ч больше, чем первому? (3ч,4ч)

4.**Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выполнить всю работу за 0,9 того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно? (16)

5. *Токарь и его ученик получили наряд на изготовление деталей. По нему ученик должен был изготовить 35 деталей, а токарь – 90 деталей. Токарь и ученик начали работать одновременно. Сначала токарь сделал 30 деталей, обрабатывая в час вдвое больше деталей, чем ученик. Затем он стал обрабатывать в час на 2 детали больше и закончил работу на 1ч позже ученика. Если бы токарь все детали обрабатывал с той же производительностью, что и при работе над 60 деталями в первом случае, то он закончил бы работу на 30мин позже ученика. Сколько деталей в час обрабатывал         ученик?         (5д/ч)



3 модуль. Задачи, связанные с понятием «числовые зависимости».

1.*Найдите трехзначное число (или сумму таких чисел, если их несколько), которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 26 раз.(4680)

2.*Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 10. Если от искомого числа отнять 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном         порядке.         Найти         искомое         число.(31)

3.*Число равно произведению двух дробей с положительными членами. Числитель первой дроби увеличили на 52%, а знаменатель уменьшили на 4%. Числитель второй дроби увеличили на 26%, а знаменатель уменьшили на 16%. Найдите число процентов с соответствующим знаком, на которое изменится         число         А.(137,5)

4.** Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получиться 7, а в остатке 6. Если же это двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.(83)

5. **Найдите два числа, о которых известно следующее: если к первому числу приписать справа второе число, а затем еще цифру 0, то получится пятизначное число, которое при делении на квадрат второго числа дает в частном 39, а в остатке 575; если же к первому числу приписать справа второе и затем из составленного таким образом числа вычесть другое число, полученное приписыванием справа первого числа ко второму, то разность будет         равна         1287.         (48,35)

6. *Известно, что произведение суммы цифр двузначного числа на разность этих цифр равно 48. Найдите это двузначное число (или сумму таких двузначных        чисел,        если         их         несколько).(155)

                           4 модуль.         Задачи         на        прогрессию.

                             Арифметическая прогрессия.

1.(б)За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?(3)

2.*На каждый из опытных участков внесли по два удобрения. Первое вносили по 1кг на каждый участок. Второе удобрение вносили по следующей схеме: 200г на первый участок, а на каждый следующий участок на 200г больше, чем на предыдущий. Всего внесли 18кг удобрений. Сколько килограмм первого удобрения внесли на все участки?(9)

3.*Гусеница ползет по звеньям ломаной, причем длина первого звена 40сантиметров, а каждое следующее звено на 3 сантиметра меньше предыдущего. Найти число звеньев ломаной, на которых оставила свой след гусеница, если всего за день она проползла два с половиной метра.(9)

4. *Волшебник пообещал Незнайке за каждое доброе дело давать одну порцию мороженного. После этого Незнайка в каждый следующий день, начиная со второго, делал на одно доброе дело больше, чем в предыдущий. Запасов мороженого хватило волшебнику ровно на 12 дней. Планируя, что количество добрых дел будет увеличиваться таким же образом, волшебник догадался, что  Незнайке хватит сил делать добрые дела еще 4 дня. Найти какое количество пакетов с мороженым ему надо создать дополнительно, если в одном пакете 6 порции мороженого, 3 пакетов волшебник обещал Кнопочке, а всего Незнайка съест 200 порции мороженого. (16)

5.**Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее  рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было каждой дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг? (10,12,14,16,18)

                           Геометрическая прогрессия.

1.*Школьник заболеет гриппом, если в клетки его верхних дыхательных путей внедриться не менее 16000 вирусов гриппа. Если заранее не сделана прививка от гриппа, то каждые 2 часа после попадания инфекции число вирусов удваивается, лишь после 14 часов после заражения начинают вырабатываться антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое наименьшее число вирусов должно попасть в верхние дыхательные пути, чтобы школьник не прошедший прививку заболел? (126)

2.**В микрорайоне проживало 1544человека. В первый год строительства прибыло 400 новоселов. Планируется, что каждый год будут строить новые дома, и число новоселов ежегодно будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим годом. Через сколько лет по данному плану  в микрорайоне будет проживать 3000человек? (3)

3.*Три различных числа а, в, с образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа а+в, в+с, с+а образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.(27)

4. *Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша – блокнот и 6 карандашей, Вася – блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот? (18к.)

5 модуль. Задачи, связанные с понятием «процентное содержание»

Задачи на «сложные проценты» с известным начальным и конечным количеством.

1.*Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик собирается заморозить вклад (не брать) на 2 года. Сколько необходимо положить, чтобы через 2 года вложенная сумма увеличилась на 1272 рублей?  (5000)

2. **Антикварный магазин, купив два предмета за 225р., продал их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго – 50%? (90р.,135р.)

3. *Цена товара была дважды снижена на одно и тоже число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000р., а окончательная 1805р.? (5%)

4.(б)Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8кг?(4кг)

5. *В двух канистрах находится 90л бензина. Если из первой канистры перелить во вторую 10% бензина, находящегося в первой канистре, то в обеих канистрах будет поровну. Сколько литров бензина в каждой канистре? (50л,40л)

6. (0)  Найти число, если 35% его составляет 63 (180)

7. (0)  Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив при этом задание на 120%. Сколько деталей изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110%? (440)

8. (б) Ежегодно банк начисляет 2% от вклада. Вкладчик внес в сбербанк 150 у.е. Какой станет сумма вклада через 2 года? (168,3 у.е.)

   Задачи на «проценты» с неизвестным начальным и конечным количеством

1. * Участок  леса содержит 96% сосен. К новому году планируют вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизится до 95%.Сколько        сосен         останется         на        участке? (570)

2. *На предприятии доля сотрудников с высшим образованием составляла 80%. После того, как на работу было принято 30 новых специалистов с высшим образованием, их доля увеличилась до 85%. Сколько сотрудников теперь         работает         на         предприятии? (120)

3. *Водитель проехал первые 40% пути со скоростью, на 20% меньшей запланированной. На сколько процентов он должен увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в итоге весь путь был пройден на 2% быстрее, чем планировалось? (56,25)

4. **Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон, электричество.  Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на коммунальные услуги, телефон, электричество.(70%,10%,20%)

5.  *На аукционе одна из картин была продана с прибылью 20%, а вторая – с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух картин составила 30%. Найдите отношение первоначальных  цен картин, проданных на аукционе.(2:1)

              6 модуль.          Задачи         на         «сплавление         и         смеси»

                Простейшие         задачи         «на         усыхание»

 
1. (б)Влажность свежих грибов 90%, а сухих – 15%. Сколько сухих грибов получиться из 1,7кг свежих? (200гр)

2. (б)В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? (75%)

3. *На баржу было погружено 1215тонн песка, влажность которого составляла 15%. Во время перевозки из пункта А в пункт В влажность песка повысилась на 4%. Найдите массу груза в тоннах, доставленного в пункт В.(1275)

4. *Свежие огурцы, содержащие 98% воды, весили 100кг. Когда огурцы немного усохли, то воды в них стало 96%. Сколько стали весить огурцы после усыхания? (50кг)

5. **Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1кг меда, если известно, что нектар содержит 70% воды, а полученный мед 17%? (Ответ записать в виде неправильной         дроби)         (83/30кг)


                         Задачи на «сплавление и сливание»

1. *При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? (2:1)

2. *Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор кислоты? (42г)

3.* Имеются два куска стали разных сортов, один из которых содержит 5%, а другой 10% никеля. Сколько тонн каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содержащих 8% никеля, если во втором куске никеля на 4т больше, чем в первом? (40т,60т)

4.* Имеются два сплава с цинком, причем первый сплав содержит цинка на 30% меньше, чем второй. Сплавили 200г первого сплава с 300г второго сплава, при этом получив в новом сплаве 80% цинка. Каково процентное содержание цинка в двух первоначальных сплавах? (62%, 92%)

5. (б)Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды нужно добавить к 40кг морской воды, чтобы содержание соли в растворе стало         2%?         (60кг)

                  Задачи на «переправление и переливание»

1. *Из сосуда доверху наполненного 94%-м раствором, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 70%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд? (4,5)

2. **Имеются три слитка. Масса первого 5кг, второго – 3кг, и каждый из них содержит 30% меди.  Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем. (10кг, 69%)

3.** В куске сплава массой 6кг содержится медь. В куске другого сплава массой 8кг содержится медь в процентном отношении вдвое меньше, чем в первом куске. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго куска отделили часть, по массе вдвое большую, чем от первого куска.  Каждую из этих частей сплавили с остатком другого куска, после чего получилось два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначально?(2,4;4,8)

4. *Имеются два раствора соли в воде:40%-й и 60%-й. Их смешали, добавили 5кг воды и получили 20%-й раствор.  Если бы вместо 5кг воды добавили 5кг 80%-го раствора, то получится 70%-й раствор. Сколько было 40%-го и 60%-го растворов? (1кг,2кг)

                       7         модуль.         Задачи         на         оптимизацию.

1. .* Туристы отправились в лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад через 5ч. Перед возвращением они планировали устроить привал и пробыть на берегу 2ч. На какое наибольшее расстояние они могут отплыть, если скорость течения реки 2км/ч, а собственная скорость         лодки         6км/ч? (8км/ч)
        

2.(б) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. (2,1)

   3.(б) Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 кв. м. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»? (50/50)

4.(б) Периметр прямоугольника составляет 56см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? (14/14)

5. * Сумма длин боковых сторон и высоты трапеции, описанной около окружности, равна 4. Найдите максимально возможное значение площади трапеции. (2)

6. **Из ста учеников девятых классов на первом экзамене получили отличные и хорошие оценки 80%, на втором экзамене – 72%, на третьем – 60%. Какое может быть наименьшее число учащихся, получивших отличные и хорошие оценки на всех трех экзаменах?

                                 8 модуль. Старинные задачи
1. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12р. и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он же дате ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан, и ведательно есть, какой цены оный кафтан был. (Магницкий)(4р.80к)

2.Из множества чистейших цветков лотоса третья часть была принесена в дар Шиве, пятая – Вишну, шестая часть – Солнцу. Одну четвертую часть всех цветков получил Бхавани, а оставшиеся шесть цветков были отданы высокочтимому учителю. Скажи, сколько было цветков лотоса. (Индусская задача) (120)
3. Трава на лугу  растет одинаково густо и быстро. 70 коров могут поесть ее за  24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (20)

4. Из некоего роя пчел одна третья опустилась на цветы кадамба, одна пятая – на цветы шилиндха. Утроенная разность этих двух чисел полетела, чтобы сесть на цветы кутайи, и осталась одна пчела, которая носилась в воздухе, привлекаемая одновременно очаровательным благоуханием жасмина и пандануса. Скажи, сколько было пчел? (Индусская задача) (15)

Ниже приведены примерные тексты контрольных работ. Учитель в праве менять задания по своему усмотрению, в зависимости от подготовленности учащихся класса.
Каждая контрольная работа содержит от 3 до 5 задач разного уровня сложности. Задачи базового уровня отмечены значком «1», задачи продвинутого уровня – «3*». Задачи базового уровня представлены как задачи с выбором ответа, так и задачи, где необходимо просто записать ответ.

Контрольная работа рассчитана на 1 час (урок).

                                         Критерии оценивания:

- оценка «3» ставится за правильное выполнение заданий базового уровня;

- оценка «4» ставится за правильное выполнение заданий базового уровня и хотя бы одно из заданий;

- оценка «5» ставится за правильное выполнение всей работы.

                                                    Контрольная работа № 1

                                                   (Задачи на движение)

                                                     Вариант №1.
1. За 3 ч мотоциклист проехал а км. Скорость велосипедиста в 2 раза меньше скорости мотоциклиста. Какое расстояние проедет велосипедист
за 5 ч?

А.                      Б.                           В.                            Г.
2. Скорость первого велосипедиста на 3км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 20км ему потребовалось на 20 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости велосипедистов?
Пусть х км/ч – скорость первого велосипедиста. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
А.-=                     Б.   -=                       В.     -    =20                  Г. 20х-20(х-3) = 20

3. Расстояние по реке между двумя деревнями равно 2 км. На путь туда и обратно моторная лодка затратила 22 мин. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч?
Ответ______________________________

4*. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5 км. Через 30 мин туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 25 мин позже, чем второй в пункт А. Определите скорость каждого туриста.

5*.  Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше, то он встретит  первого пешехода через 2ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода?





                                                     Вариант №2.

1. За а ч пешеход прошел 17 км. Скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости пешехода. Какое расстояние проедет велосипедист за b ч?
А. км                    Б. км                    В. км      Г.  км
2. Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 5км ему потребовалось на 15 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости пешеходов?
Пусть х км/ч – скорость первого пешехода. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
А. - =       Б.  -   =              В.    - = 15   Г. 5х-5(х-1)=15

3. Моторная лодка курсирует между двумя пристанями, расстояние между которыми по реке равно 4 км. На путь по течению у нее уходит на 3 мин меньше, чем на путь против течения. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч?
Ответ______________________________

4*. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов М и Р, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 ч, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в Р на 2ч15мин раньше, чем второй в М. Найдите скорость каждого велосипедиста.

5*. Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, должны выехать навстречу друг другу два велосипедиста. Если первый велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше второго, то он встретит его через 1 ч 48 мин после своего выезда. Если второй отправится в путь на 1 ч раньше первого, то он встретит первого через 1 ч36 мин после своего выезда. Найдите скорость каждого велосипедиста.



                                                   Контрольная работа № 2
                                                   (Задачи на работу)

                                                         Вариант №1.
1. На двух принтерах распечатали 340 страниц. Первый принтер работал 10 мин, а второй – 15 мин. Производительность первого принтера на 4 страницы в минуту больше, чем второго. Сколько страниц в минуту можно распечатать на каждом принтере?
Пусть производительность первого принтера – х страниц в минуту. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 15х+10(х - 4)=340               Б. 10х+ 15(х + 4)=340              В. 10х+ 15(х - 4)=340
Г. += 340
2. *Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12ч. Если первый печник будет работать 2ч, а второй 3ч, то они выполнят 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?

3*. Одна тракторная бригада должна была вспахать 240га, а другая на 35% больше, чем первая. Вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй бригады, первая все же закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада  ежедневно?

                                                           Вариант №2.
1. Первый автомат упаковывает в минуту на 2 пачки печенья больше, чем второй. Первый автомат работал 10 мин, а второй – 20 мин. Всего за это время было упаковано 320пачек печенья. Сколько пачек печенья в минуту упаковывает каждый автомат?
Пусть производительность первого автомата – х пачек в минуту. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
А. 10х+20(х-2)=320          Б. 10х+ 20(х+2)=320             В. 20х+ 10(х+2)=320
Г. += 320
2. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй – 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

3*.  Два звена должны были прополоть овощные культуры на участке 7200м. Пропалывая в час на 120 м больше второго звена, первое звено закончило работу на 1 час позже второго и при этом выполнило 60% всей работы. Сколько часов работало каждое звено?

                                                   Контрольная работа № 3

                                                     (Задачи на прогрессии)

                                                           Вариант № 1.
1. В первом ряду амфитеатра концертного зала 30 мест, а в каждом следующем на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n ?
А.30+4 n         Б.  26+ 4 n              В.   34+ 4 n                Г. 4 n

2*. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?

3*. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые  не делятся       на 6.

4.  В геометрической прогрессии разность седьмого и пятого членов равна 48, а разность четвертого и второго членов равна 6. Сумма всех членов прогрессии равна 255. Определите число членов данной прогрессии.

                                                           Вариант № 2.
1. В первый день после нарушения автомобилистом правил дорожного движения штраф составляет 200р., а в каждый последующий день штраф увеличивается на 10р., по сравнению с предыдущим. Какой штраф придется заплатить автомобилисту на  n-й день после нарушения правил?
А. 190+10 n     Б. 200+10 n     В. 210 +10 n        Г. 10 n

2*. На каждый из опытных участков внесли по два удобрения. Первое вносили по 1кг на каждый участок. Второе удобрение вносили по следующей схеме: 200г на первый участок, а на каждый следующий участок на 200г больше, чем на предыдущий. Всего внесли 18кг удобрений. Сколько килограмм первого удобрения внесли на все участки?

3*. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250, которые не

 делятся на 7.
4. Знаменатель геометрической прогрессии

Контрольная работа № 3
 (Задачи на прогрессии)

       Вариант № 1.
1. В первом ряду амфитеатра концертного зала 30 мест, а в каждом следующем на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n ?
А.30+4 n         Б.  26+ 4 n              В.   34+ 4 n                Г. 4 n

2*. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?

3*. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые  не делятся       на 6.
4.  В геометрической прогрессии разность седьмого и пятого членов равна 48, а разность четвертого и второго членов равна 6. Сумма всех членов прогрессии равна 255. Определите число членов данной прогрессии.

                                                           Вариант № 2.
1. В первый день после нарушения автомобилистом правил дорожного движения штраф составляет 200р., а в каждый последующий день штраф увеличивается на 10р., по сравнению с предыдущим. Какой штраф придется заплатить автомобилисту на  n-й день после нарушения правил?
А. 190+10 n     Б. 200+10 n     В. 210 +10 n        Г. 10 n

2*. На каждый из опытных участков внесли по два удобрения. Первое вносили по 1кг на каждый участок. Второе удобрение вносили по следующей схеме: 200г на первый участок, а на каждый следующий участок на 200г больше, чем на предыдущий. Всего внесли 18кг удобрений. Сколько килограмм первого удобрения внесли на все участки?

3*. Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250, которые не

 делятся на 7.

                                                   Контрольная работа № 4
                                                   (Задачи на проценты)

                                                           Вариант № 1.
1. Уровень воды в реке находился на отметке 2,4 м. В первые часы наводнения он повысился на 5%. Какой отметки при этом достигла вода в реке?
А.0,12 м        Б.  2,52 м       В.   3,6 м                Г. 7,4м
2. Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив при этом задание на 120%. Сколько деталей изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110%?

3*. Участок леса содержит 96% сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизилось до 95%. Сколько сосен останется на участке?

4*. Стипендия студентов повышалась 2 раза, причем процент повышения второй раз был в три раза больше, чем в первый раз. Определите, на сколько процентов повысилась стипендия во второй раз, если после двух повышений она увеличилась в 1,43 раза?


                                                            Вариант № 2.

1. Предприятие разместило в банке 5 млн.р. под 8% годовых. Какая сумма будет на счету предприятия через год?
А.13 млн. р.     Б.  9 млн. р.              В.   5,4 млн. р.               Г. 0,4 млн. р.
2.Ежегодно банк начисляет 2% от вклада. Вкладчик внес в сбербанк 150 У.Е. Какой станет сумма вклада через 2 года?

3*. На предприятии доля сотрудников с высшим образованием составляла 80%. После того как на работу было принято 30 новых специалистов с высшим образованием, их доля увеличилась до 85%. Сколько сотрудников теперь работает на предприятии?

4*. Численность населения  в городе Таганроге в течении двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?






                                                Контрольная работа № 5
                                            (Задачи на «сплавление и смеси»)

                                                                  Вариант № 1.
1. Влажность свежих грибов 90%, а сухих – 15%. Сколько сухих грибов получиться из 1,7кг свежих?

2*.  Имеется два слитка сплава золота с медью. Первый слиток  содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240г золота и 60г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.  

3*. Из сосуда, доверху наполненного 94%-м раствором кислоты, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 70%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86%-й. Сколько литров раствора вмещает сосуд?      

                                                                  Вариант № 2.
1. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

2.* Первый сплав серебра и  меди содержит 70г меди, а второй сплав – 210г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

3*. К 9 литрам водного раствора кислоты добавили 3 литра чистой воды. Смесь тщательно перемешали, а затем 3 литра раствора отлили. Эту процедуру выполнили еще 2 раза, после чего получили 9 литров 27%-го раствора кислоты. Какова исходная концентрация кислоты в растворе?











                                                           Ответы

                                                     К.р.№ 1.
Вариант № 1.      1) А; 2) Б; 3) 11км/ч;  4) 4км/ч, 6км/ч;       5) 4км/ч, 5км/ч.
Вариант № 2.      1) А; 2) А; 3)  2 км/ч; 4) 10 км/ч, 20 км/ч; 5) 12км/ч,18км/ч

                                                            К.р.№ 2
Вариант № 1.      1) В;                  2) 20ч, 30ч;               3) 21га, 24га.
Вариант № 2.      1) А;                  2) 12ч, 24ч;               3)  4ч,3ч или 9ч, 8ч.

                                                             К.р.№ 3
Вариант № 1.      1) Б;                  2) 3;                  3) 16734. Указание. Из суммы всех натуральных чисел от1 до 200 вычтите сумму тех из них, которые делятся на 6.


Вариант № 2.      1) А;                 2) 9;                  3)  26965.

                                                              К.р.№ 4.
Вариант № 1.      1) Б;           2) 440;           3) 570;   4) 30%.
Вариант № 2.      1) В;           2) 168,3у.е.;  3) 120;   4) 280000.

                                                             К.р.№ 5.
Вариант № 1.      1) 200гр.;                2) 100гр.;          3) 4,5л.
Вариант № 2.      1) 75%;                   2) 430гр.;          3)  64%.

                                      Список литературы

1.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. ср.шк. – М.: Просвещение, 1991.

2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы/ Под ред. М.И.Сканави. – М.: Высшая школа, 1988

3. Дыбов П.Т., Забоев А.И., Иванов А.С. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. -  М.: Высшая школа, 1989

4. Математика. Задачи  М.И.Сканави с решениями. Сост. С.М.Марач, П.В.Полуносик. – Мн.: изд.В.М.Скакун,1997

5. Р.Б.Райхмист. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы. Учеб. пособие.- М.: Московский Лицей, 2006.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для8-9 классов. - М: Просвещение, 1997

7. К.У.Шахно. Сборник конкурсных задач по математике с решениями.-Изд. Ленинградского госуниверситета, 1951

8. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.Я.Яглом Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум.- М.: Наука,1970

9. И.И.Баврин, Е.А.Фрибус Старинные задачи.- М.: Просвещение, 1994

10. М.В.Лурье, Б.И.Александров Задачи на составление уравнений. .- М.: Наука,1990

11. Алгебра:сб.заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9кл./(Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова и др.) – 2-е изд. М.: Просвещение, 2007

12. С.И.Туманов Алгебра. Учеб. Пособие для учащихся 6-8 классов заочной школы. - М.: Просвещение, 1966

13. В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович Задачник – практикум по алгебре. -        М.: «Школа-Пресс»1995

14. А.В.Бобровская Текстовые задачи. Изд.№2, Шадринск,2004

15 А.В.Бобровская. Сюжетные задачи. Изд.№7, Шадринск,2007

16. Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов Математика ЕГЭ. КИМ.- Изд. «Экзамен»- М.,2004

17. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ-2006(2007,2008). Математика.М.: Федеральное государственное учреждение «Федеральный центр тестирования»,2005(2006,2007)

18. А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова Алгебра аи начала анализа 10-11 классы.Задачник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2007

19. Л.В.Кузнецова, Е.А. Бунимович, С.Б.Суворова Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы.9 класс.-         М.:         Дрофа,2002