Тригонометрические уравнения
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Тригонометрические уравнения.

1. Уравнения, приводимые к квадратному относительно синуса, или косинуса, или тангенса, или котангенса.

а)

                                                  Нет решений

                                                  Т.к

Ответ: -

б)

          или          

          Ответ: -

2. Уравнения, однородные относительно синуса и косинуса. Рассмотрим три однородных уравнения.

1.     - однородное 1-ой степени;
2.    - однородное 2-й степени.
3.  – однородное 3-й степени

Решение однородного уравнения будем начинать с деления обеих частей уравнения на  (степень однородного уравнения), считая, что . В результате этого деления получаем уравнение относительно , которое и решаем. Чтобы выяснить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения, подставляем в данное уравнение нуль вместо  вместо.  

Т.к. при   И если в результате данной подстановки в уравнение получим верное равенство, значит, корни уравнения  являются и корнями данного уравнения. Если равенство окажется неверным, то потери корней при делении на  обеих частей исходного уравнения не произошло.

   Упрощение некоторых тригонометрических уравнений может быть достигнуто с помощью понижения их степени. Если показатели степеней синусов и косинусов, входящие в уравнение, четные, то понижение производится по формулам половинного аргумента.

   Решить уравнение

Ответ:  

Некоторые тригонометрические функции удается решить, используя оценку левой и правой частей уравнения.

 (1) используем формулу приведения.

 т.к.   , то левая часть данного уравнения представляет собой сумму двух взаимно обратных функций. Известно, что при  , равенство (1) достигается только при (2) Множество решений уравнения(2) имеет вид     Ответ:

Решить уравнение

Решение: т.к.    , то исходное уравнение эквивалентно системе уравнений       , решением системы, а следовательно и исходного уравнения, являются те значения х, которые принадлежат как первому, так и второму множеству. Для того, чтобы найти эти значения, приравняем выражения, стоящие в правых частях. Если найдутся целые значения n и k, при которых эти выражения совпадают, то полученные значения х удовлетворяют обоим уравнениям системы.

  ,  после преобразований  это уравнение имеет решений в целых числах, т.к. при любом n и k слева стоит четное число, а справа нечетное, то система не имеет общих решений и исходное уравнение решения не имеет.

Примеры решений тригонометрических уравнений.

Пример1. Решить уравнение

Решение:    

Ответ:

Подобным образом решаются уравнения                                                                

С помощью формул для суммы синусов и косинусов углов и разности косинусов.

Пример 2.  

Решение:   ,

Ответ:

Пример 3. Решение уравнения      (1)

Делим обе части уравнения на . Получаем

  где a

Т.к. , то можно подобрать такой угол, что               . Заданное уравнение можно записать в виде                                               или  

Если , то уравнение (2), а следователь и (1) не имеет решений. Если , то двое решения записываются формулой

  или

Пример 4. Решить уравнение

Решение:    

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:  

Решение: Пусть , .

Следовательно,

                                     нет решений т.к.

Пример 6. Решить уравнение:  

Решение

Нет решений                    

Т.к.                 Ответ:

Другое решение: Заметим, что в уравнении

             следовательно, равенство возможно лишь при одновременном выполнении условий

      и      ;

                   ,

Оба условия выполняются в точках

Пример 7. Решить уравнение

Решение:  Каждое слагаемое в левой части имеет степень 2. Очевидно, что  т.к. в противном случае . Но в том и в другом случае равенство (3) неверно. Разделим правую и левую части на :  

Пусть     Отсюда

k=0;            k=0;

Ответ: