Показательные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Специфика решения уравнений рассматриваемого класса по сравнению с алгебраическими состоит в расширении методов и формул преобразований, в частности добавляются две взаимно обратные операции – логарифмирование и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило, является сведение данного уравнения к алгебраическому; и наконец, в добавлении двух элементарных уравнений:
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 29.88 КБ |
Предварительный просмотр:
Показательные уравнения.
Специфика решения уравнений рассматриваемого класса по сравнению с алгебраическими состоит в расширении методов и формул преобразований, в частности добавляются две взаимно обратные операции – логарифмирование и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило, является сведение данного уравнения к алгебраическому; и наконец, в добавлении двух элементарных уравнений:
Если вместо x в показателе степени стоит некоторая функция , т.е. уравнение имеет вид
, то логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к эквивалентному уравнению
.
Показательное уравнение вида , где
решается также путем логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а. Эквивалентное ему уравнение
Решение простейших показательных уравнений.
Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) или (2) с помощью равенств: ,
,
=
Пример 1. Решить уравнение : .
Решение: Приведем степень в правой части хранения к основанию
Исходное уравнение имеет вид
Логарифмируя по основанию , получим x= -4
Ответ: - 4.
Пример 2. Решить уравнение:
Решение:
;
т.к.
Логарифмируя по основанию 3 получим.
Ответ: 0.
Примеры решения показательных уравнений.
Пример 1. .
Представим первую часть в виде произведения, получим
,равносильное данному
.
Ссылаясь на монотонность показательной функции, получим ответ: x=2.
Пример 2. .
Представив уравнение в виде и, приравнивая показатели, приходим к уравнению
. Перепишем последнее уравнение в виде
. Т.к.
, а
,
То правая и левая части равны 3, откуда и
.
Поэтому . Ответ:
n
.
Пример 3. .
Область определения x. Записав
и
, получим уравнение.
. Т.к. функция
монотонная, то равны показатели
. Левая часть полученного уравнения
, следовательно, и правая часть
. Приходим к системе равносильной исходному уравнению .
Она сводится к системе Решением служит х=24.
Ответ: х=24.
Пример 4. . Перепишем в виде:
Положим t=
и решим квадратное уравнение:
Из двух его корней и
условию
удовлетворяет лишь второй:
. Итак,
,
Ответ:
Пример 5. т.к.
при любых
, разделим на
; Итак,
, т.е.
, следовательно,
Ответ:
Пример 6. Решить уравнение: .
Решение: Перепишем данное уравнение в виде
Используя свойство членов пропорции, имеем ,
,
Преобразуем ,
,
,
. Ответ: 4.
Пример 7. .
Решение: обозначим и, произведя замену переменных, получаем квадратное уравнение:
,
, Значит это уравнение решений
,
, не имеет т.к.
при всех допустимых значениях. Из первого уравнения получаем:
.
Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат, имеем
. Приводя подобные члены, получаем единственный корень
. Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет исходному уравнению. Ответ:
.
Пример 8. Решить уравнение: .
Решение
. Ответ:
.
Пример 9. Решить уравнение:
Решение: Преобразуем 2-ое слагаемое 1.
Подставим в (1), получим 2.
.
= 4
,
.
.
Ответ: ; 9 .
Пример 10. Решить уравнение: .
Решение: , корень может быть найден подбором, других решений уравнение не имеет, т.к.
монотонно убывает, а
монотонно возрастает и значит, графики функций могут пересечься не более одного раза. Ответ:
.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Иррациональные уравнения. Показательные уравнения.Логарифмические уравнения.
Тип урока: Урок повторения. Форма урока – мастерская (групповая работа)Форма урока работа в группах. Коллективная форма работы, которая позволяет создать ситуацию взаимообучения учащихся и сущест...
Практический материал к зачету по теме "Показательная функция.Показательные уравнения и неравества"
....

Урок по алгебре в 11 классе по теме "Показательная функция. Показательные уравнения"
Урок по алгебре для 11 класса...

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: "Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства".
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител...

Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства."
Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства " для учащихся 11 класса подготовлены в6 вариантах....

Дидактический материал по темам: "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы", "Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества"
Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак...