Иррациональные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Иррациональные уравнения.

   Определения различных классов иррациональных уравнений, которые приводятся в школьных учебниках, обычно имеют вид «Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала». Несмотря на формальную расплывчатость, определения такого типа достаточно для того, чтобы указать некоторую область уравнения, из которой решаются способами, изучаемыми при прохождении соответствующей темы. В каждом из таких классов можно указать подклассы простейших уравнений, к которым и сводится решение более сложных заданий.

   Специфика иррациональных уравнений. Здесь применяется характерное преобразование – « освобождение неизвестного из-под знака корня», обычно состоящее в возведении обеих частей уравнения в одинаковую степень. Необходимо довести до понимания учащихся причины возможного появления при этом посторонних корней. Они проявляются при возведении в четную степень, т.к. получаемое при этом уравнение – логическое следствие данного, но может быть и неравносильным ему. Например: уравнение  имеет один корень , а уравнение  имеет два корня . Первые из них является корнем уравнения

 . Кроме того, посторонние корни могут появиться при переходе к выражениям с большей областью определения. Например область определения уравнения : при возведении в квадрат обеих частей получается уравнение, определенное при всех значениях x, из двух его корней  только второй – корень исходного уравнения.

   При решении таких уравнений возможны два пути.

   Первый состоит в переходе от уравнения к его следствию и проверке корней полученного уравнения подстановкой в исходное.

   Второй состоит в использовании равносильных преобразований, но при этом приходится переходить к системам. Пример:

На простых примерах следует проводить сравнение этих двух способов.

Пример 1. Решить уравнение

Возводим обе части уравнения в квадрат

Приводя подобные члены, получаем уравнение: , корни которого .

Один из корней  не удовлетворяет исходному уравнению т.к. не входит в область его допустимых значений. Проверкой убеждаемся, что при  исходное уравнение обращается в тождество. Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение:

 . Ответ: 3.

Уравнение вида    (1) можно решить следующим образом( не возводя в квадрат). Рассмотрим решение уравнения типа (1) на множестве М - тех значений

   Пусть  корень уравнения    (2)   h(.

Тогда справедливо равенство    (3)

Найдем разность чисел    (4)   и запишем равенство (4) в виде     (5)

Используя равенство (3), запишем равенство (5) в виде

      (6)

Это равенство означает, что число  есть корень уравнения

     (7)

Т.е. уравнение (7) является следствием уравнения (2) на множестве М. Складывая уравнения (2) и (7) и умножая полученное уравнение на , получим уравнение

    (8)

также являющееся следствием (2) на множестве М. Возводя уравнение (8) в квадрат и решив полученное уравнение, надо сделать проверку найденных корней, т.е. проверить, являются ли его корни корнями исходного уравнения (2).

Пример 3.Пешить уравнение     (9)

Найдем разность подкоренных выражений

   и

, то уравнение     (10)

Является следствием исходного уравнения. Складывая уравнения (9) и (10), получим , (12), являющееся следствием исходного.

Решение уравнения (12) есть . Проверкой убеждаемся, что оба эти числа являются корнями исходного уравнения. Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

Решение: Обозначим

Полученное уравнение имеет корни

Следовательно,  или , отсюда

Второе уравнение не имеет корней, т.к.

Ответ: 1.

Уравнение вида  можно решить следующим методом. Возьмем    (13)

    (14),    – корень уравнения (13).

Возведем в куб, получим

  в силу (14) имеем 3     (15)

Равенство (15) означает, что  – есть корень уравнения.

     (16)

Уравнение (16) есть следствие (13). Возведя (16) в куб и решив полученное уравнение, надо проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

Возводим в куб ,

Это уравнение равносильно исходному. Подставляя вместо

 единицу, получим  являющееся следствием исходного. Уравнение перепишем так  равносильное предыдущему. Решая последнее имеем . Проверка показывает, что  не является корнем исходного.

Ответ: .

Рассмотрим ещё некоторые примеры.

Пример 6.

 – область определения задается системой

Т.е. Е – промежуток .  Перенесем  в другую часть и возведем в квадрат.                  

                                 ,

                                 ,

                                 ,

                                 ,

                                 .

Оба корня принадлежат области определения уравнения

При                    Посторонние корни

При               не появились.

Ответ: 5; 17.

Пример 7.

E (обл. опр.)         E:           Возведем в квадрат и получим:      

 не выходит в область определения т.е. посторонний корень. Левая часть при  

Правая часть при        

Ответ:  

Пример 8.                              

 Оба корня принадлежат области определения. Проверим, удовлетворяют ли они исходному иррациональному уравнению.

При

При

Ответ: уравнение корней не имеет.

   Определение и нахождение корней иррационального уравнения с помощью графиков рассмотрено в пункте « О приближенном и графическом решении уравнений».