Комбинаторные задачи
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

Тема урока

Комбинаторные задачи

№

Этап урока

Деятельность учителя

Речь учителя. Задания для учащихся.

Деятельность ученика

Формируемые УУД

Познаватель-

ные

Регулятивные

Коммуникатив-

ные

Личност-

ные

1

2

3

4

5

6

7

8

1

Организацион-ный момент. Мотивация к учебной деятельности.

Приветствие учащихся; проверка готовности класса            к уроку; организация внимания.

Устанавливает тематические рамки. Организует уточнение типа урока и называние шагов деятельности.

(слайд 1).

Здравствуйте, ребята. Сегодня урок мне хотелось бы начать со слов Владимира Мономаха “Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь…” А знаете ли вы, кто такой Владимир Мономах? Владимир Всеволодович Мономах (1053–1125) – полководец и государственный деятель Древней Руси, писатель, мыслитель.

(слайд 2)В некоторых русских народных сказках добрый молодец оказавшись на распутье, читает на камне: «вперед поедешь- голову сложишь, направо поедешь- коня потеряешь, налево поедешь- меча лишишься».  С какой проблемой сталкивается богатырь? А в нашей жизни встречаются похожие проблемы? Встречаются ли в математике задачи с похожей проблемой? Задачи, содержащие вопросы типа: “Сколькими способами?”, “Сколько всего существует вариантов, комбинаций” , называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся комбинаторными задачами, называется комбинаторика. Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа. Как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока? Чем мы будем сегодня заниматься?

Запишите тему урока.  (Слайд 3)

Слушают учителя,

Определяют тему урока и намечают шаги учебной деятельности.

Осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Прогнозирование своей деятельности

Умение слушать и вступать в диалог

Умение выделять нравственный аспект поведения

2

Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии, выявление причин затруднения.

Учащимся раздает цветные полоски (белая, синяя, красная). Организует фиксирование индивидуального затруднения.

Объясняет значения цветов флага России.

А теперь, ребята, давайте вместе с вами попробуем решить комбинаторную задачу. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

Попробуйте составить из полосок эти флаги. Есть ли среди них вам известный флаг? (слайд 4)

А что же означают цвета на Российском флаге? Белый- мир, чистота, совершенство,синий- веру и верность, красный- силу, энергию.

А знаете ли вы, какие государства имеют флаги с теми же цветами?(слайд 5)

Россия, Сербия, Нидерланды

Слушают учителя. Участвуют в работе по выходу из проблемной ситуации, отвечают на поставленные вопросы, приводят примеры.

Уметь ориентироваться в своей системе знаний

Уметь проговаривать последовательность действий, высказывать свое предположение

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои  мысли, слушать и вступать в диалог

Учебное сотрудни-чество со сверстниками и учителем

3

Построение проекта выхода из затруднения

Вместе с учениками определяет цель урока- научиться более рациональным способам решения задачи. Составляют совместный план действий. Знакомит учащихся  с способами решения задачи.

Слайды 3-4

Комментирует,   направляет работу учащихся.

Метод поребора всех вариантов без какого- либо правила- не самый рациональный. Как вы думаете, в математике есть другие способы решения подобных задач? Какую же цель мы поставим сегодня на уроке?

(слайд 6)Есть несколько способов решения комбинаторных задач. Сейчас мы их рассмотрим.

Существует общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления таблицы вариантов. (слайд 7). 

Во многих случаях оказывается полезным еще один прием – построение  картинки-  схемы перебора вариантов. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян. (слайд 8)

Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. Мы с вами рассмотрим одно из таких правил – правило умножения.

(слайд 9)

Есть еще один  способ решения

 (слайд 10) комбинаторных задач – с помощью графов.

 Задача. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

        Для начала необходимо выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.  Сосчитать количество черточек.

Учащиеся определяют цель урока.

Слушают, отвечают на вопросы учителя  и решают задачу методом составления таблицы вариантов

Слушают, составляют дерево вариантов

Решают задачу по правилу произведения

Решают задачу с помощью графов

Структурирование знаний.

Уметь формулировать учебную задачу, определять последовательность промежуточных действий с учетом конечного результата.

Умение слушать и вступать в диалог

Коллективное обсуждение проблем (при необходимости)

Проявление терпения   и аккуратности при поиске решения

4

Физминутка

Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.

(слайд 11)

Вижу, что вы немного устали, так давайте немного разомнемся.

1.   Встали все прямо, головой рисуем                          ромбик. Повторяем  по 3 раза в каждую сторону
2. Плечами рисуем овал.  Повторяем  по 3 раза в каждую сторону
3. Руки на уровне груди. Рисуем треугольник 3 раза.
4. Рисуем глазами круг.

.

Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу

Планирование своей деятельности

Умение слушать

Осознание ценности здоровья

5

Реализация построенного проекта и первичное закрепление.

Организует реализацию построенного проекта в соответствии с планом, фиксирование нового знания в речи и знаках.

Учитель в процессе работы учащихся – консультант.

Выслушивает ответы , задает наводящие вопросы. Хвалит детей. Отмечает степень вовлеченности учащихся в работу

А теперь посмотрим, как вы усвоили тему.

(Слайды 12-21)

1. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 3, 5, 8, если допустить повторение цифр? Составьте дерево вариантов.
2. Какие различные двузначные числа можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить , что  цифры не повторяются?  Составьте таблицу вариантов.
3. В 5 классе в субботу 4 урока: математика, русский язык, история и физкультура. Сколько можно составить вариантов расписания на субботу?
4. Из города А в город В ведут 4дороги, а из города В в город С – 2 дороги. Сколько есть различных маршрутов поездки из города А в город С через город В?

Работа в паре

5. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, черные, зеленые и синие стержни. Какие  виды двуцветных ручек выпускала фабрика?

Самостоятельная работа

6. У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы ,4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?  
7. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Решение с комментированием.Под руководством учителя фиксируют новое знание в речи и знаках.

3 • 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

14,17,41,47,71,74.

4 • 3 • 2 • 1= 24 (варианта)

4 • 2 = 8 (маршрутов)

КЧ, КЗ, КС, ЧЗ, ЧС, ЗС

3 • 4 • 2 = 24 (варианта костюма.)

11 • 10 = 110 (способами.) 

Уметь добывать новые знания, использовать знаково- символические средства для решения задач

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи

Уметь  работать в группе, формулировать свои мысли, слушать и понимать других.

Проявление доброжелательности в дискуссии.

Проявление  доверия к собеседнику

6

Рефлексия учебной деятельности

Подводит итоги работы. Организует фиксирование нового содержания, рефлексию, самооценку. Вносит корректировку в ответы учащихся

Задает домашнее задание.

Вот и подходит к концу наш урок.

(слайд 22) Ребята, вы сегодня сделали шаг в большой раздел математики- «элементы статистики и теория вероятностей».Комбинаторика- это начало этого раздела.  В заданиях ГИА и ЕГЭ встречаются задачи из этого раздела.  А в ВУЗах этот раздел математики изучается отдельным предметом. Вот почему важно уметь решать подобные задачи.

Как вы считаете, мы сегодня достигли нашей цели, почему?

Ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса: (слайд 24)

• На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)
• Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)
• Моя самооценка за урок …

Домашнее задание:

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
2.  Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Сколько открыток было подписано?
3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 6, 8, если цифры не повторяются. Решите задачу всеми возможными способами.

Отвечают на вопросы учителя, рассказывают, что узнали, что получилось. Осуществляют самооценку.

Самостоятельно выполняют домашнее задание

Осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Выделение и осознание изученного

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои  мысли, слушать и вступать в диалог

Ориентация в межличностных отношениях