Доказательство Теоремы Пифагора на языке геометрической алгебры
тренажёр по алгебре (11 класс) на тему

1. Доказательство Теоремы Пифагора на языке геометрической алгебры.

Площади больших квадратов равны. Площади цветных фигур также равны. Тогда  a²+b²=c²

2. а) Доказать, что a=n²-1, b=2n ,c=n²+1 дают бесконечно много Пифагоровых троек.

Доказательство:

Докажем, что все такие  a, b, с  образуют  Пифагоровы тройки.

a²+b²=c²

(n²-1)² +(2n)²=(n²+1)²

(n²-1)² -(n²+1)²+(2n)²=0

(n²-1 -n²-1)(n²-1+n²+1)+(2n)²=0

-2·2n²+(2n)²=0 – это верное равенство. Значит все такие a,b, c дают пифагоровы тройки.  

Заметим, что n – любое натуральное число. Натуральных чисел бесконечно много, значит a,b, c образуют бесконечно  много пифагоровых троек.

б)Верно ли, что  такие  a, b, с  образуют  все пифагоровы тройки.

Ответ: Нет, это не верно. Контр пример: 9,12,15.

в)Верно ли, что среди таких a, b, с  существует бесконечно много непропорциональных троек.

Ответ: да, верно.

3. Доказать, что существует бесконечно много непропорциональных пифагоровых троек.

Доказательство : см. 2 в)

4. Доказать, что один из катетов пифагоровой тройки всегда делится на три.

Доказательство:

n²≡0,1 ( mod3)

a²+b²=c²  , пусть ни один катет не делится на 3, тогда получим остатки

1   1    2   ?!

следовательно, хотя бы один катет пифагоровой тройки делится на 3.

5. Доказать, что один из катетов пифагоровой тройки всегда четный.

Доказательство:

m² ≡0,1 ( mod 4)

(2n+1)² ≡1 ( mod 4)

a²+b²=c²  , пусть оба  катета нечетны, тогда получим остатки по модулю 4

1   1    2   ?!  Значит, хотя бы один катет четный.

6. Доказать, что один из катетов пифагоровой тройки всегда делится на 4.

Доказательство:

m² ≡0,1,4 ( mod 8)

, пусть оба  катета не делятся на 4, тогда  можем получить остатки по модулю 8

1   1    2   ?!

1   4    5  ?!

4   4    0   - Значит  a, b, с  четные числа. А их квадраты делятся на 4.

4m²+4n²= 4k²  . Сократим на 4.

m²+n²= k²       оба m и  n  не могут делиться на 4, иначе делятся исходные катеты. Тогда остатки

4   4    0 .   Значит оба катета четные. Но тогда исходные катеты делятся на 4 ?!

Таким образом, хотя бы один катет делится на 4.

7. Доказать, что одна из сторон пифагоровой тройки всегда делится на 5.

Доказательство:

m² ≡0,1,-1 ( mod 5)

Если хотя бы один из катетов делится ена 5, то мы доказали утверждение. Пусть ни один катет на 5 не делится. Тогда получим следующие остатки по модулю 5:

a² + b² = c²  

1     1     2  ?!

-1   -1    -2   ?!

1    -1     0   - тогда гипотенуза делится на 5

Доказали, что хотя бы одна из сторон делится на 5.

8. Если a, b, с  - пифагорова тройка,то а·b·c делится на 60

Доказательство:

60= 5·4·3, (5,4,3)=1. Таким образом достаточно доказать, что  а·b·c делится на 5,4, и 3. А это следует из доказанного выше. Получили, что а·b·c делится на 60

9. Если a, b, с  - пифагорова тройка, то (a, b, с )=1 ↔  a, b, с  -  попарно просты

Доказательство:

←

Пусть (a, b, с)=d, тогда a=aיּd  b=bיּd. Тогда (a,b)=d ?! противоречие с условием теоремы.

→

 Пусть две стороны из пифагоровой тройки не взаимно просты и делятся на d ,  тогда из равенства a²+b²=c²   следует, что третья сторона  тоже должна делится на  d. Тогда  (a, b, с)=d ?!

Противоречие с условием теоремы.

10. Доказать, что плоскость нельзя без остатка и наложений замостить правильными n-угольниками при n = 3,4,6

Доказательство:

Предположим, что многоугольники соприкасаются  углом к стороне.

11. Угол в правильно n-угольнике равен 180º(n-2)/n.

При n ≥ 5, угол n-угольника ≥108º.  Тогда оставшийся угол будет ≤ 72º , что меньше угла используемого многоугольника.. Значит, многоугольники соприкасаются вершинами.

Пусть в точке сходится х углов, тогда 180ºх(n-2)/n=360º.

х=2+4/(n-2), т.к.х целое, то возможно только n=3,4,6. Т.о.нельзя замостить плоскость.