Теорема Пифагора и способы её доказательства
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) на тему

Муниципальное  общеобразовательное  учреждение

средняя  общеобразовательная  школа  № 12

г.  Североморск  Мурманской  области .

Предмет :  геометрия

Реферат  на  тему :    Теорема  Пифагора  и  

                                 способы   её    доказательства .

Североморск  2013

Оглавление

1.    Введение ………………………………………………………………………………стр.  2

2.    Основная  часть

      2.1   Биография  Пифагора  ………………………………………………………………...3

            2.2   Неалгебраические  способы  доказательства  теоремы .

                         а)   Простейшее  доказательство ………………………..………………….….4

                         б)   Древнекитайское  доказательство ………………………………………...5

                         в)   Древнеиндийское  доказательство  ……………………………………….6

                          г)   Доказательство  Евклида …………………………………………….........7

                          д)   Доказательство  Гофмана …………………………… ……………………... 8

     2.3   Алгебраические  способы  доказательства  теоремы .

                         а)   Первое  доказательство ………………………………………………………..9 

                          б)   Второе  доказательство …………………………………………………….10 

                          в)   Третье   доказательство …………………………………………………….11

3.    Заключение  …………………………………………………............................................12

4.    Список  литературы  ……………………………………………………………………..13

5.    Приложение ………………………………………………………………………………14

1. Введение .

       Трудно  найти  человека , у  которого  имя  Пифагора  не  ассоциировалось  бы  с  теоремой  Пифагора .  Пожалуй ,  даже  те ,  кто  в  своей  жизни  навсегда  распрощался  с  математикой ,  сохраняют  воспоминания  о   « пифагоровых  штанах »  −  квадрате  на  гипотенузе ,  равновеликом  двум  квадратам  на  катетах .  Причина  такой  популярности  теоремы  Пифагора  триедина :  это  простота  −  красота  −  значимость . В  самом  деле  теорема  Пифагора  проста ,  но  не  очевидна .  Это  сочетание  двух  противоречивых  начал  и  придаёт  ей  особую  притягательную  силу  ,  делает  её  красивой .  Но ,  кроме  того ,  теорема  Пифагора  имеет  огромное  значение :  она  применяется  в  геометрии  буквально  на  каждом  шагу , и  тот  факт ,  что  существует  около  500  различных  доказательств  этой  теоремы  (  геометрических ,  алгебраических ,  механических

и  т. д. ) ,  свидетельствует  о  гигантском  числе  её  конкретных  реализаций .  

        Открытие  теоремы  Пифагора  окружено  ореолом  красивых  легенд .  Прокл ,

комментируя  последнее  предложение  первой  книги  «  Начал »  Евклида ,  пишет :

     «  Если  послушать  тех ,  кто  любит  повторять  древние  легенды ,  то  придётся  сказать ,  что  эта  теорема  восходит  к  Пифагору ;  рассказывают ,  что  он  в  честь  этого  открытия  принёс  в  жертву  быка » . 

Впрочем ,  более  щедрые  сказители  одного  быка  превратили  в  одну  гекатомбу ,  а  это  уже  целая  сотня .  И  хотя  ещё  Цицерон  заметил ,  что  всякое  пролитие  крови  было  чуждо  уставу   Пифагорейского  ордена ,  легенда  эта  прочно  срослась  с  теоремой   Пифагора   и  через  две  тысячи  лет  продолжала  вызывать  горячие  отклики  .  Так ,  оптимист  Михаил   Ломоносов   ( 1711 – 1765 )  писал :

       « Пифагор  за  изобретение  одного  геометрического  правила  Зевсу  принёс  на  жертву  сто  волов .  Но  ежели  бы  за  найденные  в  нынешние  времена  от  остроумных  математиков  правила  по  суеверной  его  ревности  поступать ,  то  едва  бы  в  целом  свете  столько  рогатого  скота  сыскалось » . 

       А  вот  ироничный  Генрих  Гейне  ( 1797 −1856 )  видел  развитие  той  же  ситуации  несколько  иначе :

      «  Кто  знает ! Кто  знает ! Возможно ,  душа  Пифагора  переселилась  в  беднягу  кандидата ,  который  не  смог  доказать  теорему  Пифагора   и  провалился  из – за  этого  на  экзаменах ,  тогда  как  в  его  экзаменаторах  обитают  души  тех  быков ,  которых  Пифагор ,  обрадованный  открытием  своей  теоремы ,  принёс  в  жертву  бессмертным  богам » .

             Сегодня  теорема  Пифагора   обнаружена  в  различных  частных  задачах  и  чертежах :  и  в  египетском  треугольнике  в  папирусе  времён  фараона  Аменемхета  первого  ( около  2000  лет  до  н.э. ) ,  и  в  вавилонских  клинописных  табличках  эпохи  царя  Хаммурапи  ( XVIII  в.  до  н.э. ) ,  и  в  древнеиндийском  геометрическо – теологическом  трактате  VII − V  вв. до  н.э. « Сульва  сутра »  ( « Правила  верёвки » ) .  

        В  древнейшем  китайском  трактате  « Чжоу – би  суань  цзинь » ,  время  создания  которого  точно  не  известно , утверждается ,  что  в  XII  в. до н.э.  китайцы  знали  свойства  египетского  треугольника ,  а  к  VI  в. до н.э.  −  и  общий  вид  теоремы .  Несмотря  на  всё  это ,  имя  Пифагора  столь  прочно  сплавилось  с  теоремой  Пифагора ,  что  сейчас  просто  невозможно  представить ,  что  это  словосочетание  распадётся .  То  же  относится  и  к  легенде  о  заклании  быков  Пифагором .  Да  и  вряд  ли  нужно  препарировать    историко-математическим  скальпелем  красивые  древние  предания .

2

         Сегодня  принято  считать ,  что  Пифагор  дал  первое  доказательство  носящей  его  имя  теоремы .  Увы ,  от  этого  доказательства  также  не  сохранилось  никаких  следов .

     Я  рассмотрю  некоторые  классические  доказательства  теоремы Пифагора ,  известные  из  древних  трактатов .  Сделать  это  полезно  ещё  и  потому ,  что  в  современных  школьных  учебниках  даётся  алгебраическое  доказательство  теоремы .  При  этом  бесследно  исчезает  первозданная  геометрическая  аура  теоремы ,  теряется  та  нить  Ариадны ,  которая  вела  древних  мудрецов  к  истине ,  а  путь  этот  почти  всегда  оказывался  кратчайшим  и  всегда  красивым . Итак ,  ТЕОРЕМА  ПИФАГОРА .

2.  Основная  часть

2.1   Биография  Пифагора

       Великий  учёный  Пифагор  родился  около  570 г.  до н.э.  на  острове  Самосе . Отцом  Пифагора  был  Мнесарх , резчик  по  драгоценным  камням .  Имя  же  матери  Пифагора  не  известно . По  многим  античным  свидетельствам ,  родившийся  мальчик  был  сказочно  красив ,  а  вскоре  проявил  и  свои  незаурядные  способности .  Среди  учителей  юного  Пифагора  традиция  называет  имена  старца  Гермодаманта  и  Ферекида  Сиросского  ( хотя  и  нет  твёрдой  уверенности  в  том ,  что  

именно  Гермодамант  и  Ферекид  были  первыми  учителями  Пифагора ) . Целые  

дни  проводил  юный  Пифагор  у  ног  старца  Гермодаманта ,  внимая  мелодии  

кифары  и  гекзаметрам  Гомера .  Страсть  к  музыке  и  поэзии  великого  Гомера  Пифагор  сохранил  на  всю  жизнь . И ,  будучи  признанным  мудрецом ,  окружённым  толпой  учеников ,  Пифагор  начинал  день  с  пения  одной  из  песен  Гомера .  

Ферекид  же  был  философом   и  считался  основателем  италийской  школы  

философии .

            Таким  образом ,  если  Гермодамант  ввёл  юного  Пифагора  в  круг  муз ,  то  Ферекид   обратил  его  ум  к  логосу .  Ферекид  направил  взор  Пифагора  к  природе

 и  в  ней  одной  советовал  видеть  своего  первого  и  главного  учителя .  

Но  как  бы  то  ни  было ,  неугомонному  воображению  юного  Пифагора  очень  скоро  стало  тесно  на  маленьком  Самосее ,  и  он  отправился  в  милеет ,  где  встречается  с  другим  учёным −  Фалесом . Фалес  советует  ему  отправиться  за  знаниями  в  Египет ,  что  Пифагор  и  сделал .

     В  548 г.  до н.э.  Пифагор  прибыл  в  Навкратис -  самосскую  колонию ,  где  было  у  кого  найти  кров  и  пищу .  Изучив  язык  и  религию  египтян ,  он  уезжает  в  Мемфис .  Несмотря  на  рекомендательное  письмо  фараона , хитроумные  жрецы  не  спешили  раскрывать  Пифагору  свои  тайны ,  предлагая  ему  сложные  испытания . Но  влекомый  жаждой  к  знаниям ,  Пифагор  преодолел  их  все ,  хотя  по  данным  раскопок  египетские  жрецы  не  многому  могли  его  научить ,  так  как  в  то  время  египетская  геометрия  была  чисто  прикладной  наукой  (  удовлетворявшей  потребность  того  времени  в  счёте  и  измерении  земельных  участков ) . Поэтому ,  научившись  всему ,  что  дали  ему  жрецы ,  он  убежав  от  них ,  двинулся  на  родину  в  Элладу .  Однако  ,  проделав  часть  пути ,  Пифагор  решается  на  сухопутное  путешествие ,  во  время  которого  его  захватил  в  плен  Камбиз ,  царь  Вавилона ,  направлявшийся  домой .  Не  стоит  драматизировать  жизнь  Пифагора  в  Вавилоне ,  так  как  великий  властитель  Кир  был  терпим  ко  всем  пленникам .  Вавилонская  математика  была  , бесспорно ,  более  развитой  (  примером  этому  может  служить  позиционная  система  

исчисления ) , чем  египетская ,  и  Пифагору  было  чему  поучится .  Но  в  530 г.  до н.э.  

3

Кир  двинулся  в  поход  против  племён  в  Средней  Азии .

И ,  пользуясь  переполохом  в  городе ,  Пифагор  сбежал  на  родину . А  на  Самосее  в  то  время  царствовал  тиран  Поликрат  . Конечно  же ,  Пифагора  не  устраивала  жизнь  придворного  полу-раба , и  он  удалился  в  пещеры  в  окрестностях  Самоса .  После  нескольких  месяцев  притязаний  со  стороны  Поликрата ,  Пифагор  переселяется  в  Кротон . В  Кротоне  Пифагор  учредил  нечто  вроде   религиозно-этического  братства  или  тайного  монашеского  ордена  ( « пифагорейцы » ) , члены  которого  обязывались  вести  так  называемый  пифагорейский  образ  жизни .  Это  был  одновременно  и  религиозный  союз ,  и  политический  клуб ,  и  научное   общество .

Надо  сказать ,  что  некоторые  из  проповедуемых  Пифагором  принципов  достойны  подражания  и  сейчас .

 …. Прошло  20  лет .  Слава  о  братстве  разнеслась  по  всему  миру .  Однажды  к  Пифагору  приходит  Килон ,  человек  богатый ,  но  злой ,  желая  спьяну  вступить  в  братство .  Получив  отказ ,  Килон  начинает  борьбу  с  Пифагором ,  воспользовавшись  поджогом  его  дома .  При  пожаре  пифагорейцы  спасли  жизнь  своему  учителю  ценой  своей ,  после  чего  Пифагор  затосковал  и  вскоре  покончил  жизнь  самоубийством .

2.2   Неалгебраические  способы  доказательства  теоремы

а)  Простейшее  доказательство

«  Квадрат ,  построенный  на  гипотенузе  прямоугольного  треугольника ,  равновелик  сумме  квадратов ,  построенных  на  его  катетах »

рис . 1

      Простейшее  доказательство  теоремы  получается  в  простейшем  случае  равнобедренного  прямоугольного  треугольника .  Вероятно ,  с  него  и  начиналась  теорема .  

4

В  самом  деле ,  достаточно  просто  посмотреть  на  мозаику  

равнобедренных  прямоугольных  треугольников  ( рис.1 ) ,  чтобы  убедиться  в  справедливости  теоремы .

Например :  для  Δ АВС  :  квадрат ,  построенный  на  гипотенузе  АС ,  содержит  4  исходных  треугольника ,  а  квадраты ,  построенные  на  катетах ,  −  по  два .  

Теорема  доказана .

б)   Древнекитайское  доказательство 

Математические  трактаты  Древнего  Китая  дошли  до  нас  в  редакции

 II в.  до н.э.  Дело  в  том ,  что  в  213  г.  до  н.э.  китайский  император  

Ши  Хуан – ди ,   стремясь  ликвидировать  прежние  традиции ,  приказал  сжечь  все  древние  книги .  Во  II в.  до н.э.  в  Китае  была  изобретена  бумага  и  одновременно  начинается  воссоздание  древних  книг .

     Так  возникла  « Математика  в  девяти  книгах » −  главное  из  сохранившихся  математико-астрономических  сочинений  в  книге  « Математики »  помещён  чертёж

 ( рис. 2а ) ,  доказывающий   теорему  Пифагора .

                             рис. 2а                                                             рис. 2б

                               рис. 2в                                                    рис. 2г

5

       Ключ  к  этому  доказательству  подобрать  нетрудно .

        В  самом  деле ,  на  древнекитайском  чертеже  4  равных  прямоугольных  треугольника  с  катетами  а  ,  b   и   гипотенузой  с   уложены  так ,  что  их  

внешний  контур  образует  квадрат  со  стороной  а + b ,  а  внутренний  − квадрат  

со  стороной  с ,  построенный  на  гипотенузе . ( рис. 2б ) .

       Если  квадрат  со  стороной  с  вырезать  и  оставшиеся  4  затушеванных  треугольника  уложить  в  2  прямоугольника  (рис. 2в ) ,  то  ясно ,  что  образовавшаяся  пустота , с  одной  стороны  равна  с2 ,  а  с  другой −   а2 +  b2 ,  

т. е.   с 2 = а2 +  b2 .  

Теорема  доказана .

Заметим ,  что  при  таком  доказательстве  построения  внутри  квадрата  на  гипотенузе ,  которые  мы  видим  на  древнекитайском  чертеже  (рис. 2а ) , не  используются .  

По-видимому ,  древнекитайские  математики  имели  другое  доказательство  

       Именно  если  в  квадрате  со  стороной  с   два  заштрихованных  треугольника  

(рис. 2б )  отрезать  и  приложить  гипотенузами  к  двум  другим  гипотенузам  (рис. 2г ) , то  легко  обнаружить ,  что  полученная  фигура ,  которую  иногда  называют  

« креслом  невесты » ,  состоит  из  двух  квадратов  со  сторонами  а  и  b ,  

т. е.   с 2 = а2 +  b2 .

     На  рисунке ,  представленном  в  приложении ,  воспроизведён  чертёж

 из  трактата   « Чжоу – би … » . Здесь  теорема  Пифагора  рассмотрена  

для  египетского  треугольника  .

Квадрат  на  гипотенузе  содержит  25  клеток ,  а  вписанный  в  него  квадрат  на  большем  катете − 16 . Ясно ,  что  оставшаяся  часть  содержит  9  клеток.  Это  и  будет  квадрат  на  меньшем  катете .

в)   Древнеиндийское  доказательство 

Математики  Древней  Индии  заметили ,  что  для  доказательства  теоремы  Пифагора  достаточно  использовать  внутреннюю  часть  древнекитайского  чертежа .  В  написанном  на  пальмовых  листьях  трактате  « Сиддханта  широмани » 

 ( « Венец  знания » )  крупнейшего  индийского  математика  XII в.   Бхаскари

 помещён  чертёж  ( рис. 3а ) ,  больше  никаких  рассуждений  не  писали ,  

кроме  одного  слова   «  смотри ! » .  

Как  видим ,  прямоугольные  треугольники  уложены  здесь  гипотенузой  наружу  и  квадрат  с 2  перекладывается  в   « кресло  невесты »   а2  −  b2 ( рис. 3б ) .

                          рис. 3а                                                       рис. 3б

Заметим ,  что  частные  случаи  теоремы  Пифагора  (  например  ,  построение  

квадрата ,  площадь  которого  вдвое  больше  площади  данного  квадрата  )  встречаются  в  древнеиндийском  трактате  « Сульва  сутра »  ( VII − V вв. до н.э. )

Однако  в  течении  двух  тысячелетий  применяли  не  это  наглядное  доказательство ,

 а  более  сложное  доказательство ,  придуманное  Евклидом ,  которое  помещено  в

 его  знаменитой  книге  « Начала » .

г)   Доказательство  Евклида

                               рис. 4

      На  гипотенузе  и  катетах  прямоугольного  треугольника  АВС   строятся  соответствующие  квадраты  ( рис. 4 )  и  доказывается ,  что  

прямоугольник  BJLD   равновелик  квадрату  ABFH , а  

прямоугольник  JCEL   равновелик  квадрату   AGKC .  

Тогда  сумма  квадратов  на  катетах  будет  равна  квадрату  на  гипотенузе .

              В  самом  деле ,  заштрихованные  на  рисунке  

Δ ABD  =  ΔBFC   (  по  двум  сторонам  и  углу  между  ними )  

       FB = AB  ,  BC = BD  ,   FBC = d + ABC = ABD .

Но  SABD = ½ SBJLD  ,  т. к.  у   Δ ABD   и  прямоугольника  BJLD  общее  основание  BD

                                        и  общая  высота  LD .

Аналогично :  SFBC = ½ SABFH  ,  т. к.  у   Δ FBC   и  прямоугольника  ABFH  общее

                                                           основание  BF  и  общая  высота  AB .

Отсюда ,  учитывая ,  что  SABD = SFBC , имеем   SBJLD = SABFH  .

Аналогично  ,  используя  равенство  треугольников  BCK   и  ACE  ,  доказывается ,  

                      что   SJCEL = SACKG  .

Итак ,  SABFH + SACKG = SBJLD  + SJCEL  = SBCED .    

                                                                               Что  требовалось  доказать .

             Доказательство  Евклида  в  сравнении  с  древнекитайским  или  древнеиндийским  выглядит  чрезмерно  сложным .  По  этой  причине  его  нередко  называли  « ходульным »  или  « надуманным » . Но  такое  мнение  поверхностно . Теорема  Пифагора  у  Евклида  является  заключительным  звеном  в  цепи  предложений  1–й  книги  « Начал » .  Для  того ,  чтобы  логически  безупречно  построить  эту  цепь ,  чтобы  каждый  шаг  доказательства  был  основан  на  ранее  доказанных  предложениях ,  Евклиду  нужен  был  именно  выбранный  им  путь .

д)   Доказательство  Гофмана

Рисунок  иллюстрирует  ещё  одно  оригинальное  доказательство ,  предложенное  Гофманом . 

Рис. 5

   Здесь    треугольник  АВС  с  прямым  углом  С  .

Построим  отрезок   BF  CB   и    BF = CB  ,

                                  BЕ  АB     и    BЕ = АB ,

                                  AD  AC    и    AD =  AC .

Точки  F, C , D  принадлежат  одной  прямой  .

Четырёхугольники    ADFВ  и   АСВЕ  −  равновелики ,  т.к.   Δ АBF = Δ ЕСB .

Треугольники    ADF  и  АСЕ  −  равновелики   .

Отнимем  от  обоих  равновеликих  четырёхугольников  общий  для  них  треугольник   АВС ,  получим :       ,  отсюда :  .   с 2 = а2 +  b2 .

Что  требовалось  доказать .

2.3   Алгебраические  способы  доказательства  теоремы

а)   Первое  доказательство 

          Среди  доказательств  теоремы  Пифагора  алгебраическим  методом  

первое  место  (  возможно  самое  древнее  ) ,  занимает  доказательство  ,

 использующее  подобие  .

Пусть  АВС − данный  прямоугольный  треугольник  с  прямым  углом  С .

Проведём    CM  AB   из  вершины  прямого   угла  С  ( рис. 6 ) ,

b1  − проекция  катета  b   на  гипотенузу , а1  − проекция  катета  а   на  гипотенузу ,  h −  высота  треугольника ,  проведённая  к  гипотенузе  .

С

                                              a                           b           

                         В                                                           А

                                                                          а1                             МС           b1

Рис. 6

Из  того ,  что  Δ АВС  подобен  ΔАСМ   следует    b2 = с b1     ( 1 )

                          Δ АВС  подобен  ΔВСМ   следует    а2 = с а1     ( 2 )

Складывая    почленно   равенства  ( 1 )  и  ( 2 )  ,  получим  

                                     а2 + b2 = с а1 + с b1   

                                     а2 + b2 = с ( а1 + b1 )

                                     а2 + b2 =  с 2

Что  требовалось  доказать .

б)   Второе  доказательство 

                          рис. 7а                                                                       рис. 7б        

Пусть  Т − прямоугольный  треугольник  с  катетами   а , b   и  гипотенузой  с  ( рис. 7а )  .  Докажем ,  что   с 2 = а2 + b2 .

Построим  квадрат  со  стороной   а + b  ( рис. 7б ) .  

На  сторонах  квадрата  возьмём  точки  A , B , С , D   так ,  чтобы  

отрезки   AB , BC , CD , DA  отсекали  от  квадрата  прямоугольные  треугольники  

 Т1 , Т2 , Т3 , Т4   с  катетами  а  и  b .  

Четырёхугольник   ABСD  обозначим  буквой  Р .  

Покажем ,  что  Р − квадрат  со  стороной  с .

Все  треугольники  Т1 ,Т2  Т3 ,Т4   равны  треугольнику  Т  (по  двум  катетам ).

Поэтому  их  гипотенузы  равны  гипотенузе  треугольника  Т , т.е.  отрезку с

Докажем ,  что  все  углы  этого  четырёхугольника  прямые .

               Пусть    и    −  величины  острых  углов  треугольника  Т .

          Тогда ,  как  нам  известно ,   +  = 900 .  

   Угол    при  вершине  А  четырёхугольника  Р  вместе  с  углами ,  равными    и   ,  составляет  развёрнутый  угол .  Поэтому    +  = 1800 .  

   И  так  как   +  = 900  ,  то   =  900 .

   Аналогично   доказывается ,  что  и  остальные  углы  четырёхугольника  Р  прямые .  

  Следовательно , четырёхугольника  Р  −  квадрат  со  стороной  с .

  Квадрат  со  стороной   а + b  слагается  из   квадрата  Р  со  стороной  с  и  четырёх  треугольников  ,  равных  треугольнику  Т .  

Поэтому  для  их  площадей  выполняется  равенство  :

S = S(P) + 4S(T)    (*)

10

    Т.к.    S = (а + b)2  ,  S(P) = c2  ,  S(T) = а b   , 

то  подставляя  эти  выражения   в  (*)  , получаем  равенство :  

                                               (а + b)2 = c2 +4∙ а b

     Преобразуем  левую  и  правую  часть  равенства ,  получаем :

а2 + 2 а b + b2 =  c2 + 2 а b

а2  + b2 =  c2

Что  требовалось  доказать .

в)   Третье   доказательство 

Пусть  АВС − данный  прямоугольный  треугольник  с  прямым  углом  С .

Проведём  высоту  CD  из  вершины  прямого   угла  С  ( рис. 8 )

С

                         А                                                           В

                                                                                                                 D

Рис. 8

По  определению  косинуса  угла  (  косинусом  острого  угла  прямоугольного  треугольника  называется  отношение  прилежащего  катета  к  гипотенузе  )  :  

                                        .  Отсюда ,  АD ∙ АВ = АС 2 

              Аналогично     .  Отсюда ,  ВD ∙ АВ = ВС 2 

Складывая  полученные  равенства  почленно  и  замечая , что  АD + DВ = АВ

Получим :        АС 2 + ВС 2 = АВ ∙ ( АD + DВ ) = АВ 2  .  

                                                                                                                                                                                                                                                        Теорема  доказана .

3.  Заключение  

     Площадь  квадрата ,  построенного  на  гипотенузе  прямоугольного  треугольника ,  равна  сумме  площадей  квадратов ,  построенных  на  его  катетах …

Эта  одна  из  самых  известных   геометрических  теорем  древности ,  называемая  теоремой  Пифагора  .  Она  была  известна  задолго  до  него . В  вавилонских  текстах  эта  теорема  встречается  за  1200  лет  до  Пифагора . Именно  ему  первому  удалось  доказать  эту  теорему  опираясь  не  на  рисунок  ,  а  на  рассуждения .

         Почему  это  утверждение  очень  важно ?

 В  древности  ещё  не  знали  её  доказательства , а  соотношение  между  гипотенузой  и  катетами  было  установлено  опытным  путём  на  основе  измерений .  Это  позволило  египтянам  строить  прямые  углы  ( при  строительстве  пирамид  и  разметке  полей ),  а  треугольник  со  сторонами  3 ,4 ,5  называют  египетским .  С    помощью  этого  утверждения   можно  вычислять  длины  наклонных  линий .  Чтобы  найти  расстояние  от  вершины  шеста  до  конца  его  тени ,  не  надо  натягивать  верёвку  (  так  делали  египтяне ) .  Достаточно  измерить  длину  шеста  и  длину  тени .  Так  известен  исторический  факт  о  том ,  что  Фалес  посетил  Египет  и  поразил  жрецов  тем ,  что  измерил  высоту  пирамиды  по  её  тени .

     Теорема  Пифагора  была  первым  утверждением ,  связавшим  длины  сторон  треугольников .  Потом  узнали ,  как  находить  длины  сторон  и  углы  остроугольных  

и  тупоугольных  треугольников .  Возникла  целая  наука  тригонометрия  ( « тригон » − по-гречески  означает  « треугольник » ). С  её  помощью  можно  было ,  измерив  одну  сторону  и  два  угла  треугольника ,  найти  длины  всех  его  сторон . Эта  наука  нашла  применение  в  землемерии .  Но  ещё  ранее  с  её  помощью  научились  измерять  воображаемые  треугольники  на  небе ,  вершинами  которых  были  звёзды .  Сейчас  тригонометрию  применяют  даже  для  измерения  расстояния  между  космическими  кораблями .

     Теорема  Пифагора ,  а  также  теорема ,  обратная  к  ней  , широко  используются  при  доказательстве  других  теорем  и  решении  задач :

         −  вывод  формулы  Герона ,  выражающую  площадь  треугольника  через

             длины  его  сторон  ;

         −  доказательство  существования  треугольника ,  стороны  которого

             равны  данным  отрезкам ;

         −  при  решении  изопериметрических  задач ( при  заданном  периметре  ищется

             п –угольник  с  наибольшей  площадью )  и  др.

   В  настоящее  время  всеобщее  признание  получило  то ,  что  успех  развития  многих  областей  науки  и  техники  зависит  от  развития  различных  направлений  математики .  Важным  условием  повышения  эффективности  производства  является  широкое  внедрение  математических  методов  в  технику  и  народное  хозяйство ,  что  предполагает  создание  новых ,  эффективных  методов  качественного  и  количественного  исследования ,  которые  позволяют  решать  задачи ,  выдвигаемые  практикой . Рассмотрим  несколько  элементарных  примеров  таких  задач ,  в  которых  при  решении  применяется  теорема  Пифагора .

Строительство

        Окна  в  зданиях  готического  и  романтического  стиля  ( верхние  части  окон  расчленяются  каменными  ребрами ,  которые  не  только  играют  роль  орнамента ,  но  и  способствуют  прочности  окон ) .

        Крыша  двускатная   при  строительстве  домов .

        Молниеотвод  (  защищает  от  молнии  все  предметы ,  расстояние  до  которых  от  его  основания  не  превышает  его  удвоенной  высоты ) .

12

Астрономия

        Вычисление  пути  светового  луча  (  вычисление  траектории  движения  космических  кораблей ) .

Мобильная  связь

        В  настоящее  время  на  рынке  мобильной  связи  идёт  большая  конкуренция  среди  операторов . Чем  надёжнее  связь ,  тем  больше  зона  покрытия ,  тем  больше  потребителей  у  оператора .  При  строительстве  вышки  ( антенны )  часто  приходится  решать  задачу :  какую  наибольшую  высоту  должна  иметь  антенна ,  чтобы  передачу  можно  было  принимать  в  определённом  радиусе  .

         Значение  теоремы  Пифагора  очень  велико  , и  приведённые  

примеры убедительно  свидетельствуют  об  огромном  интересе  ,  проявляемом  по  отношению  к  ней  .

     Мне  кажется ,  что  если  мы  хотим  дать  знать  внеземным  цивилизациям  о  существовании  разумной  жизни  на  Земле ,  то  следует  посылать  в  космос  изображение  Пифагоровой  фигуры .  Думаю ,  что  если  эту  информацию  смогут  принять  мыслящие  существа ,  то  они  без  сложной  дешифровки  сигнала  поймут ,  

что  на  Земле  существует  достаточно  развитая  цивилизация  .

4.  Список  литературы

1.   Бабанин В. « Код  жизни » , издательство « Сова »  Санкт – Петербург ,

      стр. 210-213 .

2.   Даан – Дальмедико , Ж. Пейффер  « Пути  и  лабиринты »  

     ( очерки  по  истории  математики )  Москва , « Мир »  1986 ,

      стр. 63-65 ,171-172  

3.   Геометрия   ( Дополнительные  главы  к  школьному  учебнику  

      8   класса ) , Москва  «Просвещение»  1996 , стр. 65 – 71 .

4.   Интернет  источники  :  http. // www.1 september . ru

5.   Чистяков  В.Д.  « Рассказы  о  математиках » , Минск ,

      « Высшая  школа » , 1966 ,  стр.  86 -90 .

6.  « Энциклопедический   словарь  юного  математика » , Москва

     « Педагогика »  1985 ,  стр. 26,28,112,236,280 .

1. Приложение