Обобщение по теме Производная функции для интерактивной доски
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Класс: 11

Уровень образования: базовый

Оборудование: мультипроектор, компьютер, интерактивная доска.

Цели:

Образовательные:  систематизировать и расширять сведения о функциях, совершенствовать графические умения; формировать способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач;

Развивающие:  развитие информационной компетенции, логического мышления, алгоритмической культуры,  развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей;

Воспитательные: воспитывать аккуратность, точность; формировать мотивацию для успешной сдачи экзамена по математике.

Образовательные технологии: информационные технологии, развивающее обучение.

Перед вами рисунки к заданиям В8. На какие две большие группы можно разделить задания В8?(Слайд 1)

Верно .Задачи В8, в которых используются графики,  можно разделить на 2 большие группы:

1. На рисунке изображен график функции
2. На рисунке изображен график производной функции.

Задания первого типа. На рисунке изображен график функции

Геометрический смысл производной (Слайд 3)

 f'(x)=k=tgα  

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и равно значению тангенса угла наклона касательной к положительному направлению оси  ох.

Решите задачу.

На рисунке изображен график  функции  y=f(x) и касательная к нему в точке  с абсциссой  хо.  Чему равна производная функции в этой точке?   (Слайд 4)

План решения задачи.

1. Определить вид угла наклона касательной;
2. Если угол острый, то построить прямоугольный  треугольник с целочисленными катетами и найти значение  тангенса этого острого угла, найдя отношение противолежащего катета к прилежащему катету треугольника.
3. Если угол тупой , то построить прямоугольный  треугольник в который входит острый угол, смежный с данным. Найти значение  тангенса этого острого угла, подсчитав  отношение противолежащего катета к прилежащему катету треугольника. Ответ записать с «-», т.к.

 tg(180-α)= - tg α.

                                                                                             α =   ,  α =   Ответ: 2.

Связь угла наклона касательной к положительному направлению оси ох со  знаком производной функции в точке  с абсциссой  хо   (Слайд 5)

  Если в  точке  с абсциссой  хо  к графику функции проведена касательная и угол наклона касательной к положительному направлению оси ох является острым, то производная функции в этой точке имеет положительное значение.( Переход  по гиперссылке на  Слайд 6,)

Если в  точке  с абсциссой  хо  к графику функции проведена касательная и угол наклона касательной к положительному направлению оси ох является  тупым,  то производная функции в этой точке имеет  отрицательное  значение. (Переход  по гиперссылке на  Слайд 7)

Если в  точке  с абсциссой  хо  к графику функции проведена касательная и угол наклона касательной к положительному направлению оси ох равен нулю, то производная функции в этой точке равна нулю. Касательная , проведенная к точке экстремума параллельна оси ох. (Переход  по гиперссылке на    Слайд 7)

Проведите на слайде касательные к каждому графику в указанных точках и соотнесите рисунок и текст в таблице.

Решите задачу. (Слайд 9).

На рисунке изображён график функции y = f (x),   определённой на интервале (1; 11) . По рисунку найдите корень уравнения   f′(x) = 0,  принадлежащий интервалу(2; 6)

Решение. Отметим интервал  (2; 6) на оси Ох.

На этом интервале только одна точка экстремума, х=3.Касательная, проведенная к этой точке параллельна оси Ох.  f′(x) = 0 в точке х=3. Ответ: 3.

Поведение производной функции в точках перегиба

Производная функции равна нулю в точке перегиба

Решите задачу.  (Слайд 10) На рисунке изображен график функции f(x) и  десять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции  f(x) положительна?

Решение.
        -точки перегиба и
                   точки экстремума, эти точки не рассматриваем.

Проведем касательные в остальных точках. Острым угол между касательной и положительным направлением оси Ох  будет в точках:  Ответ : 3.

Физический смысл производной

Решите задачу.(Слайд 11) Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой в течение 10 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки  М с течением времени. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте)

S′  (t) = v (t). Поэтому скорость точки равна нулю в точках экстремума функции S(t) или в точках , где касательная параллельна оси Ох. Ответ: 6.

Задачи второго типа. На рисунке изображен график производной функции.

Связь между знаком производной на промежутке и возрастанием (убыванием) функции. (Слайд 12)

Решите задачу. На рисунке изображён график – производной y = f ′(x) функции f(x),опредёленной на интервале(-2;5) . По рисунку найдите точку минимума функции .

План решения

1. Построить координатный луч;
2. Нанести на него точки, в которых производная меняет свой знак;
3. Записать над лучом знаки производной на промежутках;
4. Показать с помощью стрелок под лучом поведение функции на промежутках - возрастание или убывание функции.

По этому рисунку можно сделать выводы о точках экстремума, промежутках монотонности и т.д.

Ответ: 3.

Подведение итогов занятия

Продолжите предложение.

• Если в задании В8 дан график функции, то я могу...
• Если касательная к точке х0 наклонена под положительным углом к оси Ох, то...
• Если касательная к точке х0  параллельна оси Ох, то...
• Если в задании В8 дан график производной, то я построю координатный луч и...

Литература

• Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009.
•  Алгебра и начала анализа. 11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
• Диагностические работы МИОО 2012г.

МБОУ СОШ с. Донское Задонского  муниципального района Липецкой области

Факультативное занятие

 Физический и геометрический смысл производной.  Решение задачи В8.

(11 класс)

на конкурс

«Лучшая методическая разработка с использованием ИКТ-2012»

в номинации

« Внеклассное мероприятие с использованием ИКТ»

Разработала : учитель математики  Васильева Татьяна Алексеевна

С. Донское 2012г.