лекции по теме "Производная"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

Методическая разработка

на тему: «Производная и ее приложение»

по дисциплине «Математика»

План:

1. Введение.
2. Понятие производной.
3. Кинематический смысл производной.
4. Геометрический смысл производной.
5. Правило нахождения производной.
6. Правила и формулы дифференцирования.
7. Сложная функция и ее производная.
8. Разработка урока-викторины  «Применение формул дифференцирования к нахождению производной»
9. Вывод.

Список литературы.

Введение

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и  XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Понятие производной

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная  точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x -. Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции   в точке  и обозначают:

= x -     (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке  и значением функции в точке  и обозначают  :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента  ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

        .        

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке , и пишут:

    (3).

Число  называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция   дифференцируема в точке  .

Если функция  дифференцируема в каждой точке промежутка  (a; b),  то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).

Производная функции , дифференцируемой в промежутке  (a; b), сама является функцией  x.

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть  S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени и рассмотрим промежуток времени  от момента  до момента . За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим . Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение / есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие  промежутки , устремляя к нулю.

Предел  называется мгновенной скоростью точки в момент времени .

Производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. Производная имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т.д. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной (мгновенная скорость распада радиоактивных веществ, мгновенная мощность, коэффициент сжатия жидкости при данном давлении, угловая скорость в данный момент времени, сила тока, теплоемкость при данной температуре).

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение  есть средняя скорость изменения функции  относительно изменения аргумента х, а  - мгновенная скорость изменения функции  при некотором значении .

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVIIв. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции  в точке  х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке х, то есть .

                        y

                                                                         L                                  

                                                                                                        N

                                                                                                   K        

                                              M

                            0                                                                                                  x

                                                                    рис.1 

Пусть нам дана линия  и на ней точка (рис.1). Возьмем на этой же линии вторую точку, не совпадающую с М,  и .

Прямая MN - секущая для линии . Пусть точка  N стремится к точке M, оставаясь на линии . Тогда каждому положению точки N будет соответствовать своя секущая и все эти секущие будут проходить через точку M.

Касательной к линии  в точке M называется предельное положение MК секущей MN при стремлении точки N к точке М.

Пусть – некоторая функция, дифференцируемая в точке . В декартовой прямоугольной системе координат точка М (рис.2), лежащая на графике функции  и имеющая абсциссу , имеет координаты . Пусть точка N принадлежит графику функции и имеет координаты . Проведем через точку М прямую, параллельную оси OX, и обозначим точку пересечения этой прямой и прямой  через точку Р. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Отношение

равно тангенсу угла наклона секущей MN  к положительному направлению оси OX.

Если , то геометрически , а угол  к углу наклона касательной к положительному направлению оси OX .

                               y                                                                               L

                                                                                                         N   

                                                          K                                                      P

                                     0                                                                   x

                                                                       рис.2

 при .

  и

  (1),

то есть значений функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной.

Используя формулу (1), уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами , можно записать в виде , или , так как .

Правило нахождения производной

Чтобы вычислить производную функции  в точке  нужно:

1. найти разность .
2. найти отношение  .
3. найти предел этого отношения при :    

Производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

      Определим  производные следующих функций:

а) линейной функции

б) квадратичной функции

в) кубической функции

Решение:

а)          

     т.к.

1.  

2.

3. .

б)

т.к.

1.  

2.

3. .

в)

т.к.

1.

2.

3.

Правила и формулы дифференцирования

Правила и формулы дифференцирования следует обязательно знать, чтобы не повторять каждый раз все выкладки при нахождении данной функции. Ведь существует бесконечное множество функций и с их усложнением непосредственное дифференцирование становится все более трудоемким.

Поэтому целесообразно вывести формулы производных для основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратной тригонометрической функций).

Производная постоянной величины (константы)

Производная  переменной (аргумента)

Производная алгебраической суммы функций

Производная произведения функций

Производная частного функций

Формула дифференцирования степенной функции

Используя ранее полученные формулу дифференцирования для функций первой, второй и третьей степеней:

для аргумента в первой, во второй и в третьей степени мы можем получить следующее:

Применяя метод математической индукции, формула производной степенной функции будет выглядеть следующим образом:

Приняв  и ,  получаются следующие формулы:

          и          

Формула дифференцирования показательной функции

(Использовался известный предел )

В случае , применяя определение натурального логарифма, для числа е получаем формулу:

Формула дифференцирования тригонометрических функций

А) синуса

(применялась формула разности синусов и использовался первый замечательный предел: )

Б) косинуса

(применялась формула разности косинусов и использовался первый замечательный предел: )

В) тангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

Г) котангенса

,

По определению, . Воспользуемся формулой производной частного функций и основным тригонометрическим тождеством:

Для нахождения производных логарифмической и обратных тригонометрических функций понадобится теорема о производной обратной функции, так как данные функции являются обратными к показательной и тригонометрическим функциям соответственно.

Производная обратной функции

Теорема. Если функция  , и ее обратная функция имеют производные, то .

Опуская значение аргументов, получаем  или  .

Формула дифференцирования логарифмической функции

Функция , где  является обратной к функции .

Используя формулу производной обратной функции, будем иметь:

,

.

Итак, .     В частности, .

Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций

А) арксинуса

Функция , , является обратной к функции , .

По правилу дифференцирования обратной функции

.

Выразим  через :

.

Под корнем следует брать знак «+», потому что  на промежутке  положителен.

Таким образом,

Б) арккосинуса

Функция , , является обратной к функции , .

В) арктангенса

Функция , , является обратной к функции , .

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:

Г) арккотангенса

Функция , , является обратной к функции , .

Сложная функция и ее производная

Если переменная  зависит от переменной , а переменная ,  в свою очередь, зависит от переменной , то есть , то  называют сложной функцией. При этом  называют промежуточным аргументом, а  – окончательным аргументом (иногда  называют внутренней функцией, а  - внешней функцией).

Составление сложной функции из двух функций называют суперпозицией этих функций.

Формула дифференцирования сложной функции

 ,

то есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по окончательному.

Эту формулу применяют, если сложная функция образована одной суперпозицией (имеется лишь один промежуточный аргумент).

Пусть некоторая сложная функция имеет несколько промежуточных аргументов: u, v, w, …, z, то есть

Тогда производную функции по окончательному аргументу х находят по формуле:

.

Ранее введенные формулы дифференцирования элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических функций) в случае сложной функции будут иметь следующий вид:

Разработка урока-викторины

«Применение формул дифференцирования к нахождению производной»

Тема:              «Применение формул дифференцирования к нахождению производной».

Тип урока: повторно-обобщающий, применение и совершенствование знаний, умений и навыков.

Вид урока:      викторина.

Цель урока:   повторить и закрепить учебный материал, развивать умение логически мыслить, воспитывать взаимопомощь, коллективизм, положительный интерес к изучаемому материалу.

Оборудование: таблицы и плакаты, карточки с заданиями.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учащиеся распределены по группам. Все задания выполняются в тетрадях. Преподаватель контролирует работу групп. За каждый решенный пример группы получают по одному очку. Результаты заносятся в таблицу.

Команда, набравшая 19-20 баллов, считается победителем, и все учащиеся получают оценку «отлично». Учащиеся, набравшие 16-18 баллов, получают оценку «хорошо». Учащиеся, набравшие 13-15 баллов, получают оценку «удовлетворительно».

Девиз урока – слова Гете: «Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир».

На уроке предмета «Математика» мы затронем и ваши знания в области географии по странам мира. Мы будем применять полученные ранее формулы дифференцирования для нахождения производных. Параллельно мы будем проверять, а может даже, дополнять наши знания о странах мира.

Формулы дифференцирования

2. Викторина.

I. Вычислите производные следующих функций и определите страну по данной информации. Выберите правильный ответ из четырех вариантов.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и  XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и …

Фамилию второго математика вы узнаете, прочитав первые буквы правильных ответов /стран/.

Лейбниц.

Ответы:

По горизонтали: 1. Осло. 4. Константа. 7. Производная. 9. Аргумент. 10. Предел. 11. Суперпозиция. 12. Дели. 13.  Тангенс.

По вертикали:  2. Скорость. 3. Каир. 5. Австралия. 6. Расстояние. 8. Функция.

3. Подведение итогов, выставление оценок.

4. Домашнее задание: повторить формулы дифференцирования.

Вывод

Понятие производной – одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности.

Очень важно научиться применять правила и формулы дифференцирования для нахождения производных данных функций, так как с помощью производных в дальнейшем в курсе математики подробно исследуют функции (возрастание и убывание функции, экстремальные точки и т.д.)  и строят их графики.

Список литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов. Часть 1.

   Редактор Т.А.Панькова. Москва, издательство «Наука», 1981г.

2. Математика: учебное пособие для техникумов.

   Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Москва, «Высшая школа», 1991г.

3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов.

   Богомолов Н.В. Москва, «Высшая школа», 1990г.

4. Страны мира. Краткий политико-экономический справочник.

   Москва,  издательство политической литературы, 1991г.

5. Справочник по математике для средних учебных заведений

             А.Г.Цыпкин. Москва, «Наука», 1988г.