Магические квадраты
занимательные факты по алгебре на тему

Гоптарева Марина Сергеевна

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. 

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon magicheskie_kvadraty.doc237.5 КБ

Предварительный просмотр:

Магические квадраты.

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица n\times n, заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.

Магические квадраты существуют для всех порядков n\ge 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Изображение:MagicSquare-ExplicitSums.png

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

M (n)

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

1105

Исторически значимые магические квадраты.

Квадрат Ло Шу


Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин.

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упрощ. , пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

4

9

2

3

5

7

8

1

6

 Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых "дьявольских" квадратов.

 

 

Квадрат Альбрехта Дюрера


Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514)      

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

 

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона - младшего.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

67

1

43

13

37

61

31

73

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

Есть еще несколько подобных примеров:

17

89

71

113

59

5

47

29

101

1

823

821

809

811

797

19

29

313

31

23

37

89

83

211

79

641

631

619

709

617

53

43

739

97

227

103

107

193

557

719

727

607

139

757

281

223

653

499

197

109

113

563

479

173

761

587

157

367

379

521

383

241

467

257

263

269

167

601

599

349

359

353

647

389

331

317

311

409

307

293

449

503

523

233

337

547

397

421

17

401

271

431

433

229

491

373

487

461

251

443

463

137

439

457

283

509

199

73

541

347

191

181

569

577

571

163

593

661

101

643

239

691

701

127

131

179

613

277

151

659

673

677

683

71

67

61

47

59

743

733

41

827

3

7

5

13

11

787

769

773

419

149

751


Последний квадрат примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором   с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Тор — поверхность вращения в форме бублика, получаемая вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и её не пересекающей.

                                                     Тор

 Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

1

12

7

14

8

13

2

11

10

3

16

5

15

6

9

4

1

8

11

14

12

13

2

7

6

3

16

9

15

10

5

4

Однако было доказано, что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант — это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4k + 2 (k=1,2,3,\dots).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными.

Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1

15

24

8

17

9

18

2

11

25

12

21

10

19

3

20

4

13

22

6

23

7

16

5

14

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный. Пример идеального магического квадрата:

21

32

70

26

28

69

22

36

65

40

81

2

39

77

7

44

73

6

62

10

51

58

18

47

57

14

52

66

23

34

71

19

33

67

27

29

4

45

74

3

41

79

8

37

78

53

55

15

49

63

11

48

59

16

30

68

25

35

64

24

31

72

20

76

9

38

75

5

43

80

1

42

17

46

60

13

54

56

12

50

61

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8.Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9...и порядка n = 8^p, p=2,3,4... В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k , k = 2, 3, 4,... Идеальные магические квадраты легко строятся с использованием цепей Александрова.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Магический квадрат

Однажды в мои руки попала газета, в которой была напечатана популярная игра Судоку. И у меня появилось большое желание попробовать самой составить такой квадрат. Поначалу я долго мучалась в его ...

Дидактическая игра «Магический квадрат»

Дидактическая игра «Магический квадрат» проводится для учащихся 6-7 классов с целью обобщения и повторения изученного материала....

Bahnhof магический квадрат

"Путешествие по германии" 8 класс...

Berufe магический квадрат

"Выбор профессии" 9 класс...

Schulsystem магический квадрат

"Школьная сичтема в Германии" 8 класс...

Магические квадраты

В статье приведена информация о различных магических квадратах....

Магический квадрат

материал поможет ближе познакомиться с правила составления магических квадратов...