Свойства числовых функций
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Функцию y=f(x) называют возрастающей на множестве X D(f) , если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1

Слайд 3

Функцию y=f(x) называют убывающей на множестве X D(f) , если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 f(x 2 ). Другими словами, функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Слайд 4

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция , а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность . Если функция возрастает (или убывает) на своей области определения, то говорят, что функция возрастающая (убывающая) .

Слайд 5

Пример Исследовать на монотонность функцию y=5-2x Решение: f(x)=5-2x x 1 -2x 2 5-2x 1 >5-2x 2 То есть f(x 1 )>f(x 2 ) . Из неравенства x 1 f(x 2 ) , а это означает, что заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Слайд 6

Пример Исследовать на монотонность функцию y= Решение: f(x)= x 1

Слайд 7

Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве X D(f ) , если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа , то есть если существует число m такое, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство f(x)>m.

Слайд 8

Функцию y=f(x) называют ограниченной свер-ху на множестве X D(f ) , если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа , то есть если существует число М такое, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство f(x)< М .

Слайд 9

Если множество Х не указано, то подра-зумевается , что речь идет об ограниченности функции сверху или снизу на всей области ее определения. Если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной .

Слайд 10

Ограниченность функции легко читается по графику:

Слайд 11

Пример Исследовать на ограниченность функцию: y= Решение: По определению арифметического квадратного корня: Это значит, что функция ограничена снизу.

Слайд 12

С другой стороны 16- , а поэтому ≤4 Это означает, что функция ограничена сверху. Итак, функция ограничена и сверху и снизу; или другими словами: ограниченная функция.

Слайд 13

Число m называют наименьшим значением функции f(x) на множестве X D(f) , если: существует точка х 0 ϵ Х такая, что f(x 0 )=m; для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство f(x)≥f(x 0 ) Наименьшее значение функции обозначают символом y наим

Слайд 14

Число М называют наибольшим значением функции f(x) на множестве X D(f) , если: существует точка х 0 ϵ Х такая, что f(x 0 )= М ; для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство f(x)≤f(x 0 ) Наибольшее значение функции обозначают символом y наиб

Слайд 15

Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об поиске наименьшего или наибольшего значения функции на всей области ее определения.

Слайд 16

Утверждения: 1) Если у функции существует y наим , то она ограничена снизу. 2) Если у функции существует y наиб , то она ограничена сверху. 3) Если функция не ограничена снизу, то у нее не существует у наим . 4) Если функция не ограничена сверху, то у нее не существует у наиб .

Слайд 17

Функция выпукла вниз на промежутке X D(f ) , если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из Х отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка

Слайд 18

Функция выпукла вверх на промежутке X D(f ) , если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из Х отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка

Слайд 19

Если график функции f(x) на промежутке Х не имеет точек разрыва (то есть представляет собой сплошную линию), то это значит, что функция f(x) непрерывна на промежутке Х . Замечание: Обсуждая последние два свойст-ва , мы будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления. До- казательство этих свойств будет рассмотрено нами позже.

Слайд 20

Функци ю f(x) , x ϵ X называют четной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство: f(-x)=f(x) Функцию f(x) , x ϵ X называют нечетной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство: f(-x )= - f(x )

Слайд 21

В определениях идет речь о значениях функции в точках -х и х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х и в точке -х. Это значит, что точки х и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным множеством . Например: отрезок [-5, 5] ̶ симметричное множество, а отрезок [-4, 5] ̶ не симметричное множество (в него входит число 5, но не входит противоположное ему -5)

Слайд 22

Если функция у= f(x) , х ϵ Х четная или нечетная, то ее область определения Х – симметричное множество. Если же Х – несимметричное множество, то функция у= f(x) , х ϵ Х не может быть ни четной ни нечетной.

Слайд 23

Алгоритм исследования функции y=f(x) , х ϵ Х на четность. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной , ни нечетной . Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма. Составить выражение f(-x) . Сравнить f(-x) и f(x): а) если f(-x)=f(x) , то функция четная ; б) если f(-x )= - f(x ) , то функция нечетная ; в) если хотя бы в одной точке х ϵ Х выполняется соотношение f(-x)≠f(x) и хотя бы в одной точке х ϵ Х выполняется соотношение f(-x)≠-f(x) , то функция не является ни четной , ни нечетной.

Слайд 24

Пример Исследовать на четность функцию: y= Решение: D(f)=(-∞; 0) (0; +∞) – симметричное множество Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=f(x). Таким образом, y= - четная функция

Слайд 25

Пример Исследовать на четность функцию: y= Решение: D(f)=(-∞; 0) (0; +∞) – симметричное множество Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x)= - f(x). Таким образом, y= нечетная функция

Слайд 26

Пример Исследовать на четность функцию: y= . Решение: D(f)=(-∞; -3) (-3; 3) (3; +∞) – симметричное множество. Сравнив f(-x) и f(x) , замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество f(-x)=f(x) , ни тождество f(-x )= - f(x) . Например, x=4 , f( 4 )=0, f(-4)=- то есть f(-x)≠f(x), f(-x)≠-f(x) . Таким образом, функция не является ни четной ни нечетной .

Слайд 27

График четной функции симметричен относительно оси у. Если график функции y=f(x) , х ϵ Х симметричен относительно оси ординат, то y=f(x) , х ϵ Х – четная функция.

Слайд 28

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Если график функции y=f(x) , х ϵ Х симметричен относительно начала координат, то y=f(x) , х ϵ Х - нечетная функция

Слайд 29

Прочитать функци ю : Найти область определения функции D(f) Найти область значения функции E(f) Исследовать функцию на монотонность Исследовать функцию на ограниченность Найти наибольшее и наименьшее значение функции, если это возможно Исследовать функцию на четность