олимпиада ( школьный уровень)
олимпиадные задания по алгебре (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА  

2015-2016 учебный год

5 класс (время выполнения – 2 урока)

(макс – 35 баллов).

1.  (макс – 7 баллов). Найдите значение выражения:

2.  (макс – 7 баллов). Расшифруйте запись:

    к и с

+   к с и

    и к с

Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.

3. (макс – 7 баллов). У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы?

4. (макс – 7 баллов). Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры.

5. (макс – 7 баллов). Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили так:

1) Коля ни первое, ни четвертое;

2) Боря второе;

3) Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Школьный этап Всероссийской  олимпиады  школьников

МАТЕМАТИКА

2015-2016 учебный год  

6 класс (время выполнения – 2 урока)

(макс – 35 баллов).

1. (макс – 7 баллов). Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999.

2. (макс – 7 баллов). Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

3. (макс – 7 баллов). Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

4. (макс – 7 баллов). На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня - с одноклассником Наташи, Николай - с одноклассницей Владимира, а Владимир - с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится?

5. (макс – 7 баллов). Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды, когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

Школьный этап Всероссийской  олимпиады  школьников

МАТЕМАТИКА

2015-2016 учебный год  

7  класс (время выполнения – 2-3 урока)

(макс – 35 баллов).

1. (макс – 7 баллов). Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

рис.1

2. (макс – 7 баллов). У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?

3. (макс – 7 баллов). Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

4. (макс – 7 баллов). Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

5.  (макс – 7 баллов). Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили покупки?

Школьный этап Всероссийской  олимпиады  школьников

МАТЕМАТИКА

2015-2016 учебный год  

8  класс (время  проведения – 2-3 урока).

1. (макс - 7 баллов). Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ровно по одному разу, а также знаки арифметических  действий  и скобки, получите число 2012. (Из цифр можно составлять числа.)

2. (макс - 7 баллов). а+в+с=5,  ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ?

3. (макс - 7 баллов). Постройте график функции  у =

4. (макс - 7 баллов). В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

5. (макс - 7 баллов). Из вершины  В  треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы  треугольника АВС.

                    Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА  

2015-2016 учебный год

 9 класс (время выполнения – 3 -4 урока)

1. (макс – 7 баллов). Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути  делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько?

2. (макс – 7 баллов). Составьте уравнение параболы у = ах2 + вх + с, если она проходит через точку

     А(1; 3), а точка  В(0,5; 16) является её вершиной.

3.  (макс – 7 баллов). Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство:  

   х2 – 2х + 4у2 –  16у + 17 ≥ 0.

4.  (макс – 7 баллов). Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены  прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

5. (макс – 7 баллов). Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА  

2015-2016 учебный год

10 класс (время выполнения – 3-4 урока).

1. (макс – 7 баллов). Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

2. (макс – 7 баллов). Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

3. (макс – 7 баллов). Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5.

4. (макс – 7 баллов). Решите систему уравнений

5. (макс – 7 баллов). Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

МАТЕМАТИКА  

2015-2016 учебный год

11 класс (время выполнения – 3-4 урока)

1. (макс – 7 баллов).  В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекают  описанную окружность в точках K и L. Отрезки AK и BL  пересекаются в точке M и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник ABC  - равнобедренный.

2.  (макс – 7 баллов).  Дан график функции  (см. рис). Найдите a.

3.  (макс – 7 баллов).  Найдите два решения уравнения  , принадлежащих  

      промежутку (0; 2π).

4.  (макс – 7 баллов).  Найдите наименьшее натуральное число N такое, что N+1 делится нацело на 19, а  N -1  делится нацело на 96.

5.  (макс – 7 баллов).  Докажите, что в произведении P=1! ⚫ 2! ⚫ 3! ⚫ … ⚫ 27! ⚫ 28! можно вычеркнуть один из сомножителей так, чтобы произведение оставшихся было полным квадратом.