Открытый урок в 9 классе на тему "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Открытый урок в 9 классе на тему:

«Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Выполнила учитель  математики МБОУ Арзинской СОШ  Абросимова Е.А.

Цели -  систематизировать и обобщить изученный материал о прогрессиях;

научить применять формулу вычисления суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Задачи:

1. Обучающие: обучение применению формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии при решении задач, обобщение знаний по теме, проверка применять полученные знания на практике, ознакомление с историческими аспектами данной темы.
2. Развивающие: развитие кругозора и реализации принципов связи теории и практики, развитие познавательного и прикладного интереса, развитие логического мышления и вычислительной культуры.
3. Воспитательные: развитие интереса к предмету, воспитание чувства любви к  Родине, воспитание ответственного отношения и умения давать себе отчёт.

Оборудование: доска, экран, мультимедиапроектор, ноутбук.

Ход урока

l. Организационный момент (слайд 1-4).

«Здравствуйте! Садитесь».

Объявить тему урока.

II. Повторение ранее изученного материала (слайд 5-7).

Задание 1. Заполнить таблицу.

Задание 2.

1. Первый член геометрической прогрессии равен 5, знаменатель равен 3. Найти четвёртый член прогрессии.

А) 5;       В) 25;     С)  135.

2) Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии,                                                                                                             если   =10, а =40?

 А) 2;       В) 3;     С)  5.

III. Обзор исторического аспекта новой темы (слайд 8-10).

Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

—        Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета,  за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

—        Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое   пожелание,— продолжал   царь.— Назови   награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

• Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

• Повелитель,— сказал   Сета,— прикажи   выдать мне за первую  клетку шахматной доски  одно пшеничное   зерно.
• Простое   пшеничное   зерно? — изумился   царь.
• Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна,

за третью 4, за четвертую   — 8, за пятую—16, за шестую — 32...

• Довольно,— с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

—        Повелитель,— был ответ,— приказание твое исполняется. Придворные математики   исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

• Повелитель,— ответили ему,— математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить  подсчет.
• Почему медлят с этим делом?— гневно воскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь  приказал  ввести  его.

• Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявил Шерам,— я   желаю   услышать,   выдана   ли,   наконец, Сете   та  ничтожная  награда,   которую   он   себе   назначил.
• Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,— ответил старик. — Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета, Число это так велико...
• Как бы велико оно ни было,— надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...
• Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство  их  сплошь

будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С  изумлением  внимал царь словам старца.

• Назови же мне это чудовищное число,— сказал он в раздумье.
• Восемнадцать   квинтильонов  четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

IV. Объяснение нового материала (слайд 11-16).

Рассмотрим задачу:

 Найти сумму

S=1+3+     (⋅ 3)                           (1)

3S=3++                                  (2)

Перепишем равенства (1) и (2) так:

S=1+(3+                                    (3)

3S=(3++                               (4)

Вычтем из равенства (3) равенство (4)

3S – S =    - 1

2S =    - 1

S = = 364.

Ответ: 364.

Рассмотрим произвольную геометрическую прогрессию

    ,q≠1

Пусть - сумма n – первых членов геометрической прогрессии:

=

Теорема: Сумма n-первых членов геометрической прогрессии со знаменателем  q≠1 равна

Доказательство:

 + … +

 + … +)     (⋅ q)

 +

Выражения, стоящие в скобках, равны.

Вычтем из верхнего равенства нижнее.

Можно доказать,  что при q = 1 сумма n- первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:     .

Рассмотрим задачи на применение формулы нахождения суммы  n- первых членов геометрической прогрессии.

Задача 2: Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии

6, 2, ,… Чему равны  в этой задаче?

Решение:

По формуле  находим:  S= =.

Ответ: =6, q =  , S=.

Задача 3:В геометрической прогрессии со знаменателем q =  сумма первых шести членов равна 252. Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

Подставим в формулу  все известные значения:

252=

252 = 2(1 – )

252 =

=128.

Ответ: 128.

Задача 4:Сумма n- первых членов геометрической прогрессии равна

(- 93). Первый член геометрической прогрессии равен (-3), а знаменатель равен 2. Найти n.

Решение:

Подставим в формулу  все известные значения:

- 93=

-93 = 3(1 -)

-31 = 1 -

                                           n=5                                Ответ: 5.

 V. Закрепление пройденного материала  (слайд 17).

Страница 154:  № 420 (1; 3; 5)

1. ;

;

.

VI. Проверка знаний учащихся (слайд 18).

Найти сумму n членов геометрической прогрессии, если:

Вариант 1: ,  q= 2, n=6.                     Ответ: 189

Вариант 2: q= -2,   n=5.                  Ответ: - 99

Вариант 3: ,  q= 1, n=6.                    Ответ: 600

Вариант 4: ,  q= - 1, n=9.                     Ответ: 5

VII. Домашнее задание (слайд 19 – 20).

Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходило; даже скорее всего, что так. Но быль это или

не- быль, история достаточно занятна, чтобы её узнать. Итак, наша история начинается. Встретились как-то богач и бедняк.
Бедняк: Сделаем такой уговор. Я буду целый месяц  приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная, в первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Богач (удивленно). Одну копейку?.

Бедняк (уверенно). Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь две копейки.

Богач. Ну а дальше?

Бедняк. А дальше: за третью сотню тысяч  - четыре копейки, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Богач. И потом что?

Бедняк. Все больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч  рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Богач. Ладно. Неси деньги. Я – то свои уплачу  аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

Бедняк. Будь спокоен, завтра с утра жди.

Прошел день. Рано утром постучал богачу  в окошко тот самый бедняк, которого он повстречал.

Бедняк. Деньги готовь. Я свои принес. Вот мои деньги по уговору. Твой черед платить. Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси.

Наутро снова стук в окошко: бедняк деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел. Явился бедняк и на третий день – третья сотня тысяч перешла  к  богачу  за четыре копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за восемь копеек.

Перешла и пятая сотня тысяч  - за  шестнадцать копеек.

Вопрос: сколько заплатил бедняк и сколько отдал богач за тридцать дней?

Решение:

  n=30, q=2.

= =.

.

VIII. Итоги урока (слайд   21).

 Сегодня мы вывели формулу для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии, рассмотрели  задачи  на применение этой формулы, в которых рассматривались способы нахождения всех входящих в неё величин и проверили полученные знания на практике.

IX. Рефлексия (слайд 22).

 Учитель: У каждого из вас на столе карточки (розовая, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, прикрепите на доску одну из них.

Карточка розового цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, и получил заслуженную оценку, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”.

Карточка зеленого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, урок был в определённой степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.

Карточка желтого цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”.

Урок окончен. Досвидания.