Конспект урока по математике в 9 классе «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Конспект урока по математике
в 9 классе

      «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Панарина Ольга Ивановна, МАОУ – « СОШ № 17», город Альметьевск.

Математика

9 класс

Цели и задачи урока:

• Обобщить, расширить и углубить  знания по применению свойств арифметической и геометрической прогрессии к решению задач;
•  Продолжить работу по обучению учащихся умениям анализировать задание, устанавливать взаимосвязь между формулами и данными в задаче, обобщать сведения, делать выводы
• Развивать интерес у учащихся к предмету, их стремление глубже усвоить предмет и навыки индивидуальной, групповой и коллективной работы;
• Воспитывать чувства товарищества и взаимопомощи.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма  работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: дидактический материал, компьютер.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

Класс разбит на группы, каждая группа под руководством консультанта готовит:

 Теоретические вопросы:

• 1 группа:

• Определение последовательности;
• способы задания  последовательности;
• возрастающие и убывающие последовательности.

• 2 группа:

• Определение арифметической прогрессии;
• формулы n-го члена и суммы n первых членов                  
• арифметической прогрессии;
• характеристическое свойство арифметической прогрессии.

• 3 группа:  

• Определение геометрической прогрессии;
• формулы n –го члена геометрической прогрессии и суммы n первых членов геометрической прогрессии;
• характеристическое  свойство геометрической прогрессии.    

• 4 группа:

• Предел и его свойства (определение, основные
• свойства) и формула суммы бесконечной геометрической прогрессии).

Задания демонстрируют на экране через проектор

3.Индивидуальная работа учащихся по карточкам на местах.

1.Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии,  

   если сумма третьего и  шестого членов равна 8,5, а разность  

   четвертого и второго равна 1.

2.Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической  

   прогрессии, если сумма седьмого и пятого равна 10, а сумма шестого

   и четвертого равна 9.

3.В геометрической прогрессии b5∙b20=13.Найдите b3∙ b22.

4.Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой:

b2 = 4, b4 = 36, q > 0.

5.Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если   а6 = 12,а16 = 100.

Разобрать домашнее задание.( учащиеся работают у доски решают задачи и показывают презентации).

1 группа.

Дано: арифметическая прогрессия

а1  + а5 = 24,а2 . а 3 = 60.

Найти: S6 .

Решение:

а1 + а5 = 24,         а1 + а 1 + 4d = 24,

а2 . а3  = 60;                (а1 + d) ( а1 + 2d) = 60;

2а1 + 4d = 24,                     2а1 = 24 – 4d,

(а1 + d) ( а1 + 2d) = 60;     (а1+d) (а1 + 2d) = 60;

а1 = 12 – 2d,

(12-2d+d)(12- 2d + 2d) = 60.

(12 – d) 12 = 60;

12 – d = 5;

d = 7;

а1 = 12 – 2. 7 = 12 – 14 = - 2.

S6 =( 2а1 +d (n-1)n): 2=( 2(-2)+7(6-1)). 6 = 93.

Ответ: 93.      

2 группа.

Дано: геометрическая прогрессия

b1+b3 = 15; b2 + b3 = 30.

Найти: S10.

Решение:

bn = b1. qn – 1  ;       Sn = b1.(qn – 1):(q – 1);

b1 +b3 = 15,       b1 + b1. q2 = 15,             b1(1 + q)2 = 15,

b2 + b4 = 30;      b1 . q + b1 . q3 = 30;       b1.q(1+q2) = 30;

b1 = 15:1 + q2,

15:1 + q2 . (1 + q2) . q = 30;

15:1+q2 . (1+ q2). q = 30;15 . q = 30

q = 2.

b1 = 15: (1+22) = 3.

S10 = 3 . (210 – 1):2 – 1= 3. 1023 = 3069.

Ответ:3069.

3 группа.

Дано: геометрическая прогрессия

b4= 24,b9= 768.

Найти:b5.

Решение:

Дано:                       Решение:

b4=24                        b4=b1×q3                           b1×q3=24

b9=768                      b9=b1=q8                           b1×q8=768

Найти:                          

b5=?                          b1=24:q3                            24×q5=768

                                  24:q3×q8=768                    q5=768:24

                                                                              q5=32

                b1=24:23=24:8=3                                q=2

                b5=b1×q43×24=3×16=48

Ответ: b5=48.

4 группа.

Дано: арифметическая прогрессия

а3 = -23, а4 = - 41;

Найти: а2.

Решение:

d = -41-(-23) = -18;

а3 = а1+2d;

-23 = а1+ 36;

а1= 13.

а2 = а1+d = 13-18 = -5.

Ответ: - 5.

4. ПрактикумИзвестна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Задача очень непроста:

Как сделать очень быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи

Найдешь к решению ключи!

1+100=?        

2+99=?

3+98=?

4 +97 = ?

5 +96 =?

2. Журнал состоит из 16 вложенных друг в друга двойных листов. На каком двойном листе сумма чисел, обозначающих номера страниц, будет наибольшей?

3.Первые три числа возрастающей арифметической прогрессии (аn) при некотором значении n могут быть представлены  соответственно выражениями n +1,4n – 9,2n + 1. На сколько сумма 43 первых членов этой прогрессии  больше, чем сумма 40 первых членов этой прогрессии?

4. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение а2 и а9 равна 147.Найдите прогрессию.

5. Докажите что числа вида √n,√n+1,√n+2, где n € N , не образуют арифметическую прогрессию.

5.  Задача из ЕГЭ

Благодаря выпуску новых поездов министерство путей сообщения планирует ежемесячно перевозить на 100 пассажиров больше, чем в предыдущем месяце по одному из маршрутов. За сколько месяцев, по этому маршруту проедут 12600 пассажиров, если в первом месяце их было 500?

Решение:

Пусть аn – количество пассажиров, которых министерство путей сообщения планирует перевозить в n-ом месяце. Тогда а1= 500, аn= 500+100(n-1) и {an} – арифметическая прогрессия.

n2+9n-252=0;

n=-21,n=12.

Ответ:12 месяцев.

Дополнительное задание: Решите уравнение

(x2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500

6. Сообщение из истории о прогрессиях.

7. Подведение итогов.

 Отметить творческие работы учащихся.

8. Домашнее задание.

   Литература Учебник Алгебра 9 класс ,Мордкович А.Г.