самостоятельные работы
материал по алгебре (9 класс) на тему

Оценка устных ответов учащихся.

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• Полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и  учебником;
• Изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
• Правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
• Показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
• Продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
• Отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна- две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• В изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;
• Допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;
• Допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• Неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиям к математической подготовке учащихся»);
• Имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
• Ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
• При знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• Не раскрыто основное содержание учебного материала;
• Обнаружено не6знание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;
• Допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Отметка «1» ставится, если:

• Ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала или не смог ответить ни на один из поставленных вопросов по изучаемому материалу.

Оценка письменных контрольных работ учащихся.

Отметка «5» ставится, если:

• Работа выполнена полностью;
• В логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• В решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• Работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• Допущена одна ошибка или два – три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• Допущены более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• Допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

• Работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Сведения из истории.

О происхождении единиц измерения углов.

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до нашей эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов»,и, значит, один «шаг» равен . Развернутого угла. В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления, т.е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа 60,  а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно поэтому,  что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей.

        Вавилонская система измерений углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют латинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется ввиду следующее: деление градуса на 60 частей, т.е. минуты, - это первое деление; деление минуты на 60 секунд – второе деление градуса. Малоупотребительное название  секунды – терцина, латинское tercina  означает «третье» (деление градуса).

        Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге. Но еще К. Птолемей (II в.н.э.) количество градусов обозначал кружком, число минут – штрихом, а секунд- двумя штрихами.

        Другая единица измерения углов- радиан- введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащие термин «радиан», появилось в 1873 г. В Англии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется ввиду именно радианная мера (например, .- угол в радиан), но вскоре индекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить определение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла предоставляется совершенно естественным.

Самостоятельная работа.

Уровень А ( на отметку «3»)

Вариант 1.

1. Выразите в радианной мере величины углов 75˚и 168˚
2. Выразите в градусной мере величины углов и

Вариант 2.

1.  Выразите в радианной мере величины углов 64˚ и 160˚

2.  Выразите в градусной мере величины углов  и .

Уровень В (на отметку «4»)

Вариант 1.

1. Выразите в радианной мере величины углов 72˚и 140˚
2. Выразите в градусной мере величины углов  и .

Вариант2.

1. Выразите в радианной мере величины углов 42˚ и 130˚
2. Выразите в градусной мере величины углов  и

Уровень С (на отметку «5»)

Вариант1.

1. Выразите в радианной мере величины углов 66 ˚и 156˚
2. Выразите в градусной мере величины углов  и 9

Вариант2.

1. Выразите в радианной мере величины углов 48˚и 188˚
2. Выразите в градусной мере величины углов и 2

Сведения из истории.

        Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: - треугольник, – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже в две тысячи лет назад.

        Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония, Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в.н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.

        В последующий период математика долгое время наиболее активно  развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV – V вв.появился, в частности, уже специальный термин I в трудах по астрономии великого индийского ученого Арии- абхаты (476- ок.550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ард- хаджива ( ардха- половина, джива- тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее  привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб(выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в.это слово было заменено латинским синус( Sinus- изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус- это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos  = sin (90˚- )).

Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный математик Ф. Клейн (1849- 1925) предлагал учение о «тригонометрических» функциях назвать иначе- гониометрией (латинское слово gonio означает «угол»). Однако это название не привелось.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком абу- л Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравер- Дином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583г. Tangens переводится как «касающийся» (вспомните: линия тангенсов- это касательная к единичной окружности).

Самостоятельная работа.

Уровень А (на отметку «3»)

Вариант 1.

1.Упростите : sin

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены.

2. Дано:  Найдите

Вариант 2.

1.Упростите:

Указание .Сгруппируйте первые два члена.

1.Дано:  Найдите cos

Уровень В (на отметку «4»)

Вариант 1.

1.Упростите:

2. Дано:  Найдите

Вариант 2.

1.Упростите:

2.Дано:  Найдите .

Уровень С (на отметку «5»)

Вариант 1.

1.Упростите:

2.Дано:  Найдите

Вариант 2.

1.Упростите:  

2. Дано:  Найдите ,

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1*.Докажите тождество

2*Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

а) ;

б) ;

3.Упростите

4.Вычислите если

Вариант 2.

1*.Докажите тождество

2*. Найдите значения других трех основных  тригонометрических функций, если:

а)

б)

3.Упростите

4.Вычислите ,если

Указание

Ученик, выполнивший правильно 1* и 2* задания,  получает отметку «3»;

ученик, выполнивший правильно 1* ; 2* ; 3 задания получает отметку «4»;

ученик, выполнивший правильно 1* ; 2* ; 3 ; 4 задания, получает отметку «5».

Самостоятельная работа.

Работа проходит по вариантам или по карточкам.

Вариант 1.

1. Упростите:

а) sin 56˚ cos11˚- cos56˚ sin11˚;

б) tg;

в) tg295˚ tg385˚

2. Выполните № 21(б); №22(а).

Вариант 2

1. Упростите:

а) sin73˚ cos13˚ – cos73˚ sin 13˚

б) ;

в) ctg 372˚ ctg 582˚

2. Выполните №21(г); №22 (в)

Ученикам проявляющим интерес к изучению математики, можно положить карточки с более сложными заданиями.

Дополнительно:

1.Найдите ,если

2.Покажите, что ˚ , если  и

Указание.=90˚ в том случае, когда sin(

2. Докажите тождества:

а) tg

б)

Указание. В числителе формула sin(x-y).

В помощь ученикам, испытывающим затруднения при выполнении самостоятельной работы, предлагается карточка- инструкция.

К варианту 1.

Карточка №1 к заданию 1 (б).

1. Упростите

1) рассмотрим выражение . Так как угол находится в IV четверти, то тангенс этого угла отрицателен. Так как в формуле приведения, которую мы рассматриваем, значение аргумента получается прибавлением к величины, функция меняется на кофункцию, т.е. тангенс на котангенс. В результате имеем

3.Получили

 Вспомните получившуюся формулу. Если вы её забыли, обратитесь к основным тригонометрическим тождествам.

Решите самостоятельно:2. Упростите

К варианту 1, 2

Карточка № 2 к заданию 1 (в).

1. Вычислите tg 378˚ tg 288˚

1) Рассмотрим tg378˚.Угол 378˚ можно записать в виде суммы(360˚+18˚)=(180˚∙2+18˚), где 180˚∙2 является удвоенным периодом данной функции и это слагаемое можно отбрасывать.

Тогда tg378˚= tg(180˚∙2+18˚)= tg 18˚

2) Рассмотрим tg 288˚. Угол 288˚ можно записать в виде суммы (270˚+18˚). Этот угол находится в IV Четверти, где  тангенс отрицателен. В полученной формуле приведения значение аргумента получается прибавлением к 18˚ величины в 270˚, значит, функция меняется на кофункцию, т.е. тангенс на котангенс. В результате имеем tg(270˚+18˚)= -  ctg 18˚.

3) Получили tg378˚ tg288˚= tg 18˚(-ctg18˚)= - tg 18˚ ctg 18˚ = -1(по формуле tg а ctg а=1)

Решите самостоятельно:2. Вычислите tg 295˚ tg 385˚ (Вариант I); ctg 372˚ ctg285˚ (Вариант 2).

К варианту 2

Карточка 1 к заданию I (б)

1. Упростите cos (.

1)Рассмотрим выражение  Значение аргумента отоличается от того, которое имеется в формуле приведения, где дается аргумент Чтобы получить нужное значение аргумента, надо  умножить его на (-1). Так как косинус- четная функция, то при умножении его аргумента на (-1) знак функции не изменится, т.е.

Полученный угол(находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны. Так как в формуле приведения в нашем случае в значение аргумента входит число , то функция меняется на конфункцию, т.е. косинус на синус. Имеем .

2) Рассмотрим выражение :2р – период синуса,т.е. от прибавления к аргументу а числа 2k, где k- любое целое число, значение синуса не изменится. Имеем sin.

3) Получили .

Выполните самостоятельно:2. Упростите

Сведения из истории.

        Имея дело с готовыми таблицами или пользуясь калькулятором,  мы часто  не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их , потребовалось не только выполнить большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно.

        Современный вид тригонометрии  придумал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер(1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом  Петербургской академии  наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он  оставил свыше 800 работ, доказал многие, ставшие классическими, теоремы, относящиеся к самым разным областях  математики. (Несмотря  на то, что в 1776 г.Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т.е. так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации  тригонометрии. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Сведения из истории.

        Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т.е. факты, которые мы сейчас формируем в терминах тригонометрических функций, формулировалась и доказывалась с помощью  тригонометрических  понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес( например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.). астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических  треугольников, составленных из больших углов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными( почитайте книги о сферической геометрии), нежели задачи на решение плоских треугольников, которыми вы занимались в IX классе.

        Во всяком случае, в геометрической форме многие известные вам формулы  тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками. ( Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появились в 1634г.)

Выполнение контрольной работы.

Вариант 1.

1˚ Вычислите без таблиц и калькулятора:

а)sin 240;

б)cos ;

в)ctg

2˚. Дано:и .

Найдите:

а)cos ;

б).

3.Докажите тождество .

4. Чему равно произведение ?

5.Дополнительное задание.

При каких значениях t выражение sin t равно 1?

Вариант 2

1˚. Вычислите без таблиц и калькулятора:

а)cos 240˚;

б)sin ;

в).

2˚. Дано:  и Найдите: а) ; б)

3.Докажите тождество

4. Чему равно произведение ?

5.Дополнительное задание.

При каких значениях t выражение cos t равно 1?