Тригонометрические уравнения
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

Тригонометрические уравнения

В ходе изучения алгебры и начала анализа в 10-м классе учащиеся должны научиться решать тригонометрические уравнения.

Начинаем изучение с решения простейших тригонометрических уравнений ,

,  причем надо учитывать, что формула корней уравнения проще, чем формула корней уравнения и обратить на это внимание.

Необходимо изучать частные случаи , , , , ,  и в дальнейшем следить за тем, чтоб дети помнили об этих случаях и не применяли эти формулы в общем виде.

Уравнение вида является одним из центральных в тригонометрии. К нему сводятся многие математические задачи, а также задачи механики, физики и других наук.

Начинаем его изучение со случая

Это уравнение называется однородным уравнением первой степени относительно

и . Рассмотренное уравнение имеет бесконечное множество решений, которое можно записать в виде серии

За тем рассматриваем

Необходимо показать детям метод сведения к однородному уравнению второй степени

Применяя формулы двойного угла и тригонометрической еденицы перепишем данное уравнение:  

Это однородное уравнение второй степени относительно и . Возможно два случая которые удобно представить в виде таблицы.

Cильным учащимся можно показать метод введения вспомогательного угла.

Вынося за скобки , запишем

Исходя из того , что

То одно из чисел  или является синусом, другое косинусом некоторого вспомогательного угла. Например

, *

Тогда , где , - любой угол , удовлетворяющий соотношению *.

Если , то  может принимать бесконечное множество значений, однако на любом интервале длины 2он определен вполне однозначно.

Следующим методом, который можно показать учащимся является метод экстремальных значений, при котором используется ограниченность функций и . Например, решаем уравнение , т.к.  и , то , получаем совокупность

Решая первую систему имеем , откуда , решений нет.

Из первого уравнения второй системы имеем , отсюда  Следовательно обоим уравнениям системы удовлетворяют те значения , при которых , т.е. , .

При решении тригонометрических уравнений важным являются вопросы приобретения посторонних корней и потери решений. Применение большинства формул тригонометрии приводит к изменению ОДЗ выражений, поэтому решение тригонометрических уравнений необходимо сопровождать анализом ОДЗ, не допуская потери решений. Приведем пример.

Решить уравнение:

Введем замену

Обязательно проверяем, не являются ли значения ,  корнями исходного уравнения, т.к. при этих значениях  не существует и, используя  мы сужаем ОДЗ уравнения. Подставляя эти значения в уравнение, понимаем, что они являются решением уравнения иих нужно записать в ответ. Применяя подстановку получаем

Откуда следует

,

Ответ:                                                ,

,

Пример №2. решить уравнение

Перейдем в левой части к тангенсу

Это уравнение не имеет корней. Но потеряны корни; ,

Ответ: ,.

Отбор корней в тригонометрическом уравнении может быть вызван

1. необходимостью выявления посторонних корней в случае, когда при решении происходит расширение области определения уравнения или
2. требованием найти значение неизвестного, удовлетворяющие заданным условиям.

В первом случае можно выделить два приема отбора корней геометрический и алгебраический.

Теоретической основой, для осуществления подобного отбора является тот факт, что

Множества решений простейших тригонометрических уравнений определяемых общими формулами, образуются по закону арифметической  прогрессии.

Так формула

Представляет множество чисел, является членами двух арифметических прогрессий  с начальными членами и  и одной и той же разностью 2.

Схема отбора корней при геометрическом способе такова. На тригонометрической окружности изображаются корни уравнения и исключаются его «запретные» корни, за тем ищется наименьший общий период, а затем  оставшиеся значения неизвестного переодически продолжаются.

 При алгебраическом способе найденные серии решений и «запретных» значений представляются в виде арифметических прогрессий с одной и той же разностью Т, равной наименьшему общему периоду функций

Арифметический способ отбора корней состоит в вычислении неизвестного при переборе значений параметров из найденных серий решений с последующей их проверкой по дополнительным данным.

Геометрический способ основан на использовании двух модулей: тригонометрической окружности и числовой прямой.

Алгебраический способ предполагает составление соответствующих дополнительным условиям неравенств и их решение относительно параметра.

Школьников следует знакомить со всеми приемами отбора корней,  с тем что бы оказавшись в ситуации выбора, они могли использовать наиболее рациональный прием.

Отбор корней уравнения необходимо проводить в следующей последовательности:

Один из вариантов

• определить период функций, входящих в уравнение;
• определить область допустимых значений неизвестной, входящей в уравнение;
• не обращая внимание на расширение области определения неизвестной, входящей в уравнение, определить решение уравнения, которое, за редким  исключением записано в виде двух или большего числа неравенств;
• установить повторяются ли корни уравнения в полученном решении;
• установить могут ли найденные корни уравнения быть посторонними корнями;
• в случае положительного ответа применить геометрический способ отбора корней, изобразив на тригонометрической окружности корни уравнения и исключив те из них, которые не входят в область определения уравнения.

Предложенный способ отбора корней тригонометрических уравнений позволяет:

• сравнительно легко установить сам факт существования общих корней в решении уравнения ив случае необходимости определить оптимальное число формул в записи общего решения уравнения;
• при решении уравнения расширенной области определения сравнительно легко установить факт присутствия посторонних корней;
• в случае отрицательного ответа не производить дальнейшего отбора корней уравнения;
• в случае положительного ответа значительно упростить дальнейший отбор корней уравнения геометрическим способом ввиду сокращения числа сравниваемых формул.

Предложенный способ отбора корней тригонометрических уравнений значительно сокращает время, необходимое для решения уравнения, т.к. позволяет избежать громоздких вычислений производимых при алгебраическом и арифметическом способе отбора корней.

Обязательно надо ознакомить детей с  тригонометрическими уравнениями с параметрами.

Здесь обязательно надо помнить, что

1. областью изменения функций и  Является отрезок[-1;1]
2. областью определения функции  является множество

,  

Пример

Для всех значений параметра  решаем уравнение

Решение

1. Если то уравнение имеет вид

здесь нет решений

2. Если то уравнение имеет вид

Это уравнение имеет решение, если удовлетворяет системе неравенств

Решение уравнения:

При остальных значениях  уравнение не имеет решения.

Ответ:          то

                       то