Правило

Примеры

(3m+4x)y, при m=3, x=,y=

1. Подставить вместо всех переменных их значения

2. Выполнить действия

Правило

Примеры

3х–7х+9х–15х

9х–4y+9+5x–3+3y–2x

1. Подчеркнуть одинаковыми черточками слагаемые с одинаковой буквенной частью.

3х–7х+9х–15х=

9х–4y+9+5x–3+3y–2x=

2. Сложить коэффициенты (вместе со знаками) одинаково подчеркнутых слагаемых.

=(3+(–7)+9+(–15))х=

=(3–7+9–15)х=

=(9+5+(–2))x+((–4)+3)y+(9+(–3))=

=(9+5–2)x+(–4+3)y+(9–3)=

3. Полученный в п.2 коэффициент умножить на общую буквенную часть.

= –10х

=12x+(–1)y+6=12x–y+6

Правило

Примеры

1а)Если перед скобкой стоит + или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.

(a–b+c)= a–b+c

+(x+y–z)= x+y–z

+(–a+c–1)= –a+c–1

1б)Если перед скобкой стоит –, то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные (то есть + на –, а – на +)

–(a–x+c)= –a+x–c

–(1–x+a)= –1+x–a

2. Если нужно привести подобные слагаемые.

Правило

Примеры

ab=ba

(ab)c=a(bc)

–3,2a.5,6b=(–3,2.5,6)ab= –17,92ab

a(b+c)=ab+ac

1,3(4–3b)=1,3.4–1,3.3b=5,2–3,9b

–4(3a–7b)= –4.3a–(–4).7b= –12a+28b

Правило

Примеры

b–(4–2b)+(3b–1)

3(6–5x)+17x–10

12n+9–6(3n+1)

1. Раскрыть скобки

=b–4+2b+3b–1=

=3.6–3.5x+17x–10=

=18–15x+17x–10=

=12n+9–6.3n+(–1).n=

=12n+9–18n–6=

2. Привести подобные слагаемые.

=(1+2+3)b+(–4–1)=

=6b–5

(18–10)+(–15+17)x=

=8+2x

=(12–18)n+(9–6)=

= –4n+4

Правило

Примеры

–5х–150=0

15(х+2)–19=12х

6(1+5х)=5(1+6х)

1. Если нужно, раскрыть скобки.

––––––––––––

15(х+2)–19=12х

15х+15.2–19=12х

15х+30–19=12х

6(1+5х)=5(1+6х)

6.1+6.5х=5.1+5.6х

6+30х=5+30х

2. Перенести слагаемые с переменной в левую, а без переменной в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные

(+ на – , а – на +)

–5х–150=0

–5х=150

15х+30–19=12х

15х–12х= –30+19

6+30х=5+30х

30х–30х=5–6

3. Привести в обеих частях уравнения подобные слагаемые.

Получится уравнение вида ax=b

––––––––––––

(15–12)х=–30+19

3х= –21

(30–30)х=5–6

0х= –1

4. Если а≠0, то  (x=b:a)

Если a=0, b≠0, то уравнение не имеет корней

Если a=0, b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней, т.е. х может принимать любые значения

а= –5≠0⇒

x=150:(–5)

x= –30

Ответ: х= –30

а=3≠0⇒

x= –21:3

x= –7

Ответ: х= –7

а=0⇒

решений нет

Ответ: решений нет

Правило

Примеры

y=3x–5

x

4

y

–2

1. Дан х. Найти y.

а) Подставить вместо х его значение

x=4

y=3.4–5=

б) Выполнить действия

=12–5=7

2. Дан y. Найти х.

а) Подставить вместо y его значение

y= –2

–2=3x–5

б) Решить получившееся уравнение

–2=3x–5

–3x= –5+2

–3x= –3

x= –3:(–3)

x=1

x

4

1

y

7

–2

Правило

Примеры

Функции заданы формулами.

1. Приравнять правые части данных формул

y=3x–5              y=4x+3

3x–5=4x+3

2. Решить получившееся уравнение.

Получим х–координату точки пересечения

3x–4x=3+5

–x=8

x= –8

3. Подставить в одну из формул вместо х найденное в п.2 решение

y=3.(–8)–5=

4. Вычислить y

= –24–5= –29

5. Записать ответ в виде (х;y)

(–8;–29)

Правило

Примеры

1. Раскрыть скобки
2. Привести подобные слагаемые, т.е. привести к стандартному виду.

Правило

Примеры

1. Умножить каждый член многочлена, записанного в скобках на одночлен, стоящий перед скобкой
2. Сложить полученные произведения
3. Получившийся многочлен привести к стандартному виду

Правило

Примеры

1. Раскрыть скобки
2. Привести подобные слагаемые

Правило

Примеры

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) всех дробей, входящих в уравнение

НОЗ знаменателей

5 и 3: 15

НОЗ знаменателей

7 и 1: 7

 НОЗ знаменателей

4, 12 и 1: 12

2. Умножить каждую дробь уравнения на НОЗ

3. Если нужно, сократить дроби

4–3х= –14

4. Решить получившееся уравнение

9х+15= 5х+5

9х–5х= –15+5

4х= –10

х= –2,5

4–3х= –14

–3х= –4–14

–3х= –18

х= –18:(–3)

х=6

18y+21–7+5y=60

18y+5y= –21+7+60

23y=46

y= 46:23

y=2

5. Записать ответ

Ответ: х= –2,5

Ответ: х=6

Ответ: y=2

Правило

Примеры

4x2–12x+8a2x3

3(b–2c)+x(b–2c)

5(x–y)+a(y–x)

1. Представить каждое слагаемое в виде произведения

4x2–12x+8a2x3 =

= 4xx–4.3x+4.2aaxxx=

3(b–2c)+x(b–2c)=

5(x–y)+a(y–x)=

=5(x–y)–a(x–y)=

2. Подчеркнуть в каждом слагаемом одинаковые множители

= 4xx–4.3x+4.2aaxxx=

=3(b–2c)+x(b–2c)=

=5(x–y)–a(x–y)=

3.Записать подчеркнутый одинаковый множитель за скобками

4. В скобках записать слагаемые без подчеркнутого множителя

= 4x(x–3+2aaxx)=

= 4x(x–3+2a2x2)

=(b–2c)(3+x)

=(x–y)(5–a)

Правило

Примеры

1. Умножить каждое слагаемое из 1–й скобки на каждое слагаемое из 2–й скобки
2. Полученные произведения сложить
3. Привести получившийся многочлен к стандартному виду

(2x–y)(4x+3y)=

=2x.4x+2x.3y+(–y).4x+(–y).3y=

=8x2+6xy –4xy–3y2=8x2+(6–4)xy–3y2=

=8x2+2xy–3y2

(2a–3)(5–a)=

=2a.5–2a.a+(–3).5–(–3).a=

=10a–2a2–15+3a=(10+3)a–2a2–15=

= –2a2+13a–15

Правило

Примеры

(I ± II)2 = I2 ±2. I . II + II2

(I ± II)2

I

II

I2 ±2. I . II + II2

(3x+4)2

3x

4

(3x)2+2.3x.4+42

(3x–4)2

3x

4

(3x)2–2.3x.4+42

Краткая запись

(3x+4)2=(3x)2+2.3x.4+42=9x2+24x+16

(3x–4)2=(3x)2–2.3x.4+42=9x2–24x+16

I2 ±2. I . II + II2 = (I ± II)2 

25x2+10xy+y2 = ?

1. I2 = 25x2 ⇒ I =5x

II2 =y2 ⇒ II = y

2. Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy

10xy=10xy – верно

⇒ можно воспользоваться формулой

25x2+10xy+y2 = (5x+y)2

9x2+12x+16 = ?

1. I2 = 9x2 ⇒ I =3x

II2 =16 ⇒ II = 4

2. Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x

24x=12x – неверно

⇒  воспользоваться формулой нельзя

25x2–10xy+y2 = ?

3. I2 = 25x2 ⇒ I =5x

II2 =y2 ⇒ II = y

4. Проверяем, верно ли, что 2.(5x).y=10xy

10xy=10xy – верно

⇒ можно воспользоваться формулой

25x2–10xy+y2 = (5x–y)2

9x2–12x+16 = ?

3. I2 = 9x2 ⇒ I =3x

II2 =16 ⇒ II = 4

4. Проверяем, верно ли, что 2.(3x).4=12x

24x=12x – неверно

⇒  воспользоваться формулой нельзя

Правило

Примеры

1. Разложить числитель и знаменатель на множители: вынести общий множитель за скобки; применить способ группировки слагаемых; применить формулы сокращенного умножения; использовать свойства степеней; другой способ.

ab–bc=b(a–c)

a2–2ac+c2=(a–c)2

2x+bx–2y–by=

=(2x–2y)+(bx–by)=

=2(x–y)+b(x–y)=

=(x–y)(2+b)

7x–7y=7(x–y)

2. Зачеркнуть в числителе и знаменателе одинаковые множители в одинаковых степенях.

3. Записать в качестве ответа в числителе и знаменателе не зачеркнутые множители.

Задания: Сократите дробь:

1)  2) 3) 4) 5)  6)

1)  2)  3) 4) 5) 6)

1)  2) 3) 4) 5) 6)

Правило

Примеры

где P(x), R(x), Q(x) –многочлены и Q(x)≠ 0

Задания: Выполните действия:

1)2) 3)4)

1)2)3) 4)  

1)2)3)4)

Правило

Примеры

 и 

 и

1. Разложить на множители знаменатели дробей: вынести общий множитель за скобку; разложить способом группировки слагаемых; разложить на множители квадратный трехчлен; другой способ.

;    

2. Вычеркнуть в знаменателях дробей по одному разу те множители, которые есть в разложении на множители в знаменателе другой дроби.

;              

3. Записать произведение всех невычеркнутых множителей.

наименьший общий знаменатель:

 =

наименьший общий знаменатель:

Задания: Найти наименьший общий знаменатель дробей:

1) и 2)  и  3) и 4) и 5) и

1)  и  2) и 3)  и 4) и

5)  и

1)  и 2) и 3)  и  4) и

5) и

Правило

Примеры

 и 

 и

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Для каждой из дробей рассмотреть следующую дробь:  

3. Сократить эту дробь. Получившееся выражение – дополнительный множитель.

 – дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

Задания: Найти дополнительные множители к дробям:

1) и 2) и3) и 4)и 5) и

1)  и  2) и 3)  и 4) и

5)  и

1)  и 2) и 3)  и  4) и

5) и

Правило

Примеры

 и 

 и

1. Найти наименьший общий знаменатель данных дробей.

2. Найти дополнительные множители к каждой из дроби.

 – дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

– дополнительный множитель к

3. Умножить числитель  каждой из дробей на дополнительный множитель, а в качестве знаменателя записать их наименьший общий  знаменатель.

4. Записать ответ.

 и

 и

Задания: Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю:

1) и 2)  и  3) и 4) и 5) и

1)  и  2) и 3)  и 4) и

5)  и

1)  и 2) и 3)  и  4) и

5) и

Правило

Примеры

+

–

1. Привести дроби к их наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий

Дополнительные

 –к  дроби

– к дроби

⇒ =+

знаменатель:

множители:

– к дроби

– к дроби

⇒ =–

2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей.

3. Если нужно, преобразовать получившуюся дробь и записать ответ.

_______________

Краткая запись решения

Задания: Представьте в виде дроби:

1)2) 3) 4) 5)

1)2)3)4)5) 

1)2) 3)4) 5)

Правило

Примеры

1. Перемножить числитель одной дроби с числителем другой и знаменатель одной дроби со знаменателем другой.

2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.

3. Записать ответ.

Задания: Выполните умножение:

1)2) 3)4) 5)

1)2) 3) 4) 5)

1) 2)3)4)  5)

Правило

Примеры

1. Возвести в степень каждый множитель числителя и знаменателя.

2. Если нужно, сократить получившуюся дробь.

____________

3. Записать ответ.

Задания: Представьте в виде дроби:

1) 2) 3) 4) 5)

1)2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

Правило

Примеры

1.Представить в виде произведения первой дроби и перевернутой второй дроби.

2. Выполнить умножение получившихся дробей.

3. Записать ответ.

Задания: Выполните деление:

1)2)3)4)

5)

1)2)3)4)

5)

1)2)3)4)

5)

Правило

Примеры

1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами:

− раскрыть скобки

− привести к общему знаменателю

−  перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

− привести подобные слагаемые

_____________________

В первом уравнении приведем к общему знаменателю, перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые

Во втором уравнении раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть

2. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую

Выразим переменную х из первого уравнения

Выразим переменную х из первого уравнения

3. Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы

Подставим выражение вместо переменной х во второе уравнение

Подставим выражение  вместо переменной х во второе уравнение

4. Решить получившееся уравнение

5. Найти значение второй переменной

6. Записать ответ

Ответ: (1; 2)

Ответ: (−1; 1)

Правило

Примеры

1. Если нужно, то привести уравнения системы к линейным, пользуясь следующими приемами:

− раскрыть скобки

− привести к общему знаменателю

−  перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

− привести подобные слагаемые

___________________

В уравнениях раскроем скобки,  перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую часть и приведем подобные слагаемые

_____________________

2. К уравнениям системы подобрать множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами

3. Умножить почленно уравнения системы на выбранные множители

4. Сложить почленно левые и правые части получившихся уравнений

5. Решить получившееся уравнение

6. Найти значение второй переменной  (используя для этого любое уравнение системы)

Подставим получившееся значение переменной х в первое уравнение

Подставим получившееся значение переменной y в первое уравнение упрощенной системы

Подставим получившееся значение переменной а в первое уравнение

7. Записать ответ

Ответ: (2; 1)

Ответ: (−3; 2)

Ответ: (−3; 2)