Приближённое решение систем уравнений
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК ПО ИНФОРМАТИКЕ  И МАТЕМАТИКЕ

 ДЛЯ 9 КЛАССА

ЦЕЛИ:  Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся по теме «Системы  уравнений с двумя переменными», сформировать  умения по  решению систем уравнений графическим методом, применять их при построении и реализации на компьютере математических моделей для нахождения  решений систем  уравнений с разной степенью точности.

 ЗАДАЧИ:
обучающие:

• формирование умений интегрировать информацию (анализ и сравнение различных методов решения систем уравнений, обобщение);
• формирование умений оценивать информацию (полезность и эффективность предложенных методов решения  систем уравнений);
• формирование умений адаптировать информацию к конкретным условиям (построение и исследование математических моделей, применение их к конкретным системам  уравнений);
• отработка умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, работа с формулами, построение графиков функций).

развивающие:

• освоение  и сравнение предложенных методов решения;

• умение применять данные методы при решении конкретных  систем уравнений;
• развитие памяти, внимания, наблюдательности,  самостоятельности при работе на компьютере; 

воспитательные:

• формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных;
• выработка у учащихся способности использовать компьютер при решении задач из различных предметных областей (математика);
• прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

ТИП УРОКА: комбинированный.

ФОРМА УРОКА: интегрированный урок.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• Компьютеры с операционной системой Windows  7   и установленным пакетом Microsoft Office 2010, объединенные в локальную сеть
• Интерактивная доска
•  Мультимедийный    проектор

ХОД УРОКА

1. Организационный этап.
2. Актуализация знаний.

Учитель информатики:  Ребята, мы продолжаем изучать тему: «Моделирование и формализация».  Тема нашего урока: «Приближенное решение систем уравнений».

Сегодня мы поговорим  о математических моделях.  На языке математики формальные модели записываются с помощью уравнений. Точные решения существуют не для всех уравнений, поэтому для большинства уравнений приходится использовать приближенные решения с заданной точностью. Этим мы  и займемся на уроке.  Мы будем исследовать математические модели, соблюдая основные этапы моделирования.

  Давайте их назовем.

Беседа с обучающимися.  Обучающиеся называют этапы моделирования и дают характеристику каждому этапу. Слайд №   2

1 этап – Описательная информационная модель.

2 этап – Формализованная модель

3 этап – Компьютерная модель

4 этап – Компьютерный эксперимент

5 этап – Анализ полученных данных

Итак, мы начинаем с 1 этапа.

1 этап построения модели.  Описательная информационная модель.

 И я передаю слово учителю математики  Елене Ивановне Андреевой.

Учитель математики:

Ребята, вы уже хорошо знакомы с решением систем уравнений с двумя переменными. Давайте вспомним  теоретические сведения, которые понадобятся нам на уроке.

Слайд № 3.      Фронтальный опрос:

1. Что называется системой уравнений?

2. Что называется решением системы уравнений с двумя неизвестными?

3. Что значит решить систему уравнений?

4. Назовите способы решения систем.

2 этап моделирования.  Построение формализованной модели.

1.  РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ   УРАВНЕНИЙ

СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ

Учитель математики: Ребята, давайте вспомним алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Алгоритм решения

1. Из какого-либо уравнения следует выразить, одну переменную через другую.
2. Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его.
3. Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной.

Решить систему уравнений способом подстановки:     x2 + 10 = y;

                                                                                             y – 30 = 2x.

x2 + 10 = y;

y – 30 = 2x,

y = x2 + 10;

x2 + 10 – 30 = 2x,

y = x2 + 10;

    x2 – 2x – 20 = 0,

x2 – 2x – 20 = 0

D = b2 - 4ac

D= 84,  D > 0,  2 корня

x1,2 =

x1,2 =

x1 =                  x2 =        

y1 =                  y2 =

 Ответ: ,

2.  РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ   УРАВНЕНИЙ

СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ

Учитель математики: Ребята, давайте вспомним алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными способом сложения.

Алгоритм решения

1. Следует уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.
3. Подставить найденное значение в одно из исходных уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Решить систему уравнений способом сложения:          x2 + 10 = y;

                                                                                                           y – 30 = 2x.

x2 + 10 = y;

y – 30 = 2x

x2 – y + 10 = 0;

    –2x + y – 30 = 0,

y = x2 + 10;

    x2 – 2x – 20 = 0,

x2 – 2x – 20 = 0

D = b2 - 4ac

D= 84,  D > 0,  2 корня

x1,2 =

x1,2 =

x1 =                  x2 =        

y1 =                  y2 =

 Ответ: ,

Учитель математики: Давайте проанализируем результат, полученный в первом и втором случае.

3.  ГРАФИЧЕСКОЕ   РЕШЕНИЕ

СИСТЕМЫ   УРАВНЕНИЙ

Учитель математики: Ребята, давайте вспомним алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными графическим способом.

Алгоритм решения

1. Выразить одну переменную через другую (например, у через х) в каждом уравнении.
2.  Построить в одной системе координат график каждого уравнения.
3. Определить координаты точки пересечения.
4. Сделать проверку.

Решить систему уравнений графическим способом:    x2 + 10 = y;

                                                                                             y – 30 = 2x.

Учитель математики: Ребята, как вы думаете, какой ответ у нас получится? Как в системе координат, изображённой в школьной тетради, определить значение абсцисс  ,  и ординат  

На этот вопрос вы найдёте ответ с помощью учителя информатики Марины Вячеславовны Матвейчук.

3. Объяснение нового материала.

Учитель информатики:  

Приступаем к 3 этапу моделирования – Созданию компьютерной модели.

Графическое решение таких систем  уравнений можно осуществить путем построения компьютерных моделей в электронных таблицах Microsoft Excel путем построения диаграмм типа «График».

Решим систему уравнений                              на интервале [-10:10] с точностью 0,1.

Слайд  № 10

        Построим  диаграмму - график  первоначальной оценки решений

Слайд № 11

Координаты точек пересечения графиков – решения системы.

Получены приближенные значения решений.

Для уточнения значения решений  теперь построим графики для интервалов    

от  -3 до -4,5, где находится первое решение, и от  5 до 7, где находится второе решение системы уравнений.

Составляем новую таблицу для х от -3 до 4,5.

Слайд №   13, 14

Получаем     Х1=-3,5   У1=23

Составляем новую таблицу для х от 5 до 7

Слайд №   15, 16

Получаем     Х2=5,6     У1=41,2

Таким образом, решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков.

4. Отработка умений и навыков  по созданию математических моделей на компьютере.

Переходим к 4 этапу моделирования – Компьютерному эксперименту.

Ребята, мы с вами  рассмотрели графический способ решения системы уравнений.  А сейчас вам предстоит самостоятельно реализовать данную математическую модель на компьютере.  У каждого из Вас на рабочем столе располагается  файл «Решение систем уравнений в Microsoft Excel» (Приложение).  Вы можете к нему обратиться, если при выполнении задания возникнут трудности.

Работа на компьютере. Обучающиеся получают задания.

5 этап моделирования.  Анализ полученных результатов.

Беседа с обучающимися, выполнявшими задания 1 варианта, затем 2 варианта.

1. Кто из вас решал систему методом подстановки?  Какой  результат получили?
2. Кто из вас решал систему методом сложения?  Какой  результат получили?
3. Какой результат показал графический способ решения системы?
4. Какой же вывод можно сделать?

Ребята, вы совершенно правы.  Каким бы способом не решалась система уравнений, ответ всегда получается один и тот же.

  А какой способ выбрать – решает человек. Компьютер не может заменить человеческую мысль, но всегда помогает ее реализовать.

5. Рефлексия.   Слайд №   18

Продолжи предложение

• Сегодня на уроке я повторил…
• Сегодня на уроке я закрепил…
• Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
• Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
• В каких знаниях уверен…
• Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
• Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
• Сегодня на уроке мне понравилось…

VI. Итог урока.

VII. Домашнее задание. Слайд №   19

Решить систему уравнений всеми известными вам способами.

Построить математическую модель, соблюдая основные этапы моделирования. Составить  алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными путем построения компьютерных моделей в электронных таблицах Microsoft Excel

        ПРИЛОЖЕНИЕ

(также можно использовать в качестве раздаточного материала)

Решение систем уравнений средствами Microsoft Excel

Решим систему уравнений                              

на интервале [-10:10] с точностью 0,1.

1 .

2.  Построим  диаграмму - график  первоначальной оценки решений.

Для этого необходимо выделить всю таблицу, затем в меню «Вставка» выбрать «Диаграммы», тип «График».

Получим:

Координаты точек пересечения графиков – решения системы.

Получены приближенные значения решений.

3. Для уточнения значения решений  теперь построим графики для интервалов   от  -3 до -4,5, где находится первое решение,и от  5 до 7, где находится второе решение системы уравнений.

Составляем новую таблицу для х от -3 до 4,5.

Получаем     Х1=-3,5   У1=23

Составляем новую таблицу для х от 5 до 7

Получаем     Х2=5,6     У1=41,2

Таким образом, решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков.