Исследовательская работа "Прогрессия"
проект по алгебре (8 класс) по теме

Бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №36»

Исследовательская работа

                                                                 Руководитель:

Борода Е.В,

                                                                           учитель математики.

 Введение

Закончился двадцатый век.

          Куда стремится человек?

   Изучены космос и море,

 Строение звезд и вся Земля.

   Но математиков зовет

                    Известный лозунг:

        «Прогрессия - движение вперед».

Однажды мы прочитали задачу, в которой говорилось о том,  что по преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно. Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки.

Нам захотелось решить эту задачу, выяснить, какой раздел математики помогает решать задачи такого типа. Этот раздел математики называется «Прогрессия».

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия играет немалую роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении и на ЕГЭ. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в заданиях ЕГЭ. Поэтому нам кажется, важным дать здесь полное описание этого курса, чтобы повторить уже известный из школьного курса материал, или даже узнать много нового и интересного.

- 2 -

Объект исследования: раздел математики – прогрессия.

Цель работы: Знакомство с понятиями:  прогрессия, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Вывод  формул, позволяющих решать задачи на различные виды прогрессий. Практическое применение арифметической и геометрической прогрессии.

Задачи исследования:

- собрать, изучить и систематизировать материал о прогрессиях;

- рассмотреть свойства арифметической и геометрической прогрессии.

- 3 -

 Оглавление

I. Введение.

II. Понятия о арифметической и геометрической прогрессиях.

2.1 Арифметическая прогрессия.

2.2 Формула общего члена арифметической прогрессии.

2.3 Свойства членов арифметической прогрессии.

2.4 Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

2.5 Геометрическая прогрессия.

III. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям.  

IV. Заключение.

- 1 -

II. Понятия о арифметической и геометрической прогрессиях.

Прогрессия -  последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».

Прежде всего, необходимо дать определение арифметической и геометрической прогрессии, ибо, не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам разговор.

2.1 Арифметическая прогрессия.

Определение. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый последующий член равен своему предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии.

Арифметическая прогрессия сокращенно обозначается символом ÷,  а ее разность d. Например, ÷ 3, 5, 7, 9,…- арифметическая  прогрессия с разностью d = 2.

Если числовая последовательность а1, а2,…, аn, … есть арифметическая прогрессия, то для любого n, согласно определению, имеет место тождество  

аn+ 1 = аn + d.

Для примера возьмем прогрессию со следующими параметрами:  a1=1,  d=2.

Получим возрастающую арифметическую проекцию вида: ÷1,3,5,7,9,12…

Эту проекцию можно изобразить на графике

Мы видим,что график укладывается в прямую.

Если изменить параметры a1 и d на a1=1,d=-2,то мы получим убывающую арифметическую прогрессию вида: ÷1,-1,-3,-5,-7,-9… ,которую так же можно изобразить на графике

- 4 -

График представляет собой прямую.

2.2 Формула общего члена арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии определяется формулой

        аn = а1 + d (n – 1),        (1)

 т.е. любой член арифметической прогрессии равен первому ее члену, сложенному с произведением разности прогрессии на  число предшествующих  ему членов.

Доказательство. Пусть дана арифметическая прогрессия ÷ а1, а2, а3,…, аn – 2, аn – 1, аn, …

По определению

а2= а1 + d,

а3= а2+ d,

а4= а3+ d,

…………..

аn-1 = аn – 2 + d,

аn = аn -1 + d.

Складывая почленно эти n-1 равенств, получим

а2 + а3 + а4 + … + аn-1 + аn = а1 + а2  + а3 + … + аn-1 + d (n – 1),

откуда найдем

аn = а1 + d (n – 1),

Формулу (1) можно доказать методом математической индукции.

2.3 Свойства членов арифметической прогрессии.

1. Каждый средний член арифметической прогрессии равен полусумме равноотстоящих от него членов, т.е.

аk -  р + аk+р

аk =           2                (р < k)        (2)

Доказательство. По формуле общего члена

аk -  р = а1 + d (k – р – 1),

аk + р = а1 + d (k + р – 1),

Складывая эти равенства, получим

аk -  р  + аk + р = 2а1 + 2d (k –  1) = 2 [a1 + d (k - 1)],

или

аk -  р  + аk + р = 2аk,

откуда найдем

 аk -  р + аk+р

аk =           2          .

- 5 -

2. В конечной арифметической прогрессии суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны  сумме крайних  членов, т. е. а1 + аn = а2 + аn -1 = … = аk + аn– k+1 = … = 2а1 + d (n – 1).

Доказательство. Достаточно показать, что аk + аn–k+1 не зависит от k. Вычислим аk + аn – k + 1 = а1 + d (k –  1) + а1 + d (n – k) = 2а1 + d (n – 1) = а1 + [a1 + d (n – 1)] = a1 + an.

2.4 Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Сумма  n первых членов арифметической прогрессии равна произведению полсуммы крайних членов на число членов, т.е.

a1 + an                

          Sn   =             2         n.                                        (3)

Доказательство. Пусть дано n членов арифметической прогрессии  а1, а2, а3,…, аn – 2, аn – 1, аn.  Тогда Sn = а1 + а2 +…+ аn – 1 + аn  и Sn = аn  + аn – 1 + …+ а2 + а1, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется. Складывая эти равенства, получим

2Sn = (a1 + an) + (а2 + аn – 1) + …+( аn – 1 + а2) + (аn  + а1).

По предыдущему свойству, a1 + an = а2 + аn – 1 = … = аn  + а1 = 2а1 + d (n – 1); поэтому 2Sn = (а1 + an)n,  или                 

a1 + an

         Sn   =             2      n.                

Учитывая, что a1 + an = 2а1 + d (n – 1), полученную формулу можно переписать в виде

 2а1 + d (n – 1)

      Sn   =             2                  n.        (4)

Рассмотрим несколько примеров и задач на арифметическую прогрессию.

Пример1. Доказать, что сумма n первых нечетных чисел натурального ряда равна квадрату их количества.

Решение. Найдем сумму

Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1).

Слагаемые этой суммы составляют конечную арифметическую прогрессию,  у которой d = 2, а1 = 1, an = 2n – 1 и число членов n. По формуле (3) получаем

       1+ 2n - 1

Sn   =               2               n = n2, т.е. 1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2.

Пример 2. Найти арифметическую прогрессию, сумма n первых членов которой выражается формулой Sn  = 5n2 + 6n.

Решение.  Найдем  

Sn -1 = 5(n – 1)2 + 6(n – 1) ≡ 5n2 - 4n – 1        (n ≥ 2).

Тогда n-й член искомой прогрессии

an = Sn - Sn -1 = (5n2 + 6n) – (5n2 - 4n – 1) = 10 n + 1,

т.е.

an  = 10 n + 1.

Подставляя в формулу общего члена последовательности n = 1, 2, 3,..., получим

а1 = 11, а2 = 21, а3 = 31, …

Ответ. ÷11, 21, 31, …, 10 n + 1, …

Пример 3. Доказать, что если a, b, c - три последовательных члена арифметической прогрессии, то между ними существует соотношение

а2 + 8 bc = (2 b + c)2.

Решение. По свойству членов арифметической прогрессии 2b = a + с. Тогда данное равенство принимает вид а2 + 4(а+с)с = (а+с+с)2, или (а+2с)2 = (а+2с)2, т.е. является тождеством.

 - 6 -

Пример 4.В  арифметической    прогрессии an = 1/m., а am = 1/ n  (m ≠ n).

Найти сумму mn ее первых членов.

Решение. По условию,

an = а1 + d (n – 1) = 1/ m,

am = а1 + d (m – 1) = 1/ n.

Решая эту систему, находим а1 = 1/ mn, d = 1/ mn. Тогда по формуле (4).

2 ∙ 1/mn + 1/mn (mn – 1)                               mn + 1

Smn =                         2                              ∙ mn =                       2

        mn + 1

Ответ. Smn =           2.

Задача 1. Отец дарит каждому из своих сыновей в день его рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько сыну лет. Возраст пяти сыновей составляет арифметическую прогрессию, разность которой равна 3. Сколько лет было каждому сыну, когда у них составилась библиотека в 325 книг?

Решение. Пусть самому младшему сыну было х лет; тогда остальным было соответственно х+3, х+6, х+9 и х+12 лет. Первый раз каждый из них получил а1 = 5 книг, а последующие разы получал на одну книгу больше (d=1).Самый младший получал книги  х - 4 раза (n = х - 4 ; четыре года он не получал книг), а старшие соответственно получали х-1, х+2, х+5 и х+8 раз. Самый младший сын получил книг

  2 ∙ 5 + 1(х – 4 – 1)                          (5+ х) (х – 4)

S1 =                 2                (х – 4)           =                   2

Аналогично, старшие сыновья получили книг

(8 + х) (х – 1)

S2 =                     2                ,

(11 + х) (х + 2)

S3 =         2                ,

(14 + х) (х + 5)

S4 =                       2                ,

(17 + х) (х + 8)

S5 =                       2                .

По условию задачи, все сыновья получили S1 + S2  + S3 + S4 + S5 =325 книг или

(5 + х) (х – 4)+(8 + х) (х – 1)+(11 + х) (х + 2)+(14 + х) (х + 5)+(17 + х) (х + 8) =

2                         2                          2                        2                         2

= 325,

откуда найдем х2 + 13х – 90 = 0. Решая это уравнение, получим  х1 = - 8, х2 = 5. Значение х1 не подходит к решению задачи. Самому младшему сыну было 5 лет, а остальным соответственно 8, 11, 14, и         17.

Ответ. 5, 8, 11,14,17.

Задача 2.Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная,  что сумма ее первых четырех членов равна 40, сумма последних четырех членов равна 104, а сумма всех членов равна 216.

 - 7 -

Решение. Пусть искомой прогрессией будет

÷ а1, а2, а3, а4, а5, … аn – 4, аn –3, аn –2, аn –1, аn.

По условию,

        а1 + а2 + а3 + а4 = 40,        (1)

   аn  + аn –1 + аn –2 + аn –3 = 104;

Складывая эти равенства, получим

(a1 + an) + (а2 + аn – 1) +(а3 + аn –2) +(а4 + аn –3) = 144.

Учитывая, что a1 + an = а2 + аn – 1 = а3 + аn –2 = а4 + аn –3,находим

4(а1 + an) = 144,

или

а1 + an = 36.

                          a1 + an                           36

По формуле (3),       2      n = 216, или   2   n = 216; n = 12. Тогда система (1)  принимает  вид         

а1 + а2 + а3 + а4 = 40,                или                4а1 + 6d = 40,

а12 + а11 + а10 + а9 = 104,                        4а1 + 38d = 104,

откуда получим а1 = 7, d = 2.

Ответ. ÷7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.

Задача 3. В треугольнике АВС из вершины В проведены высота BD и биссектриса ВЕ. Величины углов ВЕС, АВD, АВЕ и САВ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите длину высоты треугольника, проведенной из вершины А, если известно, что АС=1 см.

Чертеж:

Решение: Обозначим угол  ВЕС=1

                                                АВD=2

                                                ABE=3

                                                CAB=4,

т.к эти углы в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, то ее можно записать так: ÷1,2,3,4

an = a1 + d(n - 1)  (по свойству арифметической прогрессии)

Значит, наша прогрессия может иметь вид: ÷1,1+d,1+2d,1+3d.

Рассмотрим ∆АВЕ.

По свойству внешнего угла треугольника получим, что 1=3+4

=>1=21+5d=>

1=-5d

Рассмотрим ∆ABD.

Т.к.  угол BDA=90° =>4+2=90°(по теореме о сумме углов треугольника) =>

1+2d=45°

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными, которые можно объединить в систему.                                          - 8 -

1=-5d,

      1+2d=45°;

1=-5d,

        - 5d +2d=45°;

1=-5d,    

- 3d=45°;

1=75°,

d=-15°.

Следовательно, мы получим, что 2=60°, 3=45°, 4=30°

3 - биссектриса угла АВС (по условию) следовательно угол  В=90°, а это значит, что АВ - высота к стороне ВС.

∆АВС - прямоугольный, следовательно, ВС=АС/2=0,5 см (по свойству стороны, лежащей против угла в 30°).

По теореме Пифагора

АС2=АВ2+ВС2

АВ2=АС2-ВС2

АВ2=1-0,25

АВ=

АВ=0,5см.

Ответ: АВ=0,5см.

2.5 Геометрическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, первый член который отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Если последовательность (аn) – геометрическая прогрессия, то по определению

а2        = а3        =…=    аn        =  аn+1 = …,

                               а1                 а2                 аn-1          аn         

т.е отношение любого члена к предыдущему равно одному и тому же числу. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

Таким образом, геометрическая прогрессия (аn) определяется условиями:

1. а1 = а (а ≠ 0);
2. аn+1 = аnq (q ≠ 0) для любого n ≥ 1.

Если взять точные значения, например: b1=1

                                                                    q=2,

то получим возрастающую геометрическую прогрессию вида:1,2,4,8,16,32…, которую можно изобразить на графике

 - 9 -

Мы видим,что график представляет собой параболу.

Для получения убывающей геометрической прогрессии нужно задать следующие параметры:b1=1

                                        q=

Получим убывающую геометрическую прогрессию, которую можно изобразить на графике

Если, например,  а1 = 1 и q = 2, то мы имеем геометрическую прогрессию

1;        2;        4;        8; …

Условиями а1 = 4 и q = -1/2 задается геометрическая прогрессия

4;        -2;        1;        -1/2; …

Геометрическая прогрессия (аn) обладает следующим характеристическим свойством: квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего членов:

а2n+1  =  аn аn+2   (n ≥ 1).                         (1)

Доказательство. По определению геометрической прогрессии

аn+1         =      аn+2    =  q,

   аn            аn+1

откуда

а2n+1  =  аn аn+2.

Справедливо и обратное:  если некоторая последовательность (аn) такова, что

а2n+1  =  аn аn+2 и а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то эта последовательность (аn) – геометрическая прогрессия.

В самом деле, пусть для любых трех соседних членов некоторой последовательности (аn) выполняется соотношение(1).

- 10 -

Тогда

   аn+1            =      аn+2    ,

   аn            аn+1

т.е отношение любого члена последовательности  (аn) к предыдущему равно одному и тому же числу. Значит, (аn)- геометрическая прогрессия.

Таким образом, установленное свойство присуще геометрической прогрессии, и только ей.

В случае геометрической прогрессии с положительными членами соотношение (1) можно записать в виде

                                        аn+1  = √ аn аn+2.                (2)        

Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает следующим характеристическим свойством: любой ее член, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

Пусть (аn) геометрическая прогрессия, а1 - ее первый член, q- знаменатель  прогрессии. Выведем формулу для n – го члена геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии

а2  = а1q,

а3  = а2q,

а4  = а3q,

. . . . . . . .

аn-1  = аn-2 q,

аn = аn-1 q.

Умножая почленно эти   равенств, получим n – 1 равенств, получим

(а2а3а4…а n-1) аn = (а2а3а4… аn-2 а n-1) аn q n-1.

Так как  а2а3а4…а n-1≠ 0, то после сокращения имеем

        аn = а1q.        (3)

Формула (3) позволяет найти любой член геометрической прогрессии, если известны ее первый член и знаменатель. Поэтому она называется формулой общего члена геометрической прогрессии. Выведем теперь формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму n первых членов геометрической прогрессии через Ѕn:

        Ѕn = а1+а2+а3+… а n-1+ аn.        (*)

Если знаменатель прогрессии q равен 1,то Ѕn = n а1.

Если же q ≠ 1 , то поступим следующим образом. Умножим равенство (*) почленно на q:

qЅn = а1q +а2q +а3q +… а n-1q + аnq.

Так как а1q = а2, а2q = а3, а3q = а4,…, а n-1q = аn, то

qЅn = а2 +а3 +… а n + аnq.

Вычтем почленно из этого равенства (*). Получим

qЅn  - Ѕn = аnq - а1,                (q – 1) Ѕn =        аnq - а1,

откуда

аnq - а1

                                        Ѕn  =      q – 1         (q ≠ 1)        (4)

- формула суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем  q ≠ 1.

Заменим в этой формуле член аn  его выражением а1 q n-1. Тогда

а1 (q n  - 1)

                                        Ѕn  =           q – 1                (q ≠ 1)        (5)

 - 11 -

Пример 1. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72.
    Решение. Запишем условие задачи. Имеются четыре числа: b1, b2, b3, b4. Известно, что b1 + b4 = 27  и b2 · b3 = 72. Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что b1  + b1 q 3 =  b1(1+ q 3) = 27 и b1q · b1q2 = 72. Из второго уравнения q 3 = 72/ b12, что можно подставить в первое уравнение и получить: b1 ( 1 + 72/ b12) = b1 + 72/b1 = 27, откуда следует квадратное уравнение b12 – 27b1 +72 =0, корнями которого являются числа 24 и 3. Находя q (что очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24: {24,12,6,3}и соответствует b1 = 24, q = 1/2,   второй - {3,6,12,24} (b1 = 3,q = 2). (То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями >1 и <1- обычная в подобных задачах ситуация).

    Пример 2. Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии.
    Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель.
    Решение. Запишем условие задачи: 8 (b1 + b2 + b3) = b4 + b5 + b6, выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии: 8 (b1 + b1q + b1q2 ) = b1q3 + b1q4 + b1q5 = q3 (b1 + b1q + b1q2) откуда после сокращения 8 = q3 и q=2.
    Ответ: q = 2.

    Пример 3. В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.
    Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый член - b1 и знаменатель – q этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра. Задача предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета.
    Решение. Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере. b1 + b2 + b3 =  9;  b1 + b2 + b3 +  b4 + b5 + b6 = -63, откуда b4 + b5 + b6 = - 63 – 9 = - 72 и в качестве следствия из предыдущего примера получим q = - 2. Найдем теперь b1: b1 + b2 + b3 =  b1 ( 1 +  q + q2) = b1(1-2+4) = 3b1  = 9 и b1 = 3 откуда окончательно: S10 = 3 · (-2)10 – 1/ - 2- 1 = 3 · (1023 / -3) = -1023.

Ответ: S10  = -1023

      Пример 4. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2,6,18… . Найти номер этого члена.

       Решение. Пусть n – искомый номер. Так как b1 = 2, q = 3, то по формуле

 b n= b1 q n – 1 имеем: 486 = 2 · 3  n – 1, 243 = 3 n – 1, 35 = 3 n – 1, откуда n – 1 =

 5, n  = 6.

Ответ: n  = 6.

И возвращаясь к задаче, которая была рассмотрена в начале нашей работы, подсчитаем, 

сколько же зерен пришлось бы выдать изобретателю.

- 12 -

   Пример 5. По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно. Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться  18446744073709551615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать). Или S18.5*10.

Пример 6. Найти первый член  а  и последний  l, если   q = 3,   n = 5 и s = 242.

 Решение. Сначала находим l по формуле l =  aq n - 1 = а • 34 и затем эту величину и данные числа подставим в формулу для суммы:

а · 34· 3 – а          а(35 – 1)

242 =       3 – 1        =          2           = 121а,

откуда: a = 242:121 = 2.

Теперь находим: l = 2 • 34  = 162.

Поверка: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Ответ:  а = 2.

Задача 1. В острый угол вписаны n кругов, касающихся один другого. Докажите, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Укажите зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла.

- 13 -

Решение:

Пусть острый угол-α

Прямая, на которой лежат центры окружностей, представляет собой биссектрису угла α.

Проведем радиусы окружностей так, чтобы они были перпендикулярны одной из сторон угла. Обозначим точки пересечения радиусов окружностей и стороны угла, как А1,А2,А3,А4…Аn

Можно записать tg = = = = =…= (эти отношения равны, т.к.  tg остается неизменным).

Следовательно, = = = =…== tg =k, значит r1,r2,r3,r4…rn образуют геометрическую прогрессию с q= tg.

Следовательно, зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла равна q= tg.

III. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям.  Возьмем следующие два примера десятичных периодических дробей (чистых, т. е. таких, у которых период начинается тотчас после запятой): 1) 0,999... и 2) 0,232323...

Дроби эти представляют собою суммы:

1. 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + …

 2) 23/100 + 23/ 10000 + 23/ 1000000 + …

Слагаемые этих сумм суть члены бесконечных убывающих геометрической прогрессии, у которых знаменатели прогрессии: у первой 1/10  , y второй 1/1000  . Суммы эти стремятся к пределам, равным:

- 14 -

       9/10                9                     9

1) 1 – 1/10      =  10 – 1   =          9    = 1;

      23/100         23                    23

2) 1 – 1/100   =  100 – 1  =       99

Из этих примеров видно, что чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть период, а знаменатель цифра .9, повторенная столько раз, сколько цифр в периоде.

Надо только иметь в виду, что в этой фразе слова: „чистая периодическая дробь" поставлены ради краткости; подробнее надо было бы сказать: предел, к которому стремится чистая периодическая дробь, когда число периодов возрастает, равен и т. д.

Возьмем теперь  пример периодических дробей смешанных (т. е. таких, у которых период начинается не тотчас после запятой): 3) 0,3545454... Дробь эту можно представить в виде суммы:

3) 3/10 + 54/1000 + 54/100000 + 54/10000000 + …

Слагаемые этой суммы, начиная со  второго, суть члены бесконечных убывающих геометрической прогрессии; в 3-й сумме знаменателем служит дробъ 1/10  в 4-й сумме —дробь 1/100.                                     

3. 3/10 + 10 - 1/100  =  3/10 + 54/1000 – 10 = 3/10 + 54/990= 3 ·99 + 54/ 990= 3 · 100 – 3 + 54 = 354 – 3 / 990 = 351/ 990 = 39 / 110.

Из этих примеров видно, что смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода, без числа, стоящего до первого периода, а знаменатель есть цифра 9, повторенная столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.

- 15 –

IV. Заключение.

      Работа посвящена изучению понятия прогрессия, её видов и свойств.  Мы рассмотрели  общие сведения о прогрессии,  формулы нахождения n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.

      Думаем, что мы добились поставленной цели. Доказали некоторые из свойств  членов

арифметической прогрессии. Рассмотрели формулы нахождения суммы n первых членов

арифметической прогрессии.

      Подводя итоги, мы пришли к следующему важному практическому выводу:

 Прогрессия играет немалую роль не только в школьном курсе алгебры, но и в

дальнейшем обучении и на ЕГЭ. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела

школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в

частности он часто применяется в заданиях ЕГЭ.  

      Проделанная работа, дает нам возможность для продолжения изучения разделов

математики, где используется понятие прогрессии.

- 16 -

Литература

1. И.А.Баранов, Г.И.Богатырев, О.А.Боковнев. Математика для подготовительных курсов техникумов. Москва «Наука» 1982г.

2.   В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко. Задачи по математике. Начала анализа. Москва «Наука» 1990г.

3.   М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике.  Москва «Наука» 1982г.

4.  А.Д.Кутасов, Т.С.Пиголкина, В.И.Чехлов, Т.Х.Яковлева. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Москва «Наука» 1988г.

5.    А.Г.Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений. Москва «Наука» 1988г.

- 17 –

Тезисы

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Объект исследования: раздел математики – прогрессия.

Цель работы: Знакомство с понятиями:  прогрессия, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Вывод  формул, позволяющих решать задачи на различные виды прогрессий. Практическое применение арифметической и геометрической прогрессии.

Задачи исследования:

- собрать, изучить и систематизировать материал о прогрессиях;

- рассмотреть свойства арифметической и геометрической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый последующий член равен своему предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии.

Определение. Числовая последовательность, первый член который отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в заданиях ЕГЭ. Поэтому нам кажется, важным дать здесь полное описание этого курса, чтобы повторить уже известный из школьного курса материал, или даже узнать много нового и интересного.