"Вероятность успешной сдачи ЕГЭ путем угадывания верных ответов"
творческая работа учащихся по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 17»

Рузаевского муниципального района

Научно-исследовательская работа по математике на тему:

«Вероятность успешной сдачи ЕГЭ

путем угадывания верных ответов»

Автор: 

Никашкин Артем,  10 «А»  класс

Руководитель: 

Курганова Юлия Александровна,

учитель математики

Рузаевка, 2015 г.

Содержание работы:

Введение

По окончании 11 класса школы все старшеклассники  столкнутся с достаточно серьезным испытанием своих знаний - сдачей ЕГЭ, единого государственного экзамена.  Участники ЕГЭ этого года должны будут сдавать два обязательных предмета: русский язык и математика и предметы по выбору:

• обществознание,
• физика,
• химия,
• история,
• география,
• биология,
• литература,
• иностранный язык,
• информатика.

  ЕГЭ – это серьёзный шаг в жизни каждого выпускника. Успешно сдать все экзамены мечтает каждый ученик, но кто-то предпочитает регулярное посещение занятий, выполнение домашних заданий, активную работу на уроке, а кому-то остается надеяться только на шпаргалки и на удачу. Среди нерадивых учеников возникает вопрос: «Нельзя ли выбрать наугад ответы и при этом успешно сдать ЕГЭ?». Меня заинтересовал ответ на этот вопрос.

Успешная сдача ЕГЭ – это дело случая?

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка, угадал или не угадал правильный ответ в тесте.…Этот ряд можно продолжить и дальше. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь вездесущая царица наук – математика – может обнаружить интересные закономерности и спрогнозировать результат.

Учитывая актуальность данной темы, нами проведена исследовательская работа, которую мы назвали «Вероятность успешной сдачи ЕГЭ путем угадывания верных ответов».

Цель исследования – определение вероятности успешной сдачи ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.

Предмет исследования - результаты тестовых заданий по русскому языку и обществознанию (как одного из часто выбираемых выпускниками предметов).

Мы выдвинули следующую гипотезу: выбор ответов наугад не может обеспечить успешной сдачи ЕГЭ.

Цель и предмет исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:

1. Найти и изучить теоретический материал по данной теме, используя справочную литературу и ресурсы Интернета.

2. Провести статистический эксперимент (тесты по русскому языку и обществознанию в 10 «А» классе)

3. Проанализировать результаты тестовых работ средствами теории вероятностей.

В курсе математики я изучал элементы теории вероятности, основные понятия и приемы обработки данных. Но для решения данной проблемы мне понадобилось изучить дополнительную литературу, я познакомился с историей развития теории вероятности и подобрал для обработки результатов повторных независимых испытаний формулу Бернулли. Вычислил вероятность успешной сдачи ЕГЭ работы путем угадывания правильного ответа с помощью этой формулы.

1. Теоретическая часть

1.1. Испытание, событие, случайная величина.

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного испытания, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.

События делятся на:

Теория вероятностей рассматривает именно случайные события. При этом предполагается, что испытание может быть повторено неограниченное (по крайней мере, теоретически) число раз. Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие.

Другим примером события, часто приводимым в учебниках по теории вероятностей, является выпадение определенного числа очков (от 1 до 6) при бросании игральной кости.

События в теории вероятностей принято обозначать начальными прописными латинскими буквами А, В, С, ...

Случайные события называются несовместными если появление одного исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.

Если в результате опыта произойдет хоть одно из некой группы событий, то они образуют полную группу. Появление хотя бы одного события из полной группы – достоверное событие.

Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.

Количественная характеристика испытания состоит в определении значений некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний на перекладине или время на беговой дистанции). В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины могут принимать различные значения в результате испытания. Причем до испытания невозможно предсказать значение величины, поэтому она называется случайной величиной.

1.2. Вероятность событий.

Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления.

В некоторых простейших случаях вероятности событий могут быть легко определены непосредственно исходя из условий испытаний.

Представим себе общую схему таких испытаний.

Пусть испытание имеет n возможных несовместных исходов, т. е. отдельных событий, которые могут появиться в результате данного испытания; причем при каждом повторении испытания возможен один и только один из этих исходов. Кроме того, пусть по условиям испытания, нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, т. е. все исходы являются равновозможными.

Допустим теперь, что при n равновозможных несовместных исходах интерес представляет некоторое событие А, появляющееcя при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n–т исходах. Тогда принято говорить, что в данном испытании имеется п случаев, из которых т благоприятствуют появлению события А.

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:

Данная формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Статистическое определение вероятности.

Будем фиксировать число испытаний, в результате которых появилось некоторое событие А. Пусть было проведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно nN раз. Тогда число nN называется частотой события, а отношение  — частостью (относительной частотой) события.

Замечательным экспериментальным фактом является то, что частость события при большом числе повторений испытания начинает мало изменяться и стабилизируется около некоторого определенного значения, в то время как при малом числе повторений она принимает различные, совершенно случайные значения. Поэтому интуитивно ясно, что если при неограниченном повторении испытания частость события будет стремиться к вполне определенному числовому значению, то это значение можно принять и качестве объективной характеристики события А. Такое число Р(А), связанное с событием А, называется вероятностью события А.

Математически неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim) при N, стремящемся к бесконечности ():

Поскольку nN никогда не может превзойти N, то вероятность оказывается заключенной в интервале 

Следует отметить, что приведенное определение вероятности является абстрактным, оно не может быть экспериментально проверено, так как на практике нельзя реализовать бесконечно большое число повторений испытания.

Пусть проводятся независимые испытания, при каждом из которых вероятность события А неизменна. Справедливо утверждение, называемое законом больших чисел или теоремой Бернулли: если N достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к единице, отличие  от Р(А) меньше любого наперед заданного положительного числа или, в символьной записи, . Т.е. много раз бросая монету, мы “почти наверняка” будем получать примерно равные частоты выпадения герба и цифры.

1.3. Теория вероятностей в жизни.

 Игры в кости

Кости — одна из древнейших игр. Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Разновидности игры предполагают разный подсчёт очков.

Коды на ….

- сейфах

- телефонные номера

- пароль в социальных сетях (агент, одноклассники и т.д.)

Лотереи

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота). Кто из нас не мечтал выиграть в лотерею миллион! Но все мы реалисты, и понимаем, что вероятность такого выигрыша очень мала. Ведь игра в лотерею - это игра с судьбой, попытка поймать удачу; и чем больше выигрыш стоит на кону - тем сильнее ощущения!

Карточные игры

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде. Перед использовании той же колоды в следующей игре карты в ней перемешиваются (перетасовываются).

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. Тут все решает Её величество фортуна.

1.4. История  возникновения  и  развития  теории  вероятности.

Замечательно, что эта наука, началом которой были рассуждения об азартных играх, должна стать одним из важнейших предметов человеческого знания.

П.Лаплас [11]

       Развитие теории вероятности как самостоятельной науки началось с писем Паскаля к Ферма в 1654 году.

        В это время шевалье де Мере задал Паскалю два вопроса, касающихся азартных игр. Этим вопросам и посвящены письма Паскаля к Ферма.

         Первая задача де Мере состояла в состояла в следующем: сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы вероятность выпадения двух шестёрок была больше половины? С этой задачей де Мере справился,  Паскаль, обсудив его решение, признал его правильным. Вторая задача оказалась более сложной. Два игрока играют в азартную игру до n выигрышей. Как следует разделить между ними ставку, если игра прервана, когда первый игрок выиграл a партий, а второй b партий, a, b < n?

         Для решения этой задачи Паскаль ввёл основные понятия теории вероятностей. Он отчётливо сознавал, что открыл новую область науки. Это видно из письма Паскаля в Парижскую академию, где он, в частности, писал: “Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределённостью случая и примиряющее эти, казалось бы, противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул – математика случайного.”

          Первая книга, посвящённая теории вероятностей, была написана в 1656 году Христианом  Гюйгенсом, знатным голландским дворянином, красавцем, пренебрегавшим развлечениями света ради физики и математики. Она представляла из себя “ рассуждение о приложении теории вероятностей к азартным играм “ и содержала множество изящных и точных расчётов.

В дальнейшем теорию вероятностей развивали: Якоб  Бернулли, английский математик Абрахам де Муавр (1667 - 1754);  в 1764 году были посмертно опубликованы работы малоизвестного английского священника Томаса Байеса, увековечившие его имя. Бюффон, автор знаменитой 36-томной “ Естественной истории ”, расширил область применения теории, построив пример геометрической вероятности (“Игла Бюффона”). Но только в 19 веке теория вероятностей вновь привлекает внимание крупнейших современных математиков, первым из которых следует назвать Лапласа.

          Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с великим именем Карла Фридриха Гаусса (1777 - 1855) и Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840).

Во второй половине 19 века появилась блестящая плеяда русских математиков. Ведущим среди них были П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Исследования П.Л.Чебышева продолжили его ученики А.А.Марков и А.М.Ляпунов. Их трудами теория вероятностей стала достаточно строгой и разработанной областью науки.

           Но ещё в ХХ веке большинство учёных не признавало её равноправной ветвью математики. По выражению одного из них, теория вероятностей нечто среднее между математикой, физикой и шаманством. Причиной этого было отсутствие аксиоматического обоснования. В 1900 году на Международном съезде математиков Гильберт составил список важнейших нерешённых проблем математики. Это было своеобразное завещание ХХ веку. В этот список он включил проблему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

          Наиболее интересные попытки решить эту задачу предпринимались русским математиком Бернштейном(1917) и эмигрантом из Германии Мизесом, а удалось это сделать в 1933 году советскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову.

          Система аксиоматического обоснования А.Н.Колмогорова стала общепринятой и служит твёрдой основой для дальнейшего развития теории вероятностей.    

1.5. О математике Якобе Бернулли

Я́коб Берну́лли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершил поездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, где познакомился с Гуком и Бойлем.

Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на Юдит Штупанус (Judith Stupanus), у них родились сын и дочь.

С 1687 года — профессор физики (позже — математики) в Базельском университете.

1684: штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептом нового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.

1699: оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук.

В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.

Научная деятельность

Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл».

Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда, см. фотографию справа. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».

«Искусство предположений»

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

1.6. Формула Бернулли

     Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рn(m) того, что в результате n испытаний событие А наступило ровно m раз. Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.  Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. Пусть в результате n  независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие  с вероятностью q . Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Если в результате  опытов событие А наступает ровно m   раз, то остальные n - m раз это событие не наступает. Событие А может появиться m  раз в n  испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n  элементов по m . Это количество сочетаний находится по формуле:  

     Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:  pmqn-m

 Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли: Рn(m)=Сnmpmqn-m

 Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

При решении вероятностных задач часто приходиться сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытания независимы; вероятность появления события A в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события A в единичном испытании буквой p, т.е , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой. Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Определить вероятность получения положительной отметки за тестовую работы можно по формуле Бернулли. «Наше представление… было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений…»(А.Н. Колмогоров).

2. Экспериментальная часть.

Экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности и во многих из них, в том числе по русскому языку и обществознанию в части А даны задания с выбором ответа. Мы намеренно взяли для исследования именно эти предметы русский язык как один из обязательных (вы конечно же спросите: «почему я не выбрал математику?» Да потому, что с 2010 года часть А то есть та часть в которой нужно было выбрать вариант правильного ответа отменили) и предмет по выбору - обществознание (как наиболее часто выбираемый выпускниками предмет). Среди нерадивых учеников возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и тем самым преодолеть так называемый порог на экзамене?»

Я провел  опрос среди обучающихся 10 класса: можно ли практически угадать 17 заданий из 30, т.е. сдать ЕГЭ по русскому языку без подготовки. Результаты такие: 53,2% респондентов считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.

Я решил проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.

Русский язык.

По данному предмету тест включает 39 заданий типа А, В и С, из которых 30 заданий типа А с выбором ответа из 4-х предложенных. Для того, чтобы пройти порок на экзамене в 2014 году достаточно было в  части А правильно выполнить 17 заданий. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем.[5,]Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и  q=P(Ā)=1-p=.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =119759850

0,00163*100%0,163%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!

На примере варианта теста  ЕГЭ 2014 года я предложил обучающимся 10 «А» класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось.

Результаты статистического эксперимента по русскому языку

Средний балл по классу составил 8,7. Наибольшее количество баллов набрала Чудаева Диана - 16, наименьшее – Сапожников Эдуард(3 балла). 

Обществознание

Первая часть варианта ЕГЭ 2014 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен  минимальный первичный балл по обществознанию – 15.

Вероятность получения положительной оценки:

=  =15504

0,000003*100%=0,0003%        

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

Я попросил обучающихся 10 «А» класса угадать ответы по обществознанию.

Результаты статистического эксперимента по обществознанию

 Средний балл составил 4,76 балла. Самый высокий балл - 9, самый низкий - 2. Таким образом, ни один обучающийся не смог набрать нужное количество баллов.

Выводы

Результаты практических экспериментов и их теоретическое обоснование подтверждают правильность выдвинутой гипотезы. Ни один из учащихся не смог угадать количество правильных ответов, необходимых для успешной сдачи ЕГЭ.

Данные исследования позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно сдавать экзамены в форме ЕГЭ.

Заключение

Я учусь в 10 классе, и наследующий год мне тоже предстоит сдача экзаменов в форме ЕГЭ. Я думаю, что цель моей работы – математически  доказать, что вероятность угадать верные ответы на ЕГЭ очень мала,  - достигнута. Опытным путём подтверждена гипотеза: выбор ответов наугад не может обеспечить успешной сдачи ЕГЭ. А значит к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось. Некоторые думают: наудачу сдам. Моя работа совершенно разбивает их надежды полученными мною результатами. Надеюсь, что не только я, но и мои одноклассники, друзья и сидящие здесь в зале  более ответственно отнесутся к предстоящим экзаменам в форме тестирования.  

Рекомендации

Результаты данного исследования можно рекомендовать для сообщения обучающимся старших классов.

Литература

1. АлимовШ.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы:учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.
2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.
3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.
4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.
5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.
6. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.
7. Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.
8. Панов Э. Введение в статистику//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№25-26.
9. Семеновых А. Комбинаторика//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17.
10. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.
11. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

1. http://www.blagodeteleva-vovk.com/theory/never.htm
2. http://habrahabr.ru/blogs/gtd/101695
3. http://www.prosto.ws/2010/03/02/ot-teorii-veroyatnosti-k-teorii-vsego
4. http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph1/theory.html
5. http://ru.wikipedia.org/wiki
6. www.fipi.ru