Формула корней квадратного уравнения
статья по алгебре (8 класс) по теме

Формула корней квадратного уравнения

Виноградова Валентина Анатольевна

218-406-407

Часто, при изучении нового материала, учителю необходимо подготовить и провести проблемную беседу.  Основные требования, необходимые при  подготовке к уроку:

1. Изучение нового материала следует начинать с интересной практической или исторической задачи, позволяющей создать исходную проблемную ситуацию. Практические задачи можно почерпнуть из специальных сборников или из раздела учебного пособия, предназначенного для закрепления материала. В результате анализа формулируется проблема.
2. Основная проблема часто разбивается на ряд подпроблем, каждая из которых порождает свою проблемную ситуацию. Проблемная беседа содержит от 2 до 5 проблем. Последние связаны с поиском решения основной проблемы, способа достижения выдвинутой цели.
3. Реальный процесс выхода из проблемной ситуации имеет несколько направлений. Поэтому на уроке следует рассмотреть несколько способов и путей решения каждой подпроблемы.
4. Разрешение проблемных ситуаций имитирует реальный процесс мышления - открытие нового. А реальный процесс мышления, решения задач – не «накатанная дорога». В нем имеют место тупиковые ситуации, когда очередная гипотеза приводит:

• либо к очевидному противоречию;
• либо к невозможности продолжить решение в данном направлении из-за отсутствия необходимой базы.

5. В процессе обучения возможны два способа предъявления       материала, создающие проблемную ситуацию - историческая и логическая. Логическая –  более краткая, отражающая результат исследования; историческая – более естественная, отражающая реальный процесс решения проблемы. История развития научного знания внутренне проблематична. Привлечение исторического материала для поисков решения проблемы при организации проблемной беседы дает ученику знание реальных путей выхода из проблемной ситуации, способствует повышению познавательного интереса и позволяет усилить ее проблемность.

Приведу пример проблемной беседы, организованной по рассмотренной схеме.

Создание проблемной ситуации.

Учитель:

- Вы знаете, что математика – одна из древнейших наук. Еще в глубокой древности возникла необходимость решать задачи, содержащие уравнения не только первой, но и второй степени. Это было связано с нахождением площадей земельных участков, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения решали еще в Древнем Вавилоне.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования  по решению трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Вот одна из таких задач.

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам стали

Прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

По тексту задачи составляется уравнение. При этом  учащиеся могут допустить сами или учитель может спровоцировать следующую ошибку:

После проверки окончательно получаем уравнение:  

    (1)

Это уравнение вида   .

Далее выясняется, почему оно называется квадратным, являются ли квадратными уравнения вида  ,  , .

Возникает проблема, как решать такие уравнения.

Затем рассматриваются предлагаемые учащимися пути решения неполных квадратных уравнений; предпринимаются безуспешные попытки решения полученного уравнения (1) или уравнения, записанного  в обобщенном виде        .

Вынесение общего множителя   по аналогии с решением уравнения            

 или перенос свободного члена  по аналогии с уравнением  

 не приносят желаемых результатов.

Все попытки решения обсуждаются. Если ученики высказали сомнение, можно ли вообще решить эту задачу, учитель предъявляет им уравнение  

,

которое ребята способны решить и в котором после проведенных преобразований «узнают» исходное уравнение.

Один из вариантов предлагает учитель. Он сообщает, что в древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, такие уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Вот, например, как древние греки решали уравнение  .

Решение представлено на рисунке. Это решение следует сопроводить записями:   (**), откуда .

                                                  У                            3

                                                   3у

Необходимо разобрать, что такое ; как в уравнении (**) появляется число 5; что сделано с обеими частями уравнения; где на рисунке  добавленное к обеим частям равенства число 9; является ли −8 корнем исходного уравнения, в ходе какой операции этот корень потерян, почему древние греки были «обречены» его потерять.

Выясняем, что выражения и  геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение    одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что .  

Учитель выделяет новую проблему: как изобразить ситуацию геометрически, если второй коэффициент в квадратном уравнении отрицателен?

Пусть, уравнение имеет вид  .

По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, на рисунке квадраты со сторонами   и .  

Если учащиеся, исходя из рисунка, предлагают рассмотреть равенство  

, то после преобразований получим . На вопрос, почему последняя запись не позволила продвинуться в решении уравнения, следует ответ, что эта запись – алгебраическое тождество и в нем не использовано условие, что .

Преобразуя последнее равенство, получаем . На рисунке находим «изображение» выражения , и обращаем внимание, что в нем из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению   прибавить  9, то получим площадь квадрата со стороной .

Заменяя выражение  равным ему числом 16, получаем:

, т.е. .

 Возникает очередная подпроблема: как представить рассмотренные решения квадратных уравнений в краткой алгебраической форме, обобщив геометрические решения. В результате такого обобщения получаем метод выделения полного квадрата. Затем возвращаемся к исходной задаче.

Приведенная беседа удовлетворяет всем выдвинутым требованиям: изучение темы начинается с ситуации невозможности решить практическую задачу, обнаруженную в старинных рукописях. Проблема развивается на ряд подпроблем. Решению проблемы способствует рассмотрение истории решения квадратных уравнений. На уроке показаны два способа решения – геометрический и алгебраический. В беседе рассмотрен ряд гипотез, не приведших к решению, и ошибочные шаги. Исторический материал естественно «вплетается» в содержание урока, делая его живым и занимательным.