Методическая разработка темы: "Прогрессия"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………….2

Глава 1. Метод укрупнения дидактических единиц в системе методов обучения математике…………………………………………………………………………..4

1. Методы обучения в педагогике и методике обучения математике………...4
2. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ при изучении теоретического материала…………………………………………………………5
3. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ в работе с задачами…………………………………………………………………………….7

Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Прогрессии» методом УДЕ ………………………………………………………………………10

1. Логикодидактический анализ темы «Прогрессии»………………………..10
2. Проекты системы уроков по теме…………………………………………..37

Литература………………………………………………………………………..80

Введение

На современном этапе развития общества главной целью образования является формирование разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал, как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества. В связи с этим наиболее остро стоит вопрос о том, что обучение должно быть направлено не только на овладение учащимися необходимыми знаниями, умениями, навыками, но и на формирование умения получать новые знания, на развитие личности учащегося.

Учитывая специфику предмета, цель математического образования состоит в целостном развитии личности средствами математики, а для этого ученик должен выступать субъектом процесса познания, быть активным его соучастником, что и служит источником его развития.

Перед учителем стоит очень сложная задача организации процесса творческой учебно-познавательной деятельности школьников.

Успех учебной деятельности зависит как от правильного определения его целей и содержания, так и от способов достижения целей, то есть от методов обучения.

Так доктор педагогических наук профессор П.М.Эрдниев считает, что многие недочеты в обучении математике являются следствием несовершенства методов преподавания. Наиболее распространенные методы и приемы обучения далеко не соответствуют познавательным способностям учеников; их возможности в действительности выше.

В результате решения данной проблемы, П.М.Эрдниевым был разработан новый метод обучения - метод укрупнения дидактических единиц. Вопрос о внедрении метода УДЕ в школьную практику очень актуален, так как применение этого метода имеет ряд существенных достоинств. Назовем некоторые из них.

1. Метод УДЕ способствует более успешному включению школьников в поисковую и познавательную деятельность, что создает условия для усвоения ими необходимого гуманитарно-ориентированного содержания.
2. Ведет к сокращению времени освоения материала, что позволяет решить проблему, связанную с сокращением количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла.
3. Информация, полученная с помощью данного метода, быстро запоминается, системна, долговременна и устойчива к сохранению во времени.

Глава 1. Метод укрупнения дидактических единиц в системе методов обучения математике

1.1. Методы обучения в педагогике и методике обучения математике

Одно из центральных мест в методике преподавания математики занимают методы обучения. Знание методов обучения математике необходимо для организации «эффективного обучения школьников».

Качество знаний, приобретенных учениками, зависит не только и не столько от изученного ими материала. Ведущим системообразующим фактором в обучении выступает, прежде всего, комплекс методов, применяемых педагогом.

Исследователи справедливо подчеркивают превосходство методов над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат.

По мнению известного методиста из Калмыкии П.М.Эрдниева в математике слишком многие элементы изучают порознь, вместо того чтобы в соответствии с логикой их связей изучать совместно, дабы образовывать систему знаний, которая была бы устойчива по отношению к разрушающему воздействию времени [7,с.32].

П.М.Эрдниев решает проблему образования устойчивой системы знаний у учащихся с помощью метода укрупнения дидактических единиц, основоположником которого он является.

Рассмотрим данное П.М.Эрдниевым определение и основные дидактические и методические положения теории укрупнения дидактических единиц.

В процессе обучения учитель выдает определенную информацию ученику. Эта информация состоит из отдельных порций - дидактических единиц.

Укрупненная дидактическая единица — это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

При укрупнении дидактических единиц используются скрытые резервы мышления, существенно повышающие результативность процесса обучения в целом.

1.2. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ при изучении теоретического материала.

Существуют различные источники укрупнения теоретического материала:

1. Взаимообратные связи.
2. Установление родственных связей.
3. Изучение аналогичных понятий.

Рассмотрим данный вопрос более детально.

Взаимно обратные связи.

П.М.Эрдниев отмечает, что целесообразно изучать одновременно взаимно обратные действия и операции, как-то: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и раскрытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т. п.

При раздельном изучении взаимно обратных операций ученики длительное время решают однородные задачи на основе одного правила, и зачастую создается обманчивая видимость успешного усвоения материала. В дальнейшем ученики при решении любой задачи вынуждены выбирать один из двух возможных вариантов рассуждения, но, т.к. они не встречались с необходимостью выбора операции, то и соответствующее умение у них не вырабатывалось. Поэтому и возникают массовые ошибки подмены одного действия другим.

Иное дело при одновременном изучении этих вопросов: здесь с самого начала ученик рассматривает различие и сходство задач разного вида, овладевает надежными приемами их дифференцирования, выбора действий.

Термин «одновременное изучение» подчеркивает ту мысль, что между рассмотрением взаимосвязанных заданий должно пройти не более чем несколько минут, а не сутки; причем этот промежуток времени нельзя заполнять какой-либо другой работой мысли, не связанной с исходным заданием.

Только в этих условиях проявляется эффект оперативной памяти: информация, связанная с прямой операцией, лишь непродолжительное время (15-20 мин) находится в активной фазе, в оперативной памяти, благоприятной для ее «вторичного включения» в состав производных операций.

Разумеется, данный подход, вовсе не исключает того, что в отдельных случаях при введении новых трудных понятий может быть целесообразным несколько уроков посвятить ознакомлению с содержанием только этого понятия.

Изучение аналогичных понятий.

Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.

Аналогия - сходство объектов в некоторых свойствах или отношениях. Объекты, обладающие сходством, называются аналогичными. [6,с.60 ]

Это один из наиболее широко распространенных эвристических методов математической деятельности. Аналогия позволяет раскрывать содержание понятий, формулировать определения, выдвигать гипотезы, отыскивать методы доказательства теорем и решения задач.

Аналогия позволяет учащимся прогнозировать деятельность, сравнивать изучаемые объекты с ранее изученными, «открывать» новые факты, закономерности.

Аналогия помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, которые лучше усваиваются, тогда, когда они вводятся не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных или отличительных признаков предыдущего и последующего.

Целесообразность такого изучения связана с тем, что обнаружение общих черт в объектах или явлениях позволяет высказывать гипотезы, а реализация сопоставлений и противопоставлений способствует осознанию и лучшему запоминанию свойств и признаков изучаемых объектов.

Установление родственных связей.

В своей работе П.М.Эрдниев отмечает, что если освоение знаний осуществляется укрупненными порциями, то создаются лучшие условия для возникновения и системного качества знаний, т.к. элементы знаний образуют укрупненную единицу усвоения лишь благодаря многообразным связям между этими элементами.

Одним из способов создания таких внутритемных и межтемных связей является установление родственных связей между логически разнородными понятиями при изучении их методом УДЕ.

В данном случае особенно важным представляется выбор стержневого понятия, темы, или в терминах теории систем, системнообразующего фактора, потенциально содержащего информацию обо всей системе.

Примером использования метода УДЕ в данном случае может являться изучение линейного уравнения, линейного неравенства, линейной функции в единой укрупненной теме «Линейные функции, уравнения и неравенства». Логическим стержнем в данном случае является построение графика линейной функции.

1.3. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ в работе с задачами

В книге под редакцией Т.А.Ивановой «Теория и технология обучения математике в средней школе» под задачей понимается задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все, вытекающие из них следствия.[6,с. 164]

Таким образом, в любой задаче есть условие, то есть исходные данные, заключение, то есть требование, которое нужно выполнить, и субъект, который это требование выполняет.

Роль задач в математике огромна. Так авторы, в выше указанном методическом пособии, отмечают, что задача является целью и средством обучения математики.

С точки зрения П.М.Эрдниева в работах над математической задачей отчетливо выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:

а)        составление математического упражнения;

б)        выполнение упражнения;

в)        проверка ответа (контроль);

г)        переход к родственному, но более сложному упражнению. [7,с.13]

П.М.Эрдниев обращает внимание на то, что в существующей практике обучения ограничиваются большей частью вторым из указанных этапов.

Для развития личности необходимо формировать умение учащегося самому сформулировать вопрос и, применяя математические знания, найти ответ на него. Одним из способов пропедевтики такого качества ума является составление задач учеником на уроках.

Работу над задачей не целесообразно завершать получением ответа к ней; необходимо приемом обращения составлять и решать в сравнении с исходной (прямой) задачей новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в новых связях между величинами исходной задачи.

Для этого в условие исходной задачи вводится ее ответ, а некоторые числа из условия переводятся в разряд искомых.

В процессе преобразования прямой задачи в обратную учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи. Совокупность пары прямой и обратной задачи - это единое, качественно новое упражнение, одна из частей которого целиком выступает продуктом творчества учащихся, будучи структурным продолжением другой [7,с.38].

Опыт обучения П.М.Эрдниева на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать многокомпонентное задание, образующиеся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей:

а)        решение обычной «готовой» задачи;

б)        составление обратной задачи и ее решение;

в)        составление аналогичной задачи по данной формуле или уравнению и решение ее;

г)        составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей;

д)        решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачей.

Главное в работе над укрупненными задачами - чтобы все составные части по возможности были выполнены в указанной последовательности на одном занятии (при нехватке времени - хотя бы устно или обсуждены кратко с завершением в домашней работе). [7,с. 14]

Акцент на необходимость пространственного и временного совмещения элементов укрупненного знания имеет психологическую причину. Согласно научным данным всякая информация, воспринятая человеком, циркулирует в так называемой оперативной памяти в течение 15-20 мин., после чего «уходит» на хранение в долговременную память. Фаза оперативной памяти наиболее оптимальна для всевозможных перекодировок информации, для преобразования знаний. [7,с. 15]

Из изложенного в первой главе материала можно сделать следующие выводы: не смотря на то, что использование метода УДЕ требует от учителя творческого подхода к переструктурированию последовательности изучения теоретического материала, детальной проработки записей на доске и в тетрадях, доработки задачного материала, целесообразность его использования в обучении очевидна, т. к. помимо значительной экономии учебного времени информация, полученная с помощью данного метода, быстро запоминается, системна, долговременна и устойчива к сохранению во времени.

Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Прогрессии» методом УДЕ

2.1. Логико-дидактический анализ темы «Прогрессии»

Проведем логико-дидактический анализ темы «Арифметическая и геометрическая прогрессия» по учебнику «Алгебра 9» авторского коллектива Алимов Ш.А., Колягин Ю.Н. и др.

В теме «Прогрессии» (глава 5) выделены следующие четыре крупных блока:

1. Числовая последовательность
2. Арифметическая прогрессия
3. Геометрическая прогрессия
4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Проведем анализ теоретического материала каждого из них.

В параграфе «Числовая последовательность» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы:

• понятие числовой последовательности (конечной и бесконечной) и способы ее задания,
• определение n-го члена последовательности и его номера.

Понятие, последовательность вводится через практический пример, на интуитивном уровне, строгого определения не дается. Целесообразно ввести определение последовательности, как частного случая функции (числовая последовательность есть функция натурального аргумента), т.к. введение корректного определения будет способствовать созданию внутрипредметных связей.

Далее рассматриваются способы задания последовательности: словесный, описанием, аналитический и рекуррентный. Особое внимание авторы уделяют двум последним, т.к. именно эти способы задания используются для введения определения геометрической и арифметической прогрессии и доказательств теорем в данной теме. Отсюда следует необходимость более подробной и детальной проработки их с учащимися. Выделение учителем сходств, отличий, положительных и отрицательных моментов применения различных способов задания последовательностей.

Второй блок в теме «Прогрессии» - «Арифметическая прогрессия». Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц:

• определение арифметической прогрессии,
• характеристическое свойство арифметической прогрессии,
• формула n-го члена арифметической прогрессии,
• теорема о сумме n-первых членов арифметической прогрессии.

Определение арифметической прогрессии:

«Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для вех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап + d, где d - некоторое число».

Оно дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность». Видовое отличие задается индуктивно, с помощью рекуррентного способа задания последовательности, следовательно, необходима актуализация данной формы задания.

Возможна следующая словесная формулировка:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.

Итак, можно сделать выводы о том, что учителю нужно обратить внимание на отработку следующих особенностей определения:

1. Какое понятие является родовым (числовая последовательность);
2. Каковы видовые отличия:

• выполнение рекуррентной формулы со второго члена;
• необходимо задание первого члена и разности арифметической прогрессии - d,
• постоянство числа d;
• отсутствие ограничений на d (необходимо наличие заданий, где оно равно нулю, отрицательное, положительное, иррациональное);
• выполнение формулы «для всех натуральных n»,а именно

• «всех»;
• «натуральных n»;

Особое внимание следует уделить d- разности арифметической прогрессии и способу ее вычисления.

Для мотивации изучения данного понятия можно предложить учащимся задачу на практическое применение арифметической прогрессии. Приведем примеры таких задач.

1. В физике - свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью,... секунду полета?
2. В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012,...
3. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня,...?
4. В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «...Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил...» (2, 4, 6, 8,...).

Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет...» (1, 3, 5, 7,...)[5 стр.250].

Из определения арифметической прогрессии следует ее свойство. «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов».

Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

В логической структуре теоремы присутствует два условия (сложное условие):

1) последовательность - арифметическая прогрессия; 2) n>1.

Связь между условиями конъюнктивная.

Заключение: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2.

Способ доказательства синтетический, прием алгебраический (основан на использовании определения арифметической прогрессии).

Имеются возможности для формирования навыков формулировки и доказательства обратного предложения:

Если числовая последовательность такова, что каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - арифметическая прогрессия.

Доказательство:

ап = ( ап-1 + ап+1 )/2=>

2ап = ап-1 + ап+1  

                ап - ап-1 = ап+1 - ап = d =>

                ап = ап-1 + d, ап+1 = ап +d.=>

а1, а2, а3, ..., ап ,... - арифметическая прогрессия по определению.

Т.к. доказаны свойство и признак арифметической прогрессии, то можно сформулировать критерий:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Наличие критерия позволяет сформулировать равносильное определение - числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Необходимо отметить, что доказательство обратной теоремы и формулировка критерия и равносильного определения целесообразна в более сильном классе, в противном случае можно ограничиться моделированием обратной теоремы.

Следующая дидактическая единица - формула n-го члена арифметической прогрессии: ап = а1 + (n-1)d

В учебнике формула приведена без доказательства. Гипотеза о существовании данной формулы вводится на основе неполной индукции.

Целесообразно объяснить ученикам, что умозаключение, сделанное на основе этого метода, является лишь вероятным и требует доказательства выдвинутой гипотезы. Ученикам можно предложить следующий способ доказательства:

а1 = а1 

а2 = а1 + d

а3 = а2 + d

n-равенств, сложим почленно

...

ап-1 =ап-2 + d

ап =ап-1 + d

ап = а1 + (n-1)d

Продолжая функциональную линию темы, можно отметить, что арифметическую прогрессию можно задать с помощью линейной функции у = d(х - 1) + а1, где а1 - первый член арифметической прогрессии (х € N ).

В качестве мотивации введения формулы n-го члена учитель может попросить учеников найти, например, 255 член арифметической прогрессии, если а1 = 2, d = 3. Зная только определение прогрессии, это сделать не совсем удобно, так как придется находить предыдущие 254 члена последовательности. Возникает потребность вывести формулу n-го члена.

Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии:

 Sп =( a1 + an )/2*n.

Метод доказательства в логическом плане - синтетический, в содержательном - выражение одной и той же суммы двумя способами.

Перейдем к рассмотрению третьего блока темы - «Геометрическая прогрессия». Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц:

• определение геометрической прогрессии,
• характеристическое свойство геометрической прогрессии,
• формула n-го члена геометрической прогрессии,
• теорема о сумме n-первых членов геометрической прогрессии.

Определение геометрической прогрессии:

«Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bп ≠ 0, q - некоторое число, не равное нулю».

Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность» соответствует родовому понятию в определении арифметической прогрессии.

Видовое отличие, также как в определении арифметической прогрессии, задается индуктивно с помощью  рекуррентной формулы общего члена bn+1 = bп*q.

Структура определений похожа Өn+1 = Өn + (*) число, но в случае с геометрической прогрессией сложение заменяется на умножение и есть ограничения на n-ый член последовательности и q (bп ≠ 0, q ≠ 0 ). Это требует дополнительного внимания и отработки на практике.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что отработка понятия геометрической прогрессии включает в себя те же особенности, что при введении определения арифметической прогрессии (перечислены ранее) и дополняется следующими: 1) bп ≠ 0, 2) q ≠ 0.

В качестве мотивации для изучения данного понятия можно рассмотреть следующие задачи:

1. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за одну, две, три,... минуты.
2. Вкладчик внес в сберегательный банк 3000 р. Банк начисляет ежегодно 5 % от суммы вклада. Какой станет сумма вклада через один, два, три,... года.

Рассмотрим свойство геометрической прогрессии:

«Если все члены прогрессии положительные, то bп =√bп-1bп+1 , то есть каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов». Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия».

Структура формулировки теоремы аналогична структуре свойства арифметической прогрессии, а именно - имеет два условия. Первое условие также, накладывает ограничение на вид последовательности -«геометрическая прогрессия», второе условие на число n - n>1, но появляется ограничение - все члены прогрессии положительны. Связь между условиями, как и в случае с арифметической прогрессией - конъюнктивная.

Заключение выражено в виде формулы bп = √bп-1bп+1. Так же, как в характеристическом свойстве арифметической прогрессии, в формуле присутствует n, n-1, n+1 члены.

Метод доказательства, как и в случае арифметической прогрессии, в логическом плане - синтетический, в содержательном - алгебраический, основанный на использовании определения геометрической прогрессии.

Следует отметить сходство структуры доказательства:

Заметим, что полученная при доказательстве свойства формула b2п=bп-1bп+1. верна для любых геометрических прогрессий, и лишь при переходе к выражению bп = √bп-1bп+1 появляется ограничение на положительный знак элементов прогрессии. Причем переход от b2п = bп-1bп+1.к формуле |bп| = √bп-1bп+1 также корректен. В результате чего данное свойство можно обобщить для любых геометрических прогрессий:

Квадрат члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов.

Либо: модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Сформулированные свойства эквивалентны, поэтому для рассмотрения с учащимися учитель может выбрать оно из двух по своему усмотрению.

К данным теоремам можно сформулировать обратные и доказать их истинность:

Если числовая последовательность bп  такова, что квадрат каждого члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия.

Доказательство: b2п = bп-1bп+1=>

         bп / bп-1 = bп+1 /  bп  = q=> 

        bn = bп-1*q, bn+1 = bп*q =>

         b1, b2, b3, …, bn, ... - геометрическая прогрессия по определению.

Если числовая последовательность такова, что модуль каждого член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия.

Доказательство: |bп| = √bп-1bп+1  => b2п = bп-1bп+1 (далее доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы):

                bп / bп-1 = bп+1 /  bп  = q =>

                         bn = bп-1*q, bn+1 = bп*q =>

                         b1, b2, b3, …, bn, ... - геометрическая прогрессия по определению.

Схема данных доказательств аналогична схеме доказательств обратной теоремы к свойству арифметической прогрессии и использует тот же прием -подведения под понятие.

Так же как и в случае с арифметической прогрессии, возможна формулировка критерия, а значит и равносильного определения:

1)Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов.

Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов.

2)Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Как и в теме «Арифметическая прогрессия» возможно создание связи с понятием функция, а именно представление геометрической прогрессии в виде функции у = b1qx-1 , где b1 - первый член геометрической прогрессии, (х € N ).

Проанализируем формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn-1 . Как и в случае с арифметической прогрессией, n-ый член зависит от первого члена, номера элемента (n-1) и числа - q. Но есть и следующие отличия: замена знака сложения на умножение, переход (n-1) в показатель числа q.

Как и при выведении формулы n-го члена арифметической прогрессии данное выражение получено на основе метода неполной индукции. Строгого доказательства в учебнике так же не приведено. Рассмотрим следующий способ доказательства:

b1 = b1 

b2 = b1 * q

b3 = b2 * q

n-равенств, умножим почленно

        …

bп-1 =bп-2 * q

bп =bп-1 * q

bп = b1 * qn-1

Данное доказательство, аналогично доказательству теоремы о формуле n-го члена арифметической прогрессии, в нем используется определение геометрической прогрессии, с помощью него выражаются n первых элементов прогрессии. Но в предоставленном доказательстве почленное сложение заменяется умножением.

Рассмотрим следующую дидактическую единицу - формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии Sп = b1 (1- qn ) / (1 – q), q ≠ 1(если q = 1, то Sп = b1 п). Формулы различны, хотя, как и в случае с арифметической прогрессии сумма зависит от первого члена и числа - q. В данном случае из-за присутствия ограничения на q (q≠1) доказательство разбивается на два случая:. q ≠ 1 и q = 1 

Вывод формулы для q = 1 прост и основывается на использовании определения геометрической прогрессии.

Случай, когда q ≠ 1 имеет общие методы доказательства, что при выводе теоремы о сумме n-первых членов арифметической прогрессии, а именно:

1. в логическом плане метод доказательства - синтетический;
2. в содержательном - выражение суммы n первых членов, используя формулу n-го члена прогрессии.

В качестве мотивации для введения формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии можно использовать легенду «о шахматной доске»:

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за остроумную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Царь решил отблагодарить ученого и сказал, что исполнит его самое смелое желание. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую клетку - 2 зерна, за третью-4, за четвертую - 8, за пятую - 16,....

Таким образом, царь должен был отдать зерна за все 64 клетки доски. Много ли зерна попросил ученый?

В параграфе «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы:

• определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
• определение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формула для ее нахождения.

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

«Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы».

Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «геометрическая прогрессия». Видовое отличие задается описательно «модуль ее знаменателя меньше единицы».

Рассмотрим следующую дидактическую единицу:

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма ее первых n членов при n —> ∞.

Формула: S = b1 / (1- q).

Определение и формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии вводится через предельный переход, что ново для учащихся. Перед введением данного понятия целесообразно рассмотреть конкретный пример и его графическую интерпретацию - задача 1 из §32, и только после этого переходить к формальному доказательству.

Итак, сделаем общие выводы из приведенного анализа теоретического материала:

Из таблицы видно, что темы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия» имеют одинаковую структуру:

• определение

• характеристическое свойство
• формула n-го члена
• формула суммы n-первых членов.

Причем первые три дидактические единицы в данных темах сопоставимы и противопоставимы, что дает возможность использовать метод УДЕ при их изучении. Применение данного метода в обучении позволяет активизировать поисковую деятельность учащихся, способствует более быстрому, но в тоже время долгосрочному запоминанию материала.

Отметим основные методологические знания данной темы:

• Способы задания числовых последовательностей.

• Определения арифметической и геометрической прогрессии, теоремы и формулы, относящиеся к ним.

• Связь с темой «функция».

• Арифметическая и геометрическая прогрессии частный вид числовой последовательности.

Есть возможность для формирования следующих методов познания:

• сравнение,

• неполная индукция,

• аналогия.

Следует отметить наличие аналогии в данных темах. Данная особенность позволяет организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся, так как осознание закономерности схемы введения понятия арифметической прогрессии позволяет создать условия для выдвижения гипотез о свойствах и признаках геометрической прогрессии и методах доказательств данных теорем. Использование метода УДЕ при введении данной темы базируется на использовании аналогии этих понятий, но в то же время подразумевает более глубокое исследование, включающее в себя не только сопоставление этих понятий, но и анализ их различий, а также наличие комплекса специально подобранных упражнений.

Возможно знакомство учащихся с историей возникновения понятия прогрессии, арифметической и геометрической прогрессий, различными историческими задачами, связанными с данной темой.

Историческая справка.

Термин «прогрессия» (от латинского слова progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Равенство вида ап - ап-1 = ап+1 - ап они называли непрерывной арифметической пропорцией, а равенство вида bп / bп-1 = bп+1 /  bп  непрерывной геометрической пропорцией.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были ещё у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Математика Древней Греции.

В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел.

Пример 1: Пифагор

Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат: 1+3+5+...+(2n-1)= n2 .

Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (III в. до н.э.).

Пример 2: Архимед

Для нахождения площадей и объемов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел:

12 + 22 + З2 + n2 = 1/6 n(n + l)(2n + 1)

Архимед рассмотрел ещё одну не менее интересную задачу: если бы вся вселенная состояла сплошь из песка, то и тогда нашлось бы число, с помощью которого можно было бы выразить такое количество песчинок. Заслуга Архимеда именно в том, что он придумал, как называть большие числа и как проводить с ними вычисления (при вычислениях он пользовался только свойствами арифметической и геометрической прогрессии, которые в то время были известны).

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана Диофантом (III в.н.э.).

Пример 3: Алкуин, «Задачи для изощрения ума юношей»

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй - два, на третьей - три и так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

Математика Эпохи Возрождения

Леонард Пизанский (Фибоначчи) в 1202 году написал «Книгу абака», которая состояла из 15 разделов. 12 и 13 разделы состоят из разнообразных задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, а также суммирования арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел. А также приводится правило отыскания суммы членов произвольной арифметической прогрессии.

Михель Штифель (1487 - 1567), профессор Йенского университета сопоставил арифметическую и геометрическую прогрессии для упрощения действий с большими числами, что впоследствии помогло Й. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.

В «Арифметике» Магницкого Л.Ф. (1669 - 1739) присутствовала задача:

Некто продавал лошадь за 150 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1А копейки, за второй - половину копейки, за третий - 1 копейку и т.д.». Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

Покупатель действительно проторговался. Он за 24 подковных гвоздя должен был заплатить (1/4 + ½ + 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 223).

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К.Гауссе (1777 - 1855). Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 ... равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Данные исторические справки можно использовать на различных уроках для повышения мотивации учащихся к изучению темы «Прогрессии».

Проведем логико-дидактический анализ задачного материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

В качестве основания классификации возьмем рассматриваемые в данной теме дидактические единицы.

1. Определение числовой последовательности.

Типы упражнений:

а). Вычислить n-ый член последовательности:

• последовательность задана рекуррентно: №3 (п.27), 365. 368, 367, 369, 448,461.
• последовательность задана формулой n-го члена: №1  (п.27), 361(1), 362,365, 446, 447.

б). Найти номер члена последовательности, заданной формулой n-го члена:

№2 (п.27). № 361(2), 363 а), 366.

в). Выяснить является ли число членом последовательности: №363 б), 364.

В тетрадях целесообразно вести записи в две колонки.

2. Определение.

Арифметической прогрессии                 геометрической прогрессии

Типы упражнений:

1. Задачи, в которых задана последовательность. Требуется выяснить: является ли она арифметической или геометрической прогрессией.

№ 1 (п.28). 373,450.                                         № 1 (п. 30). 408

Пример формулировки задания:

№ 373(1). Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена, является арифметической прогрессией: ап = 3 - 4n.

2.Задачи, в которых требуется найти первый член, разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии, записать первые n членов арифметической (геометрической) прогрессии.

№371, 372, 463,449.                        № 406, 407.

Пример формулировки задания:

№ 371. Запишите первый член и разность арифметической прогрессии: 6, 8, 10,... .

3. Характеристическое свойство прогрессии

Типы упражнений:

3.Между двумя данными числами вставить число так, чтобы получилось три последовательных члена арифметической (геометрической) прогрессии:

№ 465(2), 385, 464.        №471(4),414,415,472.

Пример формулировки задания:

Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии, если:

а18 = -6,а20 = 6 .

4.Показать, что три числа являются членами арифметической или геометрической прогрессии:

№ 467.                №419.

Пример формулировки задания:

№467. Показать, что следующие числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии: sin 5а, sin3a cos2a, sin а.

4. Формула n-го члена

Типы упражнений:

                5.Найти n-ый член арифметической (геометрической) прогрессии.

№2 (п. 28). 379, 380, 477, 478, 385,       № 2 (п. 30). 409, 410, 412, 470, 455,
451.                456,457

Пример формулировки задания:

№2(п.28) Найти седьмой член геометрической прогрессии, если

b1 = 81,q = 1/3 .

6.Найти разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии, используя формулу n-го члена.

№ 379, 462.                № 412.

Пример формулировки задания:

№412(1). Найти знаменатель геометрической прогрессии, если b1 = 2, b5 = 162.

7.Найти а1 ( b1 ), используя формулу n-го члена.

№ 380,381.                                                 №415.

Пример формулировки задания:

№380(1). Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а9 = 12.

8.Задачи, в которых требуется найти номер члена.

№ 3(п.28), 376, 378, 384.                №3(п.30), 411, 413.

Пример формулировки задания:

№3(п.30). Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, ... . Найти номер этого члена.

9.Является ли число членом арифметической прогрессией.

 № 377, 378.

Пример формулировки задания:

№ 377. Является ли число 12 членом арифметической прогрессии -18, -15,-12,...?

5. Теорема о сумме n первых членов

Типы упражнений:

10. Задачи, в которых требуется найти сумму п первых членов арифметической или геометрической прогрессии.

№2(п.29), 390, 393, 394,                        №2(п.31), 420, 421, 426,427,

№396, 397, 398, 402,                                458, 459,

№2(п.29), 391, 392, 395        ,                        №425

                                                        №481,430(3,4)

Пример формулировки задания:

№2 (п.31). Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 6, 2, 2/3, …

11. Задачи, в которых требуется найти номер или первый член или п ый член или разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии чрез формулы суммы п первых членов.

№400, 401, 403, 404, 469,                                №3(п.31), 422,

№4(п.29), 468, 399                                        №4(п.31), 423,

                                                                №5(п.31), 425,

                                                                №424, 429, 430(1,2)

Пример формулировки задания:

№400. Найти ап и d арифметической профессии, у которой:

а1 = 10, n = 14, S14 = 1050.

12. Задачи-теоремы, в которых надо доказать новые формулы, связывающие члены арифметической (геометрической) прогрессии.

№388,389.                                                №479, 480

Пример формулировки задания:

№388. Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство ап + ак = ак-1. + ак+1.

6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

13. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

№ 431, 432, 435, 460.

Пример формулировки задания:

Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: -81, -27, -9, ... .

14. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

•        Прямое применение:

а)        Прогрессия задана перечислением членов: № 433. 436.

б)        Прогрессия задана первым членом и знаменателем: № 434.

в)        Прогрессия задана рекуррентной формулой: № 435.

• Найти первый член прогрессии или знаменатель: № 438.
• Решение уравнений с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: № 489, 440.

•        Использование бесконечно убывающей геометрической прогрессии в записи бесконечных периодических десятичных дробей в виде обыкновенных дробей: № 445.

Задачи, которые подчеркнуты, носят дидактический характер. Эти задачи должны уметь решать все ученики. Упражнения отвечают принципам полноты, однотипности, от простого к сложному, непрерывного повторения. Основной метод решения выше рассмотренных задач выражение неизвестной величины из формулы.

Необходимо включить задания на отработку определений арифметической и геометрической прогрессии:

1.Верны ли следующие предложения

а) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией

б) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией.

в) Последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией.

г) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется геометрической прогрессией.

д) Числовая последовательность ненулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

е) Числовая последовательность не нулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией

2. Вставьте пропущенные слова в определении

а) Числовая … ,в которой каждый следующий член, начиная со … получается из предыдущего ... одного и то же числа, называется арифметической прогрессией.

б) ... последовательность не нулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, …, называется геометрической прогрессией.

в) Числовая последовательность ... , в которой каждый следующий член, начиная ... , получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется ... прогрессией.

Также необходимо предложить школьникам упражнения следующего характера:

Определите, является ли заданная последовательность арифметической или геометрической прогрессией:

1. 2,4,6,8, 10, 12,... .
2. 2,7,13,18,... .
3. 5,5,5,5,... .
4. 3,9,27,81,243,... .
5. 4,0,0,0,... .
6. 0,4,8,12,... .
7. 1,1/2,1/3,1/4,1/5,...

Последовательность выполнения упражнений может быть такой:

1. упражнения на отработку определения числовой последовательности: №361(1), 362, 367, 368, 363 (а), 361, 366, 363(6), 364.
2. упражнения на отработку определения арифметической и геометрической прогрессии.

а)        Верны ли следующие предложения (задания см. выше).

б)        №373,408,371,372,406,407

в)        вставить пропущенные слова (задания см. выше).

г)        определите, является ли заданная последовательность арифметической или геометрической прогрессией.

3.        характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии

№466,419, 464.

4.        формула п-го члена

№379480, 412, 374, 386 409,411, 375, 382 ,410.

5.        теорема о сумме п -первых членов арифметической и геометрической прогрессии

№390, 393, 391, 420, 430(3, 4), 400, 401, 399, 422, 425, 430(1, 2)

6.        задачи, содержащие формулы, связывающие члены арифметической и геометрической прогрессии

№388, 389, 479, 480. (эти задачи не нужно решать всем ученикам, только сильным ученикам).

Исходя из всего выше сказанного, можно выделить следующие методические рекомендации по использованию метода УДЕ при изучении темы «Прогрессии»:

I. Введение нового теоретического материала целесообразно организовать в форме лекции имеющей следующую структуру.

1. Открываются два новые понятия - арифметическая и геометрическая прогрессии, формулируются их определения. В результате их сравнения (сопоставления и противопоставления) делается вывод о возможном сходстве их свойств.
2. Дальнейшее изучение теоретического материала происходит следующим образам: учащиеся открывают и доказывают свойства для одной из прогрессий и, учитывая разницу определений, выдвигают гипотезы и доказывают свойства другой прогрессии.

II. Изучение задачного материала строится на сходстве теоретического: учащиеся выделяют основные типы задач и методы их решения для одной прогрессии и, используя аналогию, выделяют основные ключевые задачи и методы их решения для другой прогрессии. При этом ученик должен не только решать «готовые» задачи, но и участвовать в процессе их составления.

В программе по математике для общеобразовательных школ 2009 года (сост. Т.А.Бурмистрова) на тему «Прогрессии» отведено 14 часов и даны следующие методические рекомендации:

«Основная цель - познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессий.

Учащиеся знакомятся с понятием числовой последовательности, учатся по заданной формуле n-го члена при рекуррентном способе задания последовательности находить члены последовательности.

Знакомство с арифметической и геометрической прогрессиями как числовыми последовательностями особых видов происходит на конкретных практических примерах.

Формулы n-го члена и суммы п первых членов обеих прогрессий выводятся учителем, однако требовать от учащихся умения выводить эти формулы необязательно.

Упражнения не должны предполагать использование в своем решении формул, не приведенных в учебнике. Основное внимание уделяется решению практических и прикладных задач». [4,с. 14]

Цели темы «Прогрессии»

образовательные

• познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессии
• выработать умения, связанные с задачами на арифметическую и геометрическую прогрессии

развивающие

• развитие познавательного интереса к математике, литературе, истории
• развитие навыков исследовательской деятельности

воспитательные

• воспитание коммуникативных умений
• формирование умения проводить оценку и самооценку знаний, умений и навыков

Прогнозируемый результат

В ходе учебной деятельности ученик:

• формулирует определения понятий арифметическая, геометрическая, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; описание числовой последовательности;
• записывает формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии, геометрической прогрессии, суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулы n-го члена прогрессий;
• различает рекуррентный способ задания последовательности и с помощью формулы n-го члена;
• формулирует словесно и записывает символически свойства арифметической и геометрической прогрессий;

• доказывает формулы сумм, свойства прогрессий;
• применяет изученные формулы при решении задач различного уровня;

• понимает, что понятия арифметической и геометрической прогрессий аналогичны;
• использует метод аналогии для «открытия» новых теорем (свойств, формул) и их доказательства;

• выделяет сходства и различия в содержании понятий;
• выделяет по аналогии типы ключевых задач.

2.2. Проекты системы уроков по теме

С учетом требований программы можно предложить следующее планирование темы «Прогрессии»:

Урок 2.

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока: урок изучения нового (1 час).

Учебная задача: «открыть» определение арифметической и геометрической прогрессий совместно с учащимися методом аналогии, как одним из источников укрупнения теоретического материала.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

• формулирует определения арифметической и геометрической прогрессий;
• устанавливает сходства и различия между арифметической и геометрической прогрессиями;
• понимает, что арифметическая и геометрическая прогрессии являются числовыми последовательностями;
• записывает формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессий;
• поясняет, при каких условиях применяется тот или иной способ нахождения члена арифметической и геометрической прогрессий;
• знает схему доказательства формул n-го члена для арифметической и геометрической прогрессий.

ХОД УРОКА.

Урок 3.

Тема урока: Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии.

Тип урока: урок изучения нового (1 час).

Учебная задача: В совместной деятельности с учениками открыть характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессии, используя метод аналогии, как одним из источников укрупнения теоретического материала.

Диагностируемые цели:

В результате ученик

• формулирует характеристическое свойство арифметической прогрессии;
• формулирует характеристическое свойство геометрической прогрессии;
• формулирует обратные предложения к свойствам арифметической и геометрической прогрессий;
• воспроизводит схему доказательства характеристического свойства арифметической и геометрической прогрессии;
• знает сходства и различия характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессии;
• знает, как по аналогии со свойством арифметической прогрессии доказывается характеристическое свойство геометрической прогрессии;
• понимает, как на основе свойств арифметической и геометрической прогрессий сформулировать критерий для данных дидактических единиц;
• понимает, как, используя критерии арифметической и геометрической прогрессий, сформулировать равносильные определения.

ХОД УРОКА.

Урок 4.

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Тип урока: урок усвоения теоретического материала (1 час).

Учебная задача: Выявить уровень усвоения теоретического материала

темы.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

• формулирует определения арифметической и геометрической прогрессий;
• записывает формулы n-ого членов арифметической и геометрической прогрессий;
• устанавливает сходства и различия между арифметической и геометрической прогрессиями;
• знает схему доказательства формул n-ого члена;
• формулирует характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий;
• формулирует обратные предложения к свойствам арифметической и геометрической прогрессий;
• воспроизводит схему доказательства характеристического свойства арифметической и геометрической прогрессии;
• знает сходства и различия характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессии;
• понимает, как на основе свойств арифметической и геометрической прогрессий сформулировать критерий для данных дидактических единиц.

ХОД УРОКА.

Урок 5.

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока: урок решения ключевых задач (1 час).

Учебная задача:

совместно с учащимися, используя системный подход к решению задач и аналогию, как главные источники метода УДЕ, выделить основные ключевые задачи темы и методы их решения.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

• выделяет основные ключевые задачи темы;
• знает методы решения данных ключевых задач;
• формулирует новые задачи, аналогичные ключевым;
• применяет полученные знания при решении задач на уроке