Развитие математических способностей.
статья по алгебре на тему

        Развитие математических способностей.

Способности к изучению математики - это те индивидуальные особенности умственной деятельности школьника, которые обуславливают успешное овладение математикой как учебным предметом, относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладение знаниями, умениями, навыками в области математики. Какие же особенности умственной деятельности определяют успешное усвоение школьником математики?

 Одним из решающих условий  является активное, положительное отношение ученика к математике, интерес к ней, склонность заниматься ею.

Другое важное условие- наличие характерологических черт, таких как , целеустремлённость, настойчивость, трудолюбие, организованность, сосредоточенность. Велика роль и так называемых интеллектуальных чувств (чувство удовлетворения от напряжённой умственной деятельности, радость творчества).Интерес к математике необходим, но сам по себе он не является способностью. Без настойчивости математикой не овладеешь, но математической способностью её назвать нельзя. Поэтому , наряду с условиями успешного овладения математикой  выделяем и собственно математические способности как особенности умственной деятельности человека.

 Чем же характеризуется умственная деятельность способных к математике учащихся?

Способности к математике сказываются , прежде всего, в особенностях восприятия школьником математической задачи(задачи в широком смысле слова- арифметической, геометрической).Способные учащиеся, впервые знакомясь с задачей, сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задачи, и величины, несущественные для данного типа задачи, но существенные для конкретного варианта. Это позволяет способным учащимся  сразу видеть её «скелет», очищенные от всех конкретных значений и словно «просвечивающий» сквозь конкретные данные. Они  быстро могут  отнести задачу или математическое выражение к определённому типу.

 Способный к математике ученик умеет последовательно, обоснованно, логически рассуждать. В частности он способен к широкому обобщению математических объектов, отношений и действий. Например, изучив формулу квадрата разности двух чисел, ученик сразу видит возможность быстрого решения в уме примера 992 путём применения этой формулы, как (100-1)2.

 Многочисленные наблюдения дают возможность выделить те внешние признаки, на основании которых можно предполагать наличие у детей математических способностей.

Во- первых - явный интерес к математике, который проявляет ребёнок, склонность без принуждения, с удовольствием заниматься ею.

Во- вторых- овладение определёнными математическими умениями и навыками в раннем возрасте. Известно, что математические способности нередко начинают формироваться у детей сравнительно рано. У некоторых великих математиков они начинали формироваться уже в дошкольном или в раннем возрасте, задолго до систематического обучения математики (К.Ф.Гаусс, С.В. Ковалевская).

 В- третьих- быстрое продвижение в области овладения математикой. Способный ученик сравнительно быстро и легко овладевает математическими умениями и навыками.

В- четвёртых- относительно высокий уровень развития, уровень достижений. Речь идёт об относительно высоком уровне достижений, при котором необходимо принимать во внимание возраст ребёнка. Если понятие об отрицательном числе или умение доказать теорему овладевает  четырнадцатилетний школьник, то этот факт сам по себе никак не может говорить о математических способностях. Но если этими понятиями или навыками овладеет ребёнок 5-6 лет, то это, конечно, совсем другое дело.

 Конечно, предоставляя школьникам большие или меньшие возможности для творческих поисков решения проблемы, взрослые не должны занимать пассивной позиции. Они должны помогать учащимся, чтобы избежать топтания на месте.

Такое обучение (его называют - проблемное обучение) может осуществляться на разных уровнях.  Практика обучения заключается в том, что взрослый направляет ребёнка на то , чтобы решить проблему(вывести формулу, доказать теорему).

Например , при изучении квадрата суммы и разности двух выражений учитель предлагает серию заданий: выполнить умножение многочленов

 (а+б)(а+б) ; (2х-в)(2х-в);  (у+х)(у+х) и с помощью вопросов и наблюдений учащихся подвести их к формуле.

  По характеру проявления познавательного интереса в процессе изучения предмета выделяют уровни развития познавательного интереса: низкий уровень, средний уровень, высокий уровень. У учащихся с низким уровнем развития познавательного интереса активность на уроке ситуативная, часты отвлечения, предпочтение отдаётся задачам репродуктивного характера. Учащиеся со средним уровнем развития познавательного интереса предпочитают также поисковый характер деятельности, но не всегда склонны к выполнению творческих заданий, их самостоятельная деятельность носит эпизодический характер, зависит от внешних стимулов. Учащиеся с высоким уровнем развития познавательного интереса отличается самостоятельностью, активным участием на уроке, предпочтением учебной деятельности более трудного характера.

  Наиболее эффективным путём формирования познавательного интереса к математике является задача. Условия формирования интереса:

 -владение понятием познавательный интерес;

-учёт возрастных и индивидуальных особенностей;

-содержание задачи (задачи должны иметь интересное содержание, то есть формулировку и путь решения);

- трудность задачи ( следует помнить , что при достаточно высокой трудности интерес к решению задачи пропадает);

-свойство школьной локальной устойчивости задачи (интерес  к какой- либо задаче способен вызвать интерес к похожим задачам). Сформулированные условия необходимы и достаточны.

 Основные требования развития познавательного интереса к математике:

-система задач соответствует общей учебной цели;

- система задач обеспечивает дифференцированное обучение.

 Надо помнить , что математические способности сочетаются с глубокими и действенными интересами и склонностями к математике. Изучая математические способности В.А. Крутецкий  установил, что для успеха в математике необходимы:

1.активное положительное отношение к математике, склонность заниматься ею, переходящая на высоком уровне развития в страстную увлечённость;

2. ряд характерных черт, прежде всего, трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремлённость, настойчивость, а также устойчивые интеллектуальные чувства;

3. наличие во время деятельности благоприятных для её выполнения психических состояний;

4. определённый фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области;

5. определённые индивидуально- психологические особенности в сенсорной и умственной сферах, отвечающие требованиям данной деятельности.

Первые четыре критерия следует рассматривать как общие свойства, необходимые для любой деятельности. Последняя группа качеств является специфической, проявляющей успешность только в математической деятельности.

 Для поддержания интереса необходимо вовлечь школьника в активное участие в математическом кружке. Для пробуждения и развития интереса к математике важно популярно показать её значение в современной жизни. Хорошее средство формирование интереса к математике постановка и решение практически значимых для школьника задач. Очень полезно учащимся читать научно-популярную литературу, решать интересные задачи на смекалку. Следует систематически побуждать школьника упражняться в решении оригинальных и интересных задач на соображение. Задачи не только полезны, но и интересны, и учащиеся обычно с большим увлечением решают их. Рассмотрим предложенные Крутецким, Линьковой идр. психологами- математиками задачи:

1.задачи с несформулированным  вопросом. Серия этих задач направлена на выявление особенностей умственного восприятия задачи в процессе математической деятельности.

2.Задачи с недостающими данными. Серия этих задач также направлена на выявление особенностей восприятия.

3. Задачи с изменёнными данными. Серия этих задач также направлена на выявление особенностей умственного восприятия задачи. В эти задачи введены дополнительные ненужные данные, до известной степени маскирующие необходимые для решения показатели.

4.Задачи на доказательство. Учащиеся упражняются в построении правильного , обоснованного, последовательного рассуждения.

5.Задачи на рассуждение(или составление уравнений).

6. Задачи с несколькими решениями. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи.

7.Задачи на соображение. Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако необходимо проявить известную  изобретательность.

8.Задачи на логическое рассуждение. На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность.

9. Задачи с наглядным решением. Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно- образных средств(рисунков, схем, чертежей).

10.Задачи, требующие наглядных представлений. Решение подобных задач тренирует пространственное представление, способность мысленно «видеть» соответствующие фигуры, тела, пространственные соотношения. Учащиеся должны решать в уме , без помощи карандаша и бумаги.

11.Системы типовых задач. Задачи предназначены для исследования особенностей умственного восприятия, мышления, памяти.

12.Нереальные задачи.

13. Задачи с меняющимся содержанием.

14. Прямые и обратные задачи.

15.Задачи  со сложным, трудным для запоминания условием. Эти задачи предназначены на выявление особенностей памяти.

16.Задачи, решение которых требует наличие пространственных представлений.

 Все эти задачи предназначены для развития и формирования восприятия, логического рассуждения , смекалки, сообразительности, памяти, пространственного воображения и мышления.

 Развитию логического мышления так же способствует многообразие текстовых задач, решаемых арифметическим путём. Большую роль играет принцип моделирования в обучении решению задач, средство обучения способам рассуждений, анализу ситуации, выбора стратегии решения задач. В обучении решению задач используются для записи условия схематические рисунки, модели, позволяющие представлять рассматриваемую ситуацию наглядно, без которых трудно понять логику рассуждений.

 Проблемные вопросы и проблемные задачи способствуют развитию мышления, переходу от одного уровня на другой.

 Общеизвестно высказывание М.Горького : «Талант развивается из чувства любви к делу». Роль, которую здесь играет склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек, склонный заниматься ею, энергично упражняет и развивает свои способности, приобретая соответствующие умения и навыки.

 Таким образом , развитие математических способностей учащихся в процессе изучения математики является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач- шуток, математических ребусов, софизмов, анаграмм.

Поиск новых путей активизации творческой деятельности учащихся является одной из неотложных задач современной педагогики и психологии.

    Примеры задач для развития математических способностей.

1.На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной 5м и 8 м. Сколько уложено тех и других труб?

2.До конца суток осталось 4/5 того, что уже протекло от начала суток. Который сейчас час?

3.Банка с мёдом весит 500г. Такая же банка с керосином -350г. Сколько весит пустая банка?

4.Даны две окружности. Радиус первой – 3 см, расстояние между их центрами 10см. Пересекаются ли эти окружности?  (Требуется знать радиус второй).

5.Все целые числа, начиная с 1, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 1995 месте?

6. Шли 12 человек и несли дюжину хлебов. Каждый мужчина нёс по 2 хлеба, каждая женщина - по полхлеба, а каждый ребёнок – по четверти хлеба. Сколько шло мужчин, женщин и детей?