Применение производной
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Тема: « Применение производной»

Цели урока:    -    обобщить и систематизировать знания, умения и  навыки

учащихся  по применению производной;

       - совершенствовать навыки решения задач с применением производной;              

       - развивать логическое мышление;

       - формировать навыки  самоконтроля.

Оборудование: интерактивная доска,  карточки с разноуровневыми  заданиями, ОК « Применение производной».

Ход урока: 1. Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся тему урока,  цель и поясняет, что  во время урока  учащиеся могут использовать раздаточный материал, который находится у них на партах (ОК), задания для обобщения полученных знаний, они выбирают  самостоятельно  уровня усвоения изученной темы:

 А  «3» - желтая карточка

 В  «4» - синяя карточка

С  «5» - красная карточка

Проверяя выполненную работу учащиеся самостоятельно оценивают свою работу.

2. Повторение теоретического материала.

Какие исследования можно проводить с использование производной?

-Составление касательной к графику функции

- Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

- Определение критических точек функции. Нахождение экстремумов функции

-  Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке         ( интервале)

- Решение некоторых текстовых задач

- Проведение полного исследования функции, для более точного построения графика.     ( Слайд 1)

Применение производной в высшей математике для определения выпуклости и вогнутости графика функции, вычислении производных высших порядков.

3. Обобщение полученных знаний.

1. Составление графика уравнения касательной к графику функцииf(x),  проходящей через точку с абсциссой х0.

    а)  f(x) = х3 + х – 5            х0 = 1

(один ученик у доски с подробным объяснением, остальные в своих тетрадях)

Что позволяет определить значение производной в точке х0?

б)  работа в рабочих тетрадях по карточкам с разноуровневым  заданием с последующей проверкой  ( Слайд 2)

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

Один ученик ( из группы А)с места воспроизводит план нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

От чего зависит   возрастание и убывание функции на промежутке?

а) Найти промежутки монотонности функции f(x) = x4 - 4x3 +10

(один ученик у доски с подробным объяснением , остальные в своих тетрадях)

б)  работа в рабочих тетрадях по дифференцированным карточкам  с последующей проверкой  ( Слайд 3)

3. Определение критических точек функции.

Какие точки называются критическими точками? Какая точка называется точкой максимума , точкой минимума?  Перечислите основные этапы нахождения  критических точек.

а) Найдите критические точки функции и вычислите экстремумы функции

f(x) = x4+ 2x2 + 1   (один ученик у доски с подробным объяснением , остальные в своих тетрадях)

б) самостоятельная  работа по дифференцированным карточкам  с последующей проверкой  ( Слайд 4)

4.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Один ученик с места воспроизводит план нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

а) найдите сумму наибольшего и наименьшего значения функции                  f(x) = 2x4 -8x на отрезке[ -2; 1]

(один ученик у доски с подробным объяснением, остальные в своих тетрадях)                                                                                                                                     б) самостоятельная  работа по дифференцированным карточкам  с последующей проверкой  ( Слайд 5)

4.Применение производной в ЕГЭ.

Выполнение заданий Слайда 6 с последующей проверкой.

5.Итог урока

Объявить и прокомментировать оценки учащихся работающих у доски.

Все учащиеся выставляют оценки  на полях своих рабочих тетрадей и сдают тетради на проверку и подтверждение оценок с последующим выставлением в журнал.

6.Домашнее задание.  

Задание б) из карточек разноуровневого  задания.

                    Применение производной.

1. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

(промежутков монотонности).

1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем производную функции.
3. Решив уравнение f, (x) = 0, находим точки которые  разбивают область определения на  промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.
4. Определяем знак производной в каждом промежутке.
5. Если  f, (х) > 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если f,(х) < 0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

2. Критические точки. Экстремумы функции.

1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем производную функции.
3. Решив уравнение f, (x) = 0, находим точки которые  разбивают область определения на  промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.
4. Определяем знак производной в каждом промежутке.
5. Если  f, (х) > 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если f,(х) < 0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом        промежутке.

6.  Если в точке х0 производная меняет знак с. минуса на  плюс , то х0 – точка    минимума. ( хmin )

Если в точке х0 производная меняет знак с  плюса на минус , то х0 –   точка максимума. (хmak )

Точки максимума и минимума называются  экстремума.

7. Значения функции в точках максимума и минимума – экстремумами функции. ( fmak ,f min).

3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Находим область определения функции.

1. Вычисляем производную функции.
2. Указываем область определения функции.

3.Решив уравнение f, (x) = 0, находим  критические точки.

4.Выясняем какие из критических точек  принадлежат указанному промежутку.

5. Вычисляем значение функции  в критических точках,  принадлежащих указанному промежутку и на концах отрезка.

6.  Из полученных значений  выбираем наибольшее и  наименьшее.

    mak f(x) = f (x0) =             min f(x) = f(x0) =

4.Исследование функции и построение графика.

1. Находим область определения функции.
2. Выясняем , является ли функция четной или нечетной, периодической.
3. Находим точки пересечения с осями координат.
4. Находим промежутки знакопостоянства  функции.
5.  Находим промежутки возрастания и убывания функции.
6. Находим точки экстремума и значения функции в этих точках.
7. Вычисляем координаты дополнительных точек.

Применение производной (карточка желтого цвета)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x), проходящей через точку х0 :

        а) f(x) = х2 + 3х – 1                х0= 2;

        б) f(x) = х2 – 4х + 6                х0= – 1.

2. Найдите промежутки монотонности функции:

        а) f(x) = х2 – 2х + 5 ;

        б) f(x) = х2 + 12х – 15 .

3. Определите критические точки функции:

        а) f(x) = х2 – 6х ;

        б) f(x) = 12х – х3.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

        а) f(x) = х3 – 6х2 + 9                [0; 2] ;

        б) f(x) = 3х2 – 6х + 5                [0; 3].

5. Число 36 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Применение производной (карточка синего цвета)

1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x), проходящей через точку х0 :

        а) f(x) = х – 3х2 + 2                х0= – 1;

        б) f(x) = 3х4 – 5х2 – 1                 х0= 2.

2. Найти промежутки монотонности функции:

        а) f(x) = 2х3 – 3х2 + 1 ;

        б) f(x) = 2х2 (х – 2)2 .

3. Определить критические точки функции. Экстремумы функции:

        а) f(x) = х4 – 4х3 ;

        б) f(x) = х4 – 8х2 + 7.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Вычислить сумму наибольшего и наименьшего значения:

        а) f(x) =     х4 – 8х2                         [-1; 5] ;

        б) f(x) = 6х3 – 3х2 – 12х + 7                [-1; 2].

5. Число 81 представьте в виде произведения двух положительных множителей, сумма квадратов которых наименьшая.

Применение производной (карточка красного цвета)

1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x), проходящей через точку х0 :

        а) f(x) =                х0= 3;

        б) f(x) =                  х0= – 1.

2. Найти промежутки монотонности функции:

        а) f(x) =;

        б) f(x) =.

3. Определить критические точки функции. Экстремумы функции:

        а) f(x) = х +  ;

        б) f(x) =.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Вычислить произведение наибольшего и наименьшего значения:

        а) f(x) = (х2 – 7х + 7) ех - 5                 [4; 6] ;

        б) f(x) =2 cos х – cos 2х                [0; π].

5. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была наибольшей.