Логарифмические уравнения
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Общий вид уравнения и метод решения

Примеры

Реши сам

простейшие

1. loga x = b

Решение:     х = аb

log3 x = 4

 x = 34

 x = 81             Ответ: х =81.

1)  log3 x = 3;

2)  log2 x = -3;

3)  log 25 x = 1/2.

2. loga(f(x)) = b

Решение:   f(x) = ab

log5 (x + 10) = 2

x + 10 = 52

x + 10 = 25

x = 25 – 10

x = 15               Ответ: х = 15.  

1)  log2(3x – 5) = 3;

2)  log3(5 – x) = -2;

3)  log0,5(2x – 0,75) = 2;

4)  log9 (x2 – 6) = ½;

5)  log 1/2(x + 5) = -2.

3. loga(f(x)) = g(x)

 Решение:  f(x) = ag(x)

log2 x = x + 1

решается обычно графически

4. loga(f(x)) = loga(g(x))

Решение:

f(x) = g(x),  при условии

f(x) >0

g(x) >0

log2 (2x – 1) = log2 x

   2x – 1 = x     (1),  при условии

   2x – 1 > 0     (2)

   x > 0             (3)

решим уравнение (1)

2х – 1 = х

2х – х = 1

х = 1

неравенства (2) и (3) решать не будем, только проверим

(2)    2 . 1 – 1 > 0             (3)     1 > 0  верно

         2 – 1 > 0

         1 > 0   верно

Ответ: х = 1.

1)  log2(3x – 5) = log216;

2)  log3(5 – 3x) = log3 (x - 4);

3)  log0,5(2x – 0,75) = log0,53x;

4)  log9 (x2 – 6) = log9(5x – 12);

5)  log1/2(2x + 1) = log1/2 (-х2);

6)  log4(x2 – 15x) = log416;

7)  log2(x2 – 2x) = log28;

8)  lg (x2 + 9) = lg10x;

9)  lg (2x  - 8) = lg1;

10) ln(x – 3) = ln e.

5. Все остальные виды уравнений решаются приведением к виду простейших.

Пример 1:    2 . log5x = 3

Применяя свойства логарифмов, имеем:

log5 x2 = 3

x2 = 53,  если х > 0

x2 = 125

x = √125                √125 = √25 . 5 = 5√5

Ответ: х = 5√5.

Пример 2:   log2 x + log2 (x + 4) = log2(4x + 9)

Применяя свойства логарифмов, имеем:

  log2(x . (x + 4)) = log2(4x + 9), при условии

     х > 0

    x + 4 >0

    4x + 9 > 0

log2 (x2 + 4x) = log2(4x + 9)

x2 + 4x = 4x +9

x2 + 4x – 4x – 9 = 0

x2 – 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

х – 3 = 0   или    х + 3=0  

х = 0 + 3          х = 0 - 3

х = 3                х = -3

проверка условий:

х = 3                                    х = -3

    3 > 0                                -3 > 0,  неверно

   3 + 4 > 0                           значит другие

   4 .  3 + 9 > 0                     условия проверять

  все условия                     уже не надо

 верные                              -3   -  не корень

Ответ: х = 3

1)  log2(3x – 5) = 2log24;

2)  lgx + lg x = lg 4;

3)  log2x + log2(x – 2) = 3;

4)  log3(x – 3) – log3(x + 3) = 1;

5)  lg(10x) = 2 – lgx;

6)  log6(x2 – x) = 1 – log63;

7)  log3(5 – 3x) - log3 (x - 4) = 0;

8)  2log3x = log32x + 1;

9)  5log  (x – 2)  = 13;

10) 2log  (1 – x ) = - 24.