Курс лекций по теме "Развитие числа"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Тема 1. Целые и рациональные числа.

П.1. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.

Математика (греч. – знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф.). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше определение математики наполняется всё более богатым содержанием.

Математика и другие науки.

Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлении, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, по укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

Математика и астрономия.

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математического выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их "материальными точками". Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

Математика и физика.

С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математического метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путём.

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому дифференциальному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

Математика и биологические науки.

В биологических науках математический метод играет подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математический метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математического метода в биологический, социальных и гуманитарных науках осуществляется главным образом через кибернетику. Существенным остаётся значение математики для социальных дисциплин (как и для биологических наук) в форме подсобной науки — математической статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого истории, этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод часто отступает на задний план.

Математика и техника.

Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математической логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. В связи с возможностями, которые открыли ЭВМ для решения практических задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретической математики дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная математика сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практических проблем, включая проблемы использования атомной энергии и космического исследования.

П.2. Натуральные числа.

История натурального числа.

Число - важнейшее понятие математики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков. Однако в соответствующих формулировках используется профессиональный язык столь высокого уровня, что попытка передать их точный смысл "простыми и понятными словами", по-видимому, безнадежна. Приходится довольствоваться лишь общими описаниями.

Простейший вид чисел - натуральные числа - исторически возник из потребностей счета: одна лодка, два человека, три дерева и т.д. Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп "два камня ", "две птицы" и "две руки" есть нечто общее: "два". Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разнородных совокупностях, что имело важное значение при обменных операциях типа "раковина за орех".

Развитие счета шло параллельно с изменением в психологическом восприятии понятия "много". Вначале было "один, два, много" или "один, два, три, много", но постепенно граница отодвигалась, формировался натуральный ряд чисел: 1,2, 3, 4 и т.д. Естественный инструмент счета - пальцы на руках - установил первый предел: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества объектов, объединяя их в новые единицы счета: десять десятков - сотня, десять сотен - тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления. Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять - это три сотни и шесть десятков и пять единиц. Не у всех народов десяток стал основным числом счета: одни осознали в качестве первой границы пять (пальцы одной руки), другие - двадцать (все пальцы на руках и на ногах), в Вавилоне употреблялась система с загадочным основанием шестьдесят, в согласии с ней мы до сих пор делим окружность на триста шестьдесят градусов и измеряем время: в часе - шестьдесят минут, в минуте - шестьдесят секунд. Но, в конце концов десятичный принцип стал общепризнанным.

С появлением письменности возникла проблема записи чисел. Древние греки и евреи применяли алфавитную систему нумерации: числа от единицы до девяти, а затем все десятки и сотни обозначались буквами в порядке алфавита, над которыми ставилась черта. Создатели славянского письма перенесли этот прием на новую почву: знаки кириллицы, соответствовавшие греческим буквам, получили те же числовые значения (но алфавитный порядок при этом нарушился), сверху ставилось титло. Таким образом, приходилось запоминать 27 (проверьте) числовых знаков - цифр.В Западной Европе вплоть до XVIII века в официальных документах применялась римская буквенная нумерация. Она использовала всего семь цифр: I -1, V - 5, X -10, L - 50, С -100, D - 500, М -1000. Число также записывалось в виде последовательности цифр, но из эстетических соображений запрещалось четырехкратное повторение одной и той же цифры. Так что числа 4, 9, 40, 90,400, 900 обозначались соответственно как IV, IX, XL, ХС, CD, СМ,- меньшая по значению цифра оказывалась левее большей (но часовщики упорно писали на циферблатах IIII, чтобы не путать с шестеркой VI). Римские цифры используются до сих пор в обозначениях дат и в порядковых номерах. Примеры: 31.XII, XIV съезд ВКП(б), папа Иоанн ХXIII, аккорд VI ступени.

В процессе счета возникли и основные арифметические действия над числами - сложение и умножение, были осознаны основные законы, которым они подчиняются.

Для сложения имеют место

1. закон ассоциативности: (a+b)+c=a+(b+c);
2. закон коммутативности: a+b=b+a

Эти законы выражают тот очевидный факт, что если мы имеем несколько групп предметов, то для вычисления общего количества этих предметов все равно с какой группы начинать пересчет и как объединять те или иные из этих групп.

Для умножения справедливы

1. закон ассоциативности: (a*b)*c=a*(b*c);
2. закон коммутативности: a*b=b*a;
3. закон нейтральности числа 1: а*1=а

Наконец, сложение и умножение связывает

1. закон дистрибутивности: a*(b+c)=a*b+a*c

Эти знакомые нам с детства правила арифметики были сформулированы в явном виде лишь в первой половине XIX века.

До появления современной системы записи чисел выполнение арифметических операций было затруднено, так что, например, перемножить две достаточно больших величины было задачей, доступной лишь узкому кругу лиц (когда в 1000 году папа Сильвестр II был заподозрен в связях с дьяволом, одним из поводов к этому послужили его выдающиеся вычислительные способности). Открытие позиционной системы счисления освободило умственную энергию человека от этой утомительной работы, сведя дело к освоению нескольких шаблонных приемов (алгоритмов). Вы не забыли, как это выглядело в школе? Перемножьте "столбиком", например, 1234 на 567.

Основная идея позиционной системы состояла в том, чтобы одной и той же цифре можно было придавать разные значения в зависимости от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Так, в обозначении 666 первая шестерка выражает количество сотен, вторая - десятков, третья - единиц. Но как быть в том случае, если в составе числа отсутствуют единицы какого-то разряда? Как отличить запись числа шестьсот шесть от записи числа шестьсот шестьдесят или числа шестьдесят шесть (везде две шестерки)? Чтобы обойти эту трудность, был изобретен символ 0, которым стали обозначать пропуск в каком-либо разряде. Этот технический знак стал впоследствии восприниматься как число, выражающее отсутствие предметов интересующего нас (или вообще всякого) вида. В таком понимании 0 вступает в арифметические действия с другими числами, подчиняясь правилам

1. а+0=0+а=а (нейтральность относительно сложения),
2. а*0=0*а=0.

Заметим, что ни мифический Пифагор (VI в. до н.э.), ни Эвклид (365-300 до н.э.), ни Архимед (287-212 до н.э.) нуля не знали.

Позиционная десятичная система счисления возникла в Индии в начале нашей эры и в конце первого тысячелетия стала распространяться в арабских странах, к XII веку достигнув Европы. В русских текстах "арабские" цифры появляются, начиная с XVI века. В "Арифметике" Леонтия Магницкого (1703 г.), по которой учился Ломоносов, все вычисления ведутся уже в новых обозначениях, но номера страниц, условий задач и т.п. указываются еще по буквенной системе.

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. Соответственно, натуральные числа определяются как:

• числа, используемые при перечислении (нумеровании) предметов: 1, 2, 3,... (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России.
• числа, используемые при обозначении количества предметов: 0,1,2,... (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются. Множество натуральных чисел принято обозначать N.

Существует бесконечно много натуральных чисел. Для любого натурального числа найдется натуральное число, большее его.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

1. Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
2. Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
3. Вычитание. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом)
4. Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Если делимое = а, делитель = b, частное = р, остаток = q, то а = p*b + q.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

Коммутативность сложения. a + b = b + a

Коммутативность умножения. а*b=b*а

Ассоциативность сложения. (а + b) + с = а + (b + с)

Ассоциативность умножения. (а * b) * с = а * (b * с)

Дистрибутивность умножения, относительно сложения.

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 - 3 = 12 - натуральное число, но 4 - 9 = -5 - не натуральное число. 25 : 5 = 5 - натуральное число, 22 : 7 - не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

Числовым называется выражение, составленное из чисел с помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения.

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак - скобки. Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Пример 1

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении ?

Показать решение .

Пример 2

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении ?

Показать решение

Еще один простой вопрос - можем ли мы наше множество упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

Координатная прямая

Нарисуем горизонтальную прямую х, выберем на ней точку О и назовём её началом отсчета, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 7, отложим от точки О вправо выбранный единичный отрезок 7 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом. Если некоторая точка А соответствует некоторому числу а, то говорят, что число а является координатой точки А. В этом случае пишут А (а).

• Говорят, что натуральное число а меньше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: а < b, если точка на числовой оси, отвечающая числу а, лежит левее точки, отвечающей числу b.
• Говорят, что натуральное число a больше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: а >b, если точка на числовой оси, отвечающая числу а, лежит правее точки, отвечающей числу b.

Ясно, что число 0 (нуль) - координата точки О - меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных различных чисел а и b справедливо одно и только одно утверждение: а b или а = b. Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки ≤ и ≥ - знаки нестрогих неравенств. Запись а ≤ b означает, что верно одно из двух утверждений: либо а < b, либо а = b. Неравенства а< b и с < d называют неравенствами одного знака; неравенства а< b и с > d называют неравенствами разных знаков.

П.2. Целые и рациональные числа.

П.2.1. Обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь - это число вида  , где т и п- натуральные числа. Число m называется числителем дроби, п - знаменателем. Если п = 1, то дробь имеет вид , но чаще пишут просто т, т.е. любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь  называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если m кратно п).

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо  пишут . Число, записанное в таком виде, называется смешанным числом. Оно состоит из целой и дробной части.

П.2.2. Равенство дробей. Сокращение дробей.

Две дроби  и  считаются равными, если ad=bc. Из определения равенства следует, что , т.к. a(bm)=b(am).

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, числитель и знаменатель которой меньше данных. Такая замена называется сокращением дроби. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то сокращение не возможно и такая дробь называется несократимой.

П.2.3. Арифметические действия над обыкновенными дробями.

Пусть даны две дроби  и  , . Можно заменить эти дроби другими, равными им, таким, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен НОК(b; d).

1. Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

1. если знаменатели одинаковые, то числители складывают и оставляют тот же знаменатель: ;
2. если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем применяют правило а).

2. Вычисление обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

1. если знаменатели одинаковые, то
2. если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем применяют правило а).

3. Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:
4. Деление обыкновенных дробей выполняется следующим образом: .

П.2.4. Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Десятичная дробь - это другая форма записи дроби со знаменателем .

Например, . Если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной; если же дробь несократима и в разложении ее знаменателя на простые множители входят другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

В десятичной дроби можно приписывать и отбрасывать справа нули - получится равная ей дробь.

Дробь, имеющая бесконечное число знаков после запятой, называется бесконечной десятичной дробью.

Теорема. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая период, называется  периодической.

Пусть а задано периодической десятичной дробью: , где  - m-значное число, то

,

 - формула перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.

П.2.5. Координатная прямая.

Возьмем прямую l, отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, зададим направление и единичный отрезок [0;1]. В этом случаи говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу или дроби соответствует одна точка прямой l. Если точка М прямой l соответствует некоторому числу r, то это число называется координатой точки М и обозначается М(r). Числа а и -а называются противоположными. Числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными; числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным. Точка О, соответствующая числу 0, отделяет на координатной прямой точки с положительными координатами от точек с отрицательными координатами.

Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно он идет направо), а направление, противоположное заданному, - отрицательным.

П.2.6. Целые и рациональные числа.

Натуральные числа 1, 2, 3, ... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, ..., противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также целым. Целые числа - натуральные числа, противоположные им и 0. Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел

Определение: число, которое можно записать в виде ,где т — целое число, a n- натуральное число, называется рациональным числом.

Слово "рациональный" произошло от латинского "ratio" (отношение; разумный). Наибольшего и наименьшего рационального числа не существует.

Задание №1.

Какие из чисел 6; 0,17; ; - 8;  являются рациональными? (Т.к все числа можно представить в виде ,где т — целое число, a n- натуральное число, то все эти числа рациональные.)

Задание №2

Представьте сумму, произведение, разность, частное в виде рационального числа:     – 6 – 7;  . (Вывод: сложение, умножение, вычитание и деление во множестве рациональных чисел выполняется всегда).

Задание №3

Представьте  в виде десятичной дроби двумя способами.

1. Путем деления числителя на знаменатель.
2. Используя основное свойство дроби, умножив числитель и знаменатель на 25.

При каком условии можно представить обыкновенную дробь в виде десятичной? (Если знаменатель можно представить как произведение двоек, или пятерок или двоек и пятерок).

Задание №4

Какие из дробей  можно представить в виде десятичной дроби и почему? Какие нельзя представить и почему?

Представить в виде десятичных дробей:

Эти дроби в виде десятичной представить можно, если только разрешить писать бесконечные десятичные дроби. Т.к. в записях одна или несколько цифр повторяются, то такие дроби называются периодическими десятичными дробями. Записываются они так: 0,333... =0,(3); 0,4545... =0,(45). Используя образец, запишите две оставшиеся дроби.

Вывод: любое рациональное число можно записать в виде десятичной дроби или в виде периодической дроби или в виде целого числа.

Тема 2. Действительные числа.

П.2.1. Действительные числа.

Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

Если а и b - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и

Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами а + 0 = а, а* 0 = 0 для каждого действительного числа а.

(Единственное) противоположное число -а и (единственное) обратное число а-1 = 1/а для

действительного числа а определяются соответственно так:

а + (-а) = а - а = 0,                 аа-1 = 1 (а ≠ 0).

Помимо "алгебраических" свойств, класс положительных целых, или натуральных, чисел 1,2, ... обладает свойством упорядоченности (т > п, если п = т + х, где х - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов п следующий за ним элемент п + 1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции).

Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 

1) 1 есть натуральное число;

2) для каждого натурального числа N существует единственное следующее за ним  натуральное число S(п);

3) S(п) ≠ 1;

4) из S(п) = S(т) следует п = т; 

5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий за п, обозначается через S(п).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1)-(6), определяются "рекуррентными" соотношениями

п + 1 = S(п),

п + S(т) = S(п+т),

п*1 = п,

п*S(т) = п*т + п.

Целыми числами называются числа вида п, -п и 0, где п - натуральное число, а рациональными - числа вида p/q, где p u q - целые числа и q ≠ 0.

Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел, с помощью предельного процесса. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

П.2.2. Иррациональные числа. Формула сложного радикала.

Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: т/п, где т и п – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например:

• отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно / 2 5

• отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу π.

Примеры других иррациональных чисел:   и т.д.

Докажем, что  является иррациональным числом. Предположим противное:  - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать:  = т/п, отсюда: , или т2 = 2п2, то есть т2 делится на 2, следовательно, т делится на 2, откуда т=2k, тогда т2 = 4k2 или 4k2 = 2п2, то есть п2 делится на 2, а значит, п делится на 2, следовательно, т и п имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа (см. выше). Таким образом, доказано, что  является иррациональным числом.

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:

(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.

Пример. Упростить выражение:

Решение. Применим формулу сложного радикала:

.

П.2.3. Действительные числа и числовые множества.

Множества.

Натуральных чисел: .

Целых чисел: .

Рациональных чисел: .

Действительных (вещественных) чисел: .

Числовые промежутки.

Отрезок (замкнутый промежуток, сегмент): .

Интервал (открытый промежуток): .

Полуинтервалы:

.

Бесконечные числовые промежутки (лучи, полупрямые):

Числовая прямая: .

Замечание. Наряду с приведенными используются и обозначения - для интервала; - для полуинтервалов; ; - для лучей;  - для числовой прямой.

П.2.4. Проценты.

Процент (от латинского pro centum - с сотни) — это одна сотая доля. Процент обозначается знаком % и относится к какой-либо целой вещи. Количество процентов как правило обозначает величину какой-либо доли, удельное содержание, пропорцию по отношению к основному объекту.

Например, 5% от 100 мячей - это 5 мячей, 10% от 10 яблок - это 1 яблоко. 100% от 1 кг - это 1 кг.

Проценты всегда можно выразить в виде десятичной дроби. Если есть запись вида «N%», то с математической точки зрения это эквивалентно «умножить на 0,01⋅N»

Среди десятичных дробей наиболее часто используется дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается 1% . Так 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 и т. Д.

Пример. 

Рабочий должен был изготовить за смену 60 деталей. По окончании рабочего дня выяснилось, что он выполнил 125% задания. Сколько деталей изготовил рабочий?

Решение:

1) 125%-1,25

2)60- 1,25 = 75.

О т в е т: 75 деталей.

Пропорция - это равенство отношений числовых величин.

Пусть даны четыре отличных от нуля числа а, b, с и d, причем а : b = с : d.

Тогда соотношение а : b = с: d называют пропорцией. Числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и с - средними членами.

Пропорцию можно записать и в следующем виде: . Величина k, которая характеризует соотношения, называется коэффициентом пропорциональности.

Основное свойство пропорции заключается в том, что из равенства а : b = с : d следует равенство аd = bс. Иначе говоря, произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

Тема 3. Приближённые вычисления.

П.3.1. Приближенные вычисления.

Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого (например, семизначная таблица логарифмов при вычислениях с числами, имеющими 5 верных значащих цифр - избыточна). Твёрдое знакомство с правилами приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.

П.3.2. Погрешности.

Разница между точным числом х и его приближенным значением а называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что , то величина  называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины а.

Отношение  называется предельной относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах.

Пример:

3,14 является приближенным значением числа π, погрешность его равна 0,00159..., предельную абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а предельную относительную погрешность v равной 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%. Для краткости обычно слово предельная опускается.

П.3.3. Значащие цифры.

Если абсолютная погрешность величины а не превышает одной единицы разряда последней цифры числа а, то говорят, что у числа все знаки верные.

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524⋅102 или 0,524 105. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Примеры:

• 1 куб.фут = 0,0283 м3 - три верных значащих цифры.

• 1 дюйм = 2,5400 см пять верных значащих цифр.

Если число а имеет п верных значащих цифр, то его относительная погрешность , где z - первая значащая цифра числа а; d - основание системы счисления.

У числа а с относительной погрешностью  верны п значащих цифр, где п - наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству .

Пример:

Если число а = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что  = 0,1%, то а имеет 3 верных знака, так как (4+1)0,001⋅102.

П.3.4. Округление

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

П.3.5. Действия над приближенными числами

Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем:

1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
2. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых.
3. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.
4. Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в п раз больше относительной погрешности основания (как для целых, так и для дробных п).

Пользуясь этими теоремами, можно определить погрешность результата любой комбинации арифметических действий над приближенными числами.

Примеры:

Предельная абсолютная погрешность заведомо превосходит абсолютную величину истинной погрешности, поскольку предельное значение вычисляется в предположения, что различные погрешности усиливают друг друга; практически это бывает редко. При массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, пользуются следующими правилами подсчета цифр.

При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя в отдельных случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.

1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.
3. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число (последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания).
4. При увеличении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа).
5. Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается.
6. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

Если дачные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с К цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое даёт согласно правилам 1- 4 (К+1) цифру в результате.

П.3.6. Приближенные значения числа. Свойство абсолютной величины суммы.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а' есть приближенное значение числа а, записывается следующим образом:

Если а' есть приближенное значение величины а, то разность  называется погрешностью приближения.

Δ — греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,8 = — 0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ, а абсолютной величиной этой погрешности |Δ|. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью. Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения |Δ| = | — 0,044| =0,044, а для второго |Δ| = |0,056| = 0,056.

Число а' называется приближенным значением числа а с точностью до ε, если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε:

.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку

[3,671 — 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, —  можно рассматривать как приближенное значение числа —  с точностью до, поскольку

Если а' < а, то а' называется приближенным значением числа а с недостатком. Если же а' > а, то а' называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6<3,671, а  есть приближенное значение числа   с избытком, так как  > .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а' и b', то результат а' + b' будет приближенным значением суммы а + b. Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Доказательство. 

Если числа а и b положительны, то и сумма их положительна. В этом случае |а| = а, |b| = b, |а+b| = а + b и, следовательно, |а + b| = |а| + |b|.

Если числа а и b отрицательны, то и сумма их отрицательна.

В этом случае |а| = - а, |b| = - b, |а+b| = - (а + b); поэтому |а + b| так же равняется |а| + |b|.

Пусть, наконец, одно из чисел а и b положительно, а другое — отрицательно. Тогда если

|а|>|b|, то |а + b| = |а| - |b|; если же |а| < |b|, то |а + b| = |b| - |а|.

В любом из этих случаев разность двух положительных чисел |а| и |b| будет меньше их суммы. Таким образом, если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то .

Осталось рассмотреть лишь случай, когда одно из чисел а и b, а может быть, и оба равны нулю. Учащиеся без особого труда могут сделать это самостоятельно.

Пример. | 1 — 20 | < | 1 | + | — 20|.

Действительно, |1 — 20| = |—19| = 19, |1| + | — 20| = 1 + 20 = 21, 19 < 21.

П.3.7. Упражнения

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?
2. С какой точностью показывают время часы?
3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять вес тела на современных электрических весах?
4. а) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а, если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5. Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?
6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?
7. На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а. Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

а)

б)

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

ОТВЕТЫ

3. Ошибка при взвешивании на некоторых электрических весах составляет не более 0,001% от истинного веса тела.