Функции, графики, модуль на факультативных занятиях. 8 класс.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

ФГКОУ Санкт-Петербургский кадетский корпус Министерства обороны РФ

Методическая работа по теме:

ФУНКЦИИ, ГРАФИКИ, МОДУЛЬ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

Преподаватель математики:  А.А. Дегтерева

Предлагаемая в настоящей работе тема очень важна, во-первых, потому, что задачи, связанные с построением графиков функции, содержащих абсолютную величину, часто встречаются на математических олимпиадах и на выпускных экзаменах по математике, и, во-вторых, потому, что эта тема связана практически со всеми разделами школьной программы и особенно удобна при повторении и углублённом изучении математики. В работе рассматриваются приёмы построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. В практической части приводятся примеры построения графиков указанного вида, построение на плоскости множеств точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям, содержащим знак модуля.

Задачи и Цели курса:

 - Показать, как, зная график простейшей функции, можно составить и строить графики более сложных функций.

- Подготовка к математическим олимпиадам и успешной сдачи выпускных экзаменов.

ЗАНЯТИЕ №1

Тема: ФУНКЦИЯ

Цель: Провести повторение понятия функции и на основании этого дать корректное определение. ПОРАБОТАТЬ НАД ЭТИМ ПОНЯТИЕМ. Повторить определение модуля. Рассмотреть построение графика функции вида , где – любые действительные числа.

Прежде, чем дать точное определение функции, поговорим немного об этом понятии. Описательно говоря, функция – это когда каждому значению некоторой величины, которую математически называют аргументом и обозначают обычно буквой , отвечает значение другой величины называемой функцией.

Так, например, величина смещения земной поверхности при землетрясении в каждый момент времени имеет определённое значение – величина смещения есть функция времени. Сила тока в полупроводниковом элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения соответствует определённое значение силы тока.

Таких примеров можно привести очень много: высота, на которую поднимается брошенный вертикально вверх камень, есть функция его начальной скорости и т.д. Есть одно существенное замечание. Когда говорят, что величинаесть функция величины, то прежде всего указывают, какие значения может принимать . Эти «разрешённые» значения аргумента  называют допустимыми значениями, а множество допустимых значений величины  называется областью определения функции. Например, если мы говорим, что объём шара есть функция его радиуса, то областью определения функции будут все числа, больше нуля, поскольку величина  радиуса шара может быть только положительным числом.

Всегда, когда задаётся функция, необходимо указать её область определения. Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция:

Мы говорим, что у нас есть функция величины , если:

1. Указано, какие значения  являются допустимыми, т.е. задана область определения.
2. Каждому допустимому значению  соответствует в точности одно значение величины .

Коротко вместо слов «величина есть функция величины » записывают: .

Например,

Всё, что сейчас было произнесено – вам известно. Теперь проверим насколько хорошо и осознанно вами усвоено понятие функции.

ЗАДАНИЕ №1

Является ли данная запись возможной и правильной для записи функции:

(нет, т.к. в точке принимает два значения: -1 и 1)

(да, О.О. – все действительные числа; в точке )

(да, О.О.:

)

(нет,  не существует в точке )

(нет, та же ситуация, что и в предыдущем пункте)

(да, каждой точке  соответствует единственное)

ЗАДАНИЕ №2

Построение кусочных функций

Постройте график функции. Укажите область определения и множество значений этой функции.

Внимание на доску, вы видите здесь следующую запись:

– любая функция, зависимая от переменной х. Попробуем избавиться  от модуля.

По свойству модуля:  

Поэтому график функции совпадает с графиком функциина тех промежутках, где , а на тех промежутках, где , график функции , получается из графика функции  с помощью симметрии относительно осиОх.

ЗАДАНИЕ №3

По графику функциипостроить график функции .

Ответ:

Вывод: Этапы построения графика функции

1. Построить график функции
2. Построить график функции , для чего надо участки графика функции , лежащего ниже оси, симметрично отразить относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

ЗАДАНИЕ №4

Построить график функции

Если воспользоваться определением модуля, то получим:

Вывод: график  получается из графика отражением нижней части вверх.

По свойству модуля , следовательно график аналогичен первому.

Этапы:

1. 
2.  (параллельный перенос графика  1 вдоль оси Оу на одну единицу вверх)

Этапы:

1. 
2.  (параллельный перенос графика  вдоль оси Ох на  3 единицы вправо)

Этапы:

1. 
2.  (параллельный перенос  вдоль оси Ох на 2 единицы влево)
3.  (параллельный перенос графика  вдоль оси Оу на 2 единицы вверх)

Домашняя работа:

1. Построить график функции
2. Зная график функциипостройте

а)  

б)

в)

ЗАНЯТИЕ №2

Цель:ЗАКРЕПЛЕНИЕ НАВЫКОВ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.

ЗАДАНИЕ №1

Постройте графики функции

а)

Этапы:

1. 
2. 
3. 
4. -2
5. 

Примечание: обратить внимание на то, что второй и третий пункты в данном случае совпадают.

б)

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. -3
7. 

в)

1)  

2)

3)

4)

5)

ЗАДАНИЕ №2

При каких значениях параметра aуравнение  имеет наибольшее количество решений? Наименьшее количество решений?

Давайте посмотрим на график этого уравнения в осях х и а. Мы получим тоже самое, что в первом задании сегодняшнего занятия под пунктом в).

Для того, чтобы определить количество решений уравнения в зависимости от а, проведём различные прямые а=с (где с – произвольная константа) и посмотрим в скольких точках эти прямые пересекают построенный график.

Приа<0  нет точек пересечения, следовательно, уравнение не имеет решений.

Приа=02 решения.

При 0  4 решения.

Приа=1  6 решений.

При  1   8 решений.

Приа=3   5 решений.

Приа>3   2 решения.

Ответ:  При  1

При  а=0 и а>3  уравнение имеет наименьшее количество решений.

ЗАДАНИЕ №3

При каких значениях параметра b  уравнение имеет максимальное количество решений

ЗАНЯТИЕ №3

Тема: ЗАДАНИЕ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ

Цель: Закрепление навыков построения графиков функции, содержащих знак модуля. Сформировать навыки построения геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Расширение знаний: - геометрическое место точек

                                         - правила быстрого построения графика уравнений и .

1. Небольшая проверочная работа.

Вариант 1:

При каких значениях параметра a уравнение имеет не более трёх решений .

Решение:

При а<-1  нет решений

При а=-1  два решения

При -1

При а=1 три решения

При а>1 два решения.

Ответ:  При   уравнение имеет не более трёх решений.

Вариант 2:

При каких значениях b  уравнение имеет не менее одного решения .

Решение:

При b<1  нет решения

При b=1  два решения

При 1

При b=4 три решения

При b>4  два решения

Ответ: При   уравнение имеет не менее одного решения.

Проверка непосредственно на уроке. Даётся 15 минут.

Построение множества точек, удовлетворяющих уравнению . Оно равносильно следующей совокупности:

Построение множества точек, удовлетворяющих уравнению . Оно равносильно следующей системе:

ЗАДАНИЕ №1

Найти множество точек

Решение:

ЗАДАНИЕ №2

Найти множество точек .

Решение:

ЗАДАНИЕ №3

Найти множество точек .

Решение:

ЗАДАНИЕ №4

Построить множество точек, удовлетворяющих уравнению .

Решение:

ЗАДАНИЕ №5

Построить множество точек, удовлетворяющих уравнению .

Решение:

Домашнее задание: построить множество точек, удовлетворяющих уравнению

Решение:

ЗАНЯТИЕ №4

Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА .

Цель: Сформировать навыки и правила быстрого построения графика функции вида .

ЗАДАНИЕ №1

Построить график функции .

Решение:

По свойству модуля получаем:  

при

                                                             при

Заметим, что достаточно было построить часть графика: для  - вторая часть получается отражением первой от оси Оу, так как для любого х в данном случае .

Обобщим нашу задачу: По известному графику .

Если , то , поэтому , т.е. при

Графики функций   исовпадают. Кроме того, , так как , следовательно, её график при  симметричен относительно оси Оу графику этой функции при . Другими словами, для построения графика функции  надо построить график функции, затем оставить только его часть, лежащую справа от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.

ЗАДАНИЕ №2

Построить график функции .

Можно построить, используя преобразования, а можно воспользоваться предыдущим обобщением, что и сделаем.

Решение:

1. Строим график функции  .
2. Отражаем часть графика при  относительно оси Оу.

ЗАДАНИЕ №3

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №4

Постройте график функции .

ЗАДАНИЕ №5

Постройте график функции .

ЗАДАНИЕ №6

Постройте график функции .

Необходимо заметить, что . Следовательно, к перечисленным в обобщённой задаче этапах построения добавляется ещё и третий этап. У нас получается:

1. Построение графика функции .
2. Оставляем часть графика, лежащую справа от оси Оу, и отображаем эту часть симметрично той же оси.
3. Отражаем часть полученного графика, лежащую слева от оси Оу, симметрично оси Ох.

Домашнее задание: постройте график функции

 .

ЗАНЯТИЕ №5

Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ

Цель: Сформировать навыки быстрого построения графиков функции .

ЗАДАНИЕ №1

Построить график функции .

На предыдущем занятии мы с вами строили график функции . Он оказался симметричным относительно оси Оу. Заметим, что в нашем случае график будет симметричен относительно прямой .

Итак, чтобы построить график функции надо:

1. Построить график функции  для
2. Отразить полученный график симметрично относительно прямой .

ЗАДАНИЕ №2

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №3

Построить график функции .

Этапы построения:

ЗАДАНИЕ №4

Построить график функции

Этапы построения:

ЗАДАНИЕ №5

Построить график функции

ЗАДАНИЕ №6

Построить график функции

Этапы построения:

ЗАДАНИЕ№7

Построить график функции .

При

При

Область определения

ЗАДАНИЕ  №8

Постройте график функции .

При  

При  

ЗАНЯТИЕ №6

Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА

Цель: научиться строить графики функции вида .

ЗАДАНИЕ №1

Построить множество точек, удовлетворяющих следующему уравнению .

Если  Следовательно, .

Если  Следовательно, .

ЗАДАНИЕ №2

Построить множество точек, удовлетворяющих уравнению .

1. При

 а) если  

 б) если  

 2) При

Итак,

ЗАДАНИЕ №3

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №4

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №5

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №6

Построить график функции .

ЗАДАНИЕ №7

Построить график функции.

ОДЗ:

ЗАДАНИЕ №8

Построить график функции ,  если  .

ЗАНЯТИЕ №7

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Цель: Проверка усвоения знаний, полученных в ходе факультативных занятий по теме «Функции. График. Модуль.»

Критерий оценки: 5задач – 5

                                   4 задачи – 4

                                  3 задачи – 3

в журнале будут выставлены только положительные оценки.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

Задание №1

При каких значениях параметра а уравнение  имеет наименьшее количество решений.

Этапы:

Ответ: При  уравнение имеет наименьшее количество решений.

Задание №2

Построить график функции

Задание №3

Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению

.

Задание №4

Построить график функции  .

И доказать, что при  функция линейная.

Задание №5

Построить график функции

Вариант 2

Задание №1

При каких значениях параметра  уравнение  имеет наибольшее количество решений.

Этапы:

Ответ: При  уравнение имеет наибольшее количество решений.

Задание №2

Построить график функции

Задание №3

Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению

.

Задание №4

Построить график функции  .

И доказать, что при  функция линейная.

Задание №5

Построить график функции

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра 8. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Учебник для общеобразовательных учреждений и школ с углубленным изучением математики. — 9-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2010. — 303 с.
2. Алгебра 8.  Мордкович А.Г. и др. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – 12-е изд., исп. и доп. – М.: Мнемозина, 2010. – 271с.
3. Галицкий М.Л., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре (Учебное пособие для 8-9 классов с углублённым изучением математики). – М.: «Просвещение», 2001. – 271с.
4. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., ШнольЭ.Э. Функции и графики (основные приёмы). – М.:  МЦНМО, 2006. – 120 с.
5. Лаврентьева О. Изучаем тему «Модуль числа»/ Статья в газете «Математика», 1996г, №12.
6. Коршунова Е. Модуль и квадратичная функция/ Статья в газете «Математика», 1998г, №7.
7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. - М. «Просвещение», 2001г. – 188 с.