Задачи шутки
занимательные факты по алгебре (6 класс) на тему

ЗАДАЧИ ШУТКИ

1. В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть?
2. Журавли. Угол при вершине журавлиного клина равен 20 градусов. Как изменится величина этого угла при рассматривании журавлей в бинокль с троекратным увеличением?
3. В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?
4. На складе 300 сапог: 100 хромовых, 100 кирзовых и 100 яловых. Кроме того, левых и правых поровну. Докажите, что из этих сапог можно составить 50 "правильных" пар.
5. Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: ``Сколько здесь кружков?''. ``Семь''- отвечает ученик. ``Правильно. Так сколько здесь кружков?'' - опять спрашивает учитель другого ученика. ``Пять'' - отвечает тот. ``Правильно'' - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

1.  Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?
2. Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

ИСТОЧНИКИ И ПРОЦЕНТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

1. Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?
2. Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце  — отрицательной? Если да, нарисуйте таблицу, если нет, объясните почему.
3. "То" да "это", да половина "того" да "этого"  — сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?
4. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
5. Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты 2-го сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го сорта была равна общей стоимости всех конфет 2-го сорта?
6. Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце  — отрицательной? Если да, нарисуйте таблицу, если нет, объясните почему.

ДРОБИ. Обыкновенные дроби

1. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?
2. В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1, например,

 =  +  +  + .

Один из знаменателей здесь заменён буквой x. Найдите этот знаменатель.

3. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

КОМБИНАТОРИКА

Правило произведения

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова ``КРУЖОК''?
2. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
3. а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C — 4 дороги. Сколькими cпособами можно проехать от A до C?

б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог — две из A в D и две из D в C. Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?

Перестановка и пастановки

4. На танцплощадке собрались  юношей и  девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
5. В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать? Если да, то как, а если нет, то почему?

Сочетание и размещение

6. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

ЧИСЛОВОЙ РЕБУС

1. Какую цифру заменяет квадратик?

В примере на сложение:

► + ► +  ○   = Δ Δ Δ        

различные фигурки заменяют различные цифры

Какую цифру заменяет квадратик?

2. Расставить вдоль сторон треугольника цифры 1, 2, 3,..., 9 так, чтобы сумма цифр вдоль каждой стороны равнялась 20-ти. Цифра, стоящая в вершине треугольника, принадлежит каждой из сторон, выходящих из этой вершины.
3. Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски 8×8 (в каждой клетке  — не более одной фишки), чтобы во всех вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях  — не поровну?

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Играя с цифрами, учимся думать.

1. Как обстоят дела со зрением у ребят? В группе 40% ребят имеют плохое зрение. 70% из них носят очки, остальные 30% носят контактные линзы. Общее число ребят в очках - 21.
2. Сколько человек работало на заводе?

В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода.

После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось.

Сколько человек работало на заводе в начале года?

3. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
4. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

ЛОГИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

1. Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду?
2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр:

12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл Путалка. Он тоже взял палочку и что-то начертил на песке. Тут к Путалке подошёл Загадалка и увидел вот что:

12345 = 60

Загадалка поморщился, почесал затылок, отобрал у Путалки палочку и кое-где вставил между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. Как он расставил знаки?

3. Какое число получится, если перемножить число горбов у двугорбого верблюда, хоботов у слона, шей у вертишейки, панцирей у черепахи, клювов у дятла, крыльев у воробья, глаз у зайца, хвостов у головастика, гребешков у петуха, лап у медведя, бивней у мамонта, копыт у лошади, ног у сороконожки, щупалец у осьминога, зубов у крокодила, иголок у ежа и рогов у осла?

РЕШЕНИЕ И ОТВЕТЫ:

ЗАДАЧИ ШУТКИ

1. Решение

Один кошелёк лежит внутри другого.

2. Подсказка

Подумайте, будет ли изменяться значение угла.

Решение

Каково бы ни было увеличение, все равно угол при вершине журавлиного клина останется равным 20 градусов.

3. Подсказка

Попробуйте вспомнить, как стоят на книжной полке тома из собрания сочинений.

Решение

Обратите внимание, когда тома стоят на полке по порядку, то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице 2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой странице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только 2-й и 3-й тома, т.е. 400 страниц.

Ответ: 400 страниц.

4. Подсказка

Наибольшее число "правильных" пар, которое можно составить из сапог одного типа (хромовые, кирзовые, яловые), равно минимуму из количеств правых и левых сапог данного типа.

Решение

Если среди сапог одно                                                                                                                                                                                                                                                        го из трех типов левых и правых поровну, то можно выбрать 50 "правильных" пар этого типа. В противном случае назовем тип сапог левым, если среди сапог этого типа больше левых, и назовем тип сапог правым, если среди сапог этого типа больше правых. Пусть, для определенности, имеются два левых типа сапог - хромовые и керзовые (случай, когда имеется два правых типа сапог, аналогичен). Обозначим через A и B соответственно число правых хромовых и керзовых сапог, A<50, B<50. Тогда яловых правых сапог будет 150-A-B>50, а яловых левых - A+B-50. A+B-50 не меньше 0, поэтому A+B не меньше 50. Итак, можно составить A "правильных" хромовых пар, B "правильных" керзовых пар, и A+B-50 "правильных" яловых пар. Всего - 2(A+B)-50 пар, что не меньше 2*50-50=50.

5. Ответ

Всего нарисовано 12 кружков: пять на одной стороне листка и семь - на другой.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Подсказка

Заметьте, из условия следует, что за день 20 чёрных коров и 15 рыжих дают столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих.

Решение

Наше условие, по существу, означает, что 20 чёрных коров и 15 рыжих дают за день столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих. А это значит, что 8 чёрных коров дают молока столько же, сколько 5 рыжих. Отсюда заключаем, что у рыжих коров удои больше.  Ответ: у рыжих.

2. Подсказка

Попробуйте определить сумму чисел в ряду, тогда вы сможете расставить по местам несколько чисел. Затем попробуйте определить, какое число стоит в центральной клетке.

Решение

Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда  — она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14,         15. Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18.

Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях  — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

Ответ:

ИСТОЧНИКИ И ПРОЦЕНТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

1. Подсказка

Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколько  — путь в один конец пешком?

Решение

Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч-15 мин, т.е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.

Ответ:  2,5 ч.

2. Подсказка

Попробуйте сосчитать сумму всех чисел в таблице.

Решение

Нет, нельзя. Если бы это было возможно, то сумма всех чисел таблицы, подсчитанная "по строкам", была бы положительной, а "по столбцам"  — отрицательной, что невозможно.

Ответ: Нет, нельзя. Иначе сумма всех чисел таблицы, подсчитанная "по строкам", была бы положительной, а "по столбцам"  — отрицательной.

3. Подсказка

Заметьте, "то" да "это" плюс половина "того" да "этого" получится полтора "того" да "этого".

Решение

"То" да "это", да половина "того" да "этого"  — это полтора "того" да "этого", что в 2 раза больше трех четвертей "того" да "этого", т.е. составляет от них 200%.

Ответ: 200%.

4. Подсказка

Обратите внимание: число школьников, получивших ту или иную оценку всегда целое.

Решение

Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14  — четвёрки; 21  — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.

Ответ: 1 работа.

5. Подсказка

Попробуйте представить условия задачи системой уравнений.

Решение

Сразу напрашивающийся ответ "за 2 руб. 50 коп."  — неверен. Обозначим через a первоначальную стоимость всех конфет 1го сорта. Тогда общая выручка за несмешанные конфеты 1го и 2го сорта составляла бы 2a рублей. При этом конфет 1го сорта у купца было бы  фунта, а конфет 2го сорта  фунта. Таким образом, за смесь, состоящую из   +  фунта, он должен выручить 2a рублей. Значит, цена смеси конфет должна быть равна  рублей. Проведя несложные арифметические действия, определим, что смесь конфет надо продавать по 2 руб. 40 коп. (а не по 2 руб. 50 коп.) за фунт.

Ответ: 2 р. 40 к.

6. Подсказка

Попробуйте сосчитать сумму всех чисел в таблице.

Решение

Нет, нельзя. Если бы это было возможно, то сумма всех чисел таблицы, подсчитанная "по строкам", была бы положительной, а "по столбцам"  — отрицательной, что невозможно.

Ответ: Нет, нельзя. Иначе сумма всех чисел таблицы, подсчитанная "по строкам", была бы положительной, а "по столбцам"  — отрицательной.

ДРОБИ. Обыкновенные дроби

1. Решение

Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/70 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу.

Ответ: Нет, так жить нельзя.

2. Решение

Сначала найдём 1/x из уравнения Получим 1/x = 1/365, значит, x = 365.

Ответ: 365.00

3. Решение

Сумма числителя и знаменателя равна 101. Значит, чем больше числитель дроби, тем меньше её знаменатель — и тем больше сама дробь (так как и числитель и знаменатель — положительные числа). Видно, что 25/76 ещё меньше 1/3, а 26/75 — уже больше.

Ответ: 0.33

КОМБИНАТОРИКА

1. Ответ 2*3=6
2. Ответ: 16 = 2 в степени 4.
3. Ответ: а) 24. б) 28.
4. Ответ: N!
5. Подсказка

Попробуйте условно разбить все семьи города на цепочки так, чтобы после каждой семьи в цепочке стояла та, в дом которой предыдущая семья переехала.

Решение

Все семьи города можно условно представить в виде цепочек, в которых после каждой семьи будет стоять та, в дом которой семья переехала. Все эти цепочки будут замкнутые (может быть, будет всего одна цепочка). В цепочках, в которых представлено чётное число семей, будем красить дома попеременно в синий и зелёный цвета  — тогда каждая семья переедет из синего дома в зелёный или наоборот. А в тех цепочках, где число семей нечётно, покрасим один дом в красный цвет, а оставшееся чётное число домов  — попеременно в синий и зелёный. Тогда все дома будут покрашены с выполнением требований задачи.  Ответ: Да.

6. Решение

Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго, независимо от выбора первого ученика, - 29 способами. При этом каждая пара учитывается дважды. Поэтому ответ:  30 * 29/2 = 435 способов.

ЧИСЛОВОЙ РЕБУС

1. Ответ: 9
2. Решение

Сумма цифр, которые следует расставить в клетки квадрата, равна:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

При сумме цифр 20 вдоль каждой стороны сумма цифр по трем сторонам равна 60.

Полученная разность 60 - 45 = 15 объясняется тем, что каждая из цифр, размещенных в вершинах треугольника, принадлежит двум сторонам и суммируется дважды.

Следовательно, сумма стоящих в вершинах цифр, равна 15.

3. Сумма двух чисел - трехзначное число, которое оканчивается на 27. Одно из чисел оканчивается на ноль, но если стереть этот ноль, то мы получим другое число.

Найдите сумму двух чисел, чему равна сумма цифр этого числа ?

Ответ:  110+17=127

4. Подсказка

Как ни странно, это можно сделать.

Решение

Как ни странно, можно.

Вот некоторые соображения: раз во всех вертикалях фишек поровну, то общее число фишек кратно 8. Если в любых двух горизонталях разное число фишек, то фишек не меньше, чем 0 + 1 + 2 +...+ 7 = 28. Наименьшее число, отвечающее обоим требованиям, будет 32, т.е. в каждой вертикали по 4 фишки. После небольшого перебора можно получить ответ

Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

1. Ответ: 30 человек имеет плохое зрение  
2. Ответ:  Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин. Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%. Общая численность работавших на заводе в это время - 11:0,2 = 55 человек.
3. Подсказка

Обратите внимание: число школьников, получивших ту или иную оценку всегда целое.

Решение

Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14  — четвёрки; 21  — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.

Ответ: 1 работа.

4. Решение

Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ — 1/4.

Ответ: На одну четверть.

ЛОГИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

1. Ответ: Путалка ровно за 8 секунд дойдет до клетки.
2. Ответ: 12+3+45=60
3. Ответ: У осла нет рогов поэтому 0 если перемножить на любое число 0 то выходит 0.

Использованные материалы:

1. Сайт www.problems.ru
2. Сайт www.math-on-line.
3. Сайт "Занимательные и методические материалы из книг Игоря Сухина: от литературных затей до шахмат"